Radiometry — Measuring the Energy in Light เรดิโอเมตรี (Radiometry) — การวัดพลังงานของแสง

Six interactive cards that build up the SI radiometric quantities from scratch — adjust the sliders and watch every number and figure update.

1 Introduction — What Is Radiometry? บทนำ — เรดิโอเมตรีคืออะไร

Radiometry is the science of measuring electromagnetic radiation. It answers a very practical set of questions about light: how much energy is there, how fast is that energy flowing, how much of it lands on a surface, and how much of it travels in one particular direction. Each of those questions has its own quantity and its own unit — and mixing them up is the single most common mistake beginners make.

เรดิโอเมตรีคือศาสตร์ของการวัดการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ใช้ตอบคำถามเกี่ยวกับแสงว่า มีพลังงานอยู่เท่าไร พลังงานนั้นไหลเร็วแค่ไหน ตกลงบนพื้นผิวมากน้อยเพียงใด และเดินทางไปในทิศทางหนึ่ง ๆ เท่าไร

A useful picture is water flowing from a shower head:

ภาพเปรียบเทียบ เช่น กรณีที่น้ำไหลออกจากฝักบัว:

Radiant energy is the total amount of water — measured in litres (for light: joules).
Radiant flux (power) is the flow rate — litres per second (for light: watts). This is what a sensor actually measures.
Irradiance is how hard the water hits one patch of your skin — flow rate per unit of area.
Radiant intensity is how much water goes into one particular direction — flow rate per unit of solid angle.
Radiance combines the two: flow per direction and per unit of area. Your eye and a camera pixel respond in proportion to it, which we perceive as “brightness” — but the sensor itself still measures power (W).

พลังงานการแผ่รังสี (radiant energy) คือปริมาณน้ำทั้งหมด — วัดเป็นลิตร (สำหรับแสง: จูล)
ฟลักซ์การแผ่รังสีหรือกำลัง (radiant flux/power) คืออัตราการไหล — ลิตรต่อวินาที (สำหรับแสง: วัตต์) นี่คือสิ่งที่เซนเซอร์วัดได้จริง
ความเข้มรังสีตกกระทบ (irradiance) คือน้ำกระทบผิวหนังของคุณแรงแค่ไหนต่อหนึ่งผืน — อัตราการไหลต่อหน่วยพื้นที่
ความเข้มการแผ่รังสี (radiant intensity) คือมีน้ำไปทางทิศใดทิศหนึ่งเท่าไร — อัตราการไหลต่อหน่วยมุมตัน
เรเดียนซ์ (radiance) รวมสองอย่างเข้าด้วยกัน: การไหลต่อทิศทาง และ ต่อหน่วยพื้นที่ ตาของเราและพิกเซลของกล้องตอบสนองเป็นสัดส่วนกับปริมาณนี้ ซึ่งเรารับรู้เป็น “ความสว่าง” — แต่สิ่งที่เซนเซอร์วัดได้จริงยังคือกำลัง (W)

Two conventions worth fixing right away. First, radiometric symbols carry the subscript e for electromagnetic — \(\Phi_e\), \(E_e\), \(L_e\) — which simply distinguishes them from the matching photometric symbols used for human vision. Second, radiant exitance \(M_e\) and irradiance \(E_e\) share the same unit, W/m², and the same defining equation \(d\Phi_e/dA\). The difference is direction only: exitance leaves a surface, irradiance arrives at one.

มีข้อตกลงสองอย่างที่ควรทำความเข้าใจตั้งแต่ต้น อย่างแรก สัญลักษณ์เรดิโอเมตริกมีตัวห้อย e ซึ่งย่อมาจาก electromagnetic — \(\Phi_e\), \(E_e\), \(L_e\) — เพื่อแยกจากสัญลักษณ์โฟโตเมตริกที่ใช้กับการมองเห็นของมนุษย์ อย่างที่สอง radiant exitance \(M_e\) กับ ความเข้มรังสีตกกระทบ (irradiance) \(E_e\) ใช้หน่วยเดียวกันคือ W/m² และมีสมการนิยามเหมือนกันคือ \(d\Phi_e/dA\) ต่างกันแค่ทิศทางเท่านั้น: radiant exitance คือฟลักซ์ที่ ออกจาก ผิว ส่วนความเข้มรังสีตกกระทบคือฟลักซ์ที่ มาถึง ผิว

**Table 1 — Radiometric terms.** Click any row for a plain-language explanation. **ตารางที่ 1 — ปริมาณเรดิโอเมตริก** คลิกที่แถวใดก็ได้เพื่อดูคำอธิบายแบบภาษาง่าย ๆ
Termปริมาณ	Symbol (units)สัญลักษณ์ (หน่วย)	Also writtenเขียนอีกแบบ	Defining equationสมการนิยาม
Radiant energyพลังงานการแผ่รังสี	\(Q_e\) (J = W·s)	—	—
Radiant energy densityความหนาแน่นพลังงานการแผ่รังสี	\(w_e\) (J/m³)	—	\(w_e = dQ_e/dV\)
Radiant flux, Radiant powerฟลักซ์การแผ่รังสี, กำลังการแผ่รังสี	\(\Phi_e\) (W)	\(P\)	\(\Phi_e = dQ_e/dt\)
Radiant exitanceradiant exitance	\(M_e\) (W/m²)	—	\(M_e = d\Phi_e/dA\)
Irradianceความเข้มรังสีตกกระทบ	\(E_e\) (W/m²)	\(I\)	\(E_e = d\Phi_e/dA\)
Radiant intensityความเข้มการแผ่รังสี	\(I_e\) (W/sr)	—	\(I_e = d\Phi_e/d\omega\)
Radianceเรเดียนซ์	\(L_e\) (W·sr⁻¹·m⁻²)	—	\(L_e = dI_e/(dA\cos\theta)\)

Abbreviations: J, joule; W, watt; m, meter; sr, steradian. Content of Table 1 after Pedrotti et al. (2019), Table 1.

ตัวย่อ: J = จูล, W = วัตต์, m = เมตร, sr = สเตอเรเดียน เนื้อหาตารางที่ 1 อ้างอิงจาก Pedrotti et al. (2019), Table 1

Select a row above to see what that quantity means in everyday terms.

Two alternative symbols you will meet constantly. Radiant flux \(\Phi_e\) is very often written simply as \(P\) for “power”, and irradiance \(E_e\) is very often written as \(I\) for “intensity” — even though \(I_e\) already means radiant intensity in W/sr. When a text writes the irradiance of a plane wave in terms of the electric-field amplitude \(E_0\), \[ I = \frac{\varepsilon v}{2}\,E_0^{\,2} \] (with \(\varepsilon\) the permittivity of the medium and \(v\) the speed of the wave in it), the \(I\) on the left is irradiance in W/m², not radiant intensity in W/sr. Always check the units before trusting the letter.

สัญลักษณ์ทางเลือกสองตัวที่จะเจอบ่อยมาก ฟลักซ์การแผ่รังสี \(\Phi_e\) มักถูกเขียนสั้น ๆ เป็น \(P\) ซึ่งย่อจาก “power” และความเข้มรังสีตกกระทบ \(E_e\) ก็มักถูกเขียนเป็น \(I\) ซึ่งย่อจาก “intensity” — ทั้งที่ \(I_e\) หมายถึงความเข้มการแผ่รังสีหน่วย W/sr อยู่แล้ว เมื่อตำราเขียนความเข้มรังสีตกกระทบ ของคลื่นระนาบในรูปแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า \(E_0\) ว่า \[ I = \frac{\varepsilon v}{2}\,E_0^{\,2} \] (โดย \(\varepsilon\) คือสภาพยอมของตัวกลาง และ \(v\) คืออัตราเร็วของคลื่นในตัวกลางนั้น) ตัว \(I\) ทางซ้าย คือ ความเข้มรังสีตกกระทบ หน่วย W/m² ไม่ใช่ความเข้มการแผ่รังสีหน่วย W/sr ให้ตรวจหน่วยก่อนเสมอ อย่าเชื่อแค่ตัวอักษร

2 Radiant Intensity — Power per Direction ความเข้มการแผ่รังสี — กำลังต่อหนึ่งทิศทาง

Radiant intensity is the radiant flux a point source sends into one unit of solid angle, in a given direction. It answers “how much of the source's power goes this way?”

ความเข้มการแผ่รังสีคือฟลักซ์การแผ่รังสีที่แหล่งกำเนิดแบบจุดส่งออกไปต่อหนึ่งหน่วยมุมตัน ในทิศทางที่กำหนด มันตอบคำถามว่า “กำลังของแหล่งกำเนิดไปทางนี้เท่าไร?”

\[ I_e = \frac{d\Phi}{d\omega} \qquad [\mathrm{W/sr}] \tag{10} \]

The new idea here is the solid angle \(\omega\), measured in steradians (sr). A solid angle is the 3-D version of an ordinary angle: it measures how wide a cone is, not how long it is. Point a cone at a sphere of radius \(r\) and it cuts out a patch of area \(dA\); the solid angle of that cone is \[ d\omega = \frac{dA}{r^{2}} \qquad [\mathrm{sr}] \] Because the area is divided by \(r^2\), the answer does not depend on \(r\) at all — move the screen twice as far away and the patch is four times bigger, so the ratio is unchanged. A cone that opens up to swallow the whole sphere has \(\omega = 4\pi r^{2}/r^{2} = 4\pi\) sr, which is why a sphere radiating \(\Phi_e\) watts uniformly in every direction has an intensity of \(\Phi_e/4\pi\) W/sr.

แนวคิดใหม่ตรงนี้คือ มุมตัน (solid angle) \(\omega\) วัดเป็น สเตอเรเดียน (sr) มุมตันคือมุมธรรมดาในเวอร์ชันสามมิติ: มันวัดว่ากรวยกางกว้างแค่ไหน ไม่ใช่ว่ายาวแค่ไหน ถ้าเล็งกรวยไปที่ทรงกลมรัศมี \(r\) กรวยจะตัดผิวทรงกลมเป็นแผ่นพื้นที่ \(dA\) มุมตันของกรวยนั้นคือ \[ d\omega = \frac{dA}{r^{2}} \qquad [\mathrm{sr}] \] เนื่องจากพื้นที่ถูกหารด้วย \(r^2\) คำตอบจึงไม่ขึ้นกับ \(r\) เลย — ถ้าเลื่อนฉากออกไปไกลเป็นสองเท่า แผ่นจะใหญ่ขึ้นสี่เท่า อัตราส่วนจึงเท่าเดิม กรวยที่กางจนกลืนทรงกลมทั้งลูกมี \(\omega = 4\pi r^{2}/r^{2} = 4\pi\) sr ด้วยเหตุนี้ทรงกลมที่แผ่รังสี \(\Phi_e\) วัตต์เท่ากันทุกทิศ จึงมีความเข้มการแผ่รังสีเท่ากับ \(\Phi_e/4\pi\) W/sr

Figure 2 — The radiant intensity is the flux through the cross section \(dA\) per unit of solid angle; here \(d\omega = dA/r^{2}\). Drag the distance slider: the cone stays exactly as wide, so the patch it cuts grows as \(r^{2}\). Redrawn as an interactive figure after Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 2. รูปที่ 2 — ความเข้มการแผ่รังสีคือฟลักซ์ที่ผ่านหน้าตัด \(dA\) ต่อหนึ่งหน่วยมุมตัน โดยที่ \(d\omega = dA/r^{2}\) ลองเลื่อนตัวปรับ ระยะทาง ดู: กรวยกางเท่าเดิมเป๊ะ ๆ แผ่นที่มันตัดออกมาจึงโตขึ้นตาม \(r^{2}\) วาดขึ้นใหม่เป็นภาพโต้ตอบ ดัดแปลงจาก Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 2

Source power Φ_total (W, radiated uniformly in all directions) กำลังของแหล่งกำเนิด Φ_total (W, แผ่เท่ากันทุกทิศ)

Distance r (m) ระยะทาง r (m)

Cone solid angle dω (sr — drawn wide so it is visible) มุมตันของกรวย dω (sr — วาดกางไว้เพื่อให้มองเห็น)

Solid angle dωมุมตัน dω 0.1000 sr independent of rไม่ขึ้นกับ r

Patch area dA = dω·r²พื้นที่แผ่น dA = dω·r² 0.4000 m² grows as r²โตขึ้นตาม r²

Flux in the cone Φ_coneฟลักซ์ในกรวย Φ_cone 15.92 mW independent of rไม่ขึ้นกับ r

Radiant intensity I_e = Φ_cone/dωความเข้มการแผ่รังสี I_e = Φ_cone/dω 0.1592 W/sr independent of rไม่ขึ้นกับ r

Worked example — a 2 W LED ตัวอย่างการคำนวณ — LED ขนาด 2 W

An LED emits 2 W of optical power and (to keep the arithmetic clean) spreads it evenly in every direction. The whole surrounding solid angle is \(4\pi = 12.57\) sr, so \[ I_e = \frac{\Phi_e}{4\pi} = \frac{2\ \mathrm{W}}{12.57\ \mathrm{sr}} = 0.159\ \mathrm{W/sr} \] Now put a small square detector of area 1 cm² = \(10^{-4}\) m² at \(r = 2\) m. Its own cone is very narrow — much narrower than the one drawn in the figure: \[ d\omega = \frac{dA}{r^{2}} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m^2}}{(2\ \mathrm{m})^{2}} = 2.5\times10^{-5}\ \mathrm{sr} \] and the power it actually collects is \[ \Phi = I_e\,d\omega = 0.159 \times 2.5\times10^{-5} = 3.98\ \mu\mathrm{W} \]

LED ตัวหนึ่งปล่อยกำลังแสง 2 W และกระจายเท่ากันทุกทิศทาง มุมตันโดยรอบทั้งหมดคือ \(4\pi = 12.57\) sr ดังนั้น \[ I_e = \frac{\Phi_e}{4\pi} = \frac{2\ \mathrm{W}}{12.57\ \mathrm{sr}} = 0.159\ \mathrm{W/sr} \] ทีนี้วางตัวรับสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ พื้นที่ 1 cm² = \(10^{-4}\) m² ไว้ที่ \(r = 2\) m กรวยของตัวรับนี้แคบมาก — แคบกว่ากรวยที่วาดไว้ในภาพเยอะ: \[ d\omega = \frac{dA}{r^{2}} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m^2}}{(2\ \mathrm{m})^{2}} = 2.5\times10^{-5}\ \mathrm{sr} \] และกำลังที่มันรับได้จริงคือ \[ \Phi = I_e\,d\omega = 0.159 \times 2.5\times10^{-5} = 3.98\ \mu\mathrm{W} \]

Move that detector to 4 m and the intensity is still 0.159 W/sr — intensity is a property of the source, not of where you stand. But the detector's solid angle drops by a factor of four, so it now collects only 0.995 µW. That factor of four is the inverse-square law, and it is what card 3 is about.

ถ้าย้ายตัวรับไปที่ 4 m ความเข้มการแผ่รังสีก็ ยังคง เป็น 0.159 W/sr — เพราะความเข้มการแผ่รังสีเป็นสมบัติของแหล่งกำเนิด โจทย์บอกกระจายเท่ากันทุกทิศทาง แต่ถ้าเอา Sensor ไปวัดความเข้มรังสีตกกระทบที่ตำแหน่งไกลขึ้น 2 เท่ามุมตันของตัวรับลดลง 4 เท่า มันจึงรับได้เพียง 0.995 µW รายละเอียดการคำนวณอยู่หัวข้อถัดไป

3 Irradiance ความเข้มรังสีตกกระทบ (Irradianc)

Irradiance is the radiant flux arriving at a surface per unit of area.

ความเข้มรังสีตกกระทบคือฟลักซ์การแผ่รังสีที่มาถึงผิวต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่

\[ E_e = \frac{d\Phi_e}{dA} \qquad [\mathrm{W/m^2}] \]

Suppose a point source radiates spherically, as in the previous section. All of the source's flux \(\Phi_e\) must cross a sphere of radius \(r\), whose area is \(4\pi r^{2}\), so the irradiance everywhere on this sphere is

สมมติว่ามีแหล่งกำเนิดแบบจุด แผ่รังสีเป็นทรงกลมเหมือนหัวข้อก่อนหน้า ฟลักซ์ทั้งหมดของแหล่งกำเนิด \(\Phi_e\) ต้องผ่านทรงกลมรัศมี \(r\) ซึ่งมีพื้นที่ \(4\pi r^{2}\) ดังนั้นความเข้มรังสีตกกระทบทุกจุดบนทรงกลมนี้คือ

\[ E_e = \frac{d\Phi_e}{dA} = \frac{\Phi_e}{A} = \frac{4\pi I_e}{4\pi r^{2}} = \frac{I_e}{r^{2}} \qquad \text{(point source)} \tag{11} \]

This is the familiar inverse-square law. Nothing is lost along the way — the same flux is simply smeared over a bigger area. Double the distance and the patch has four times the area, so each square metre of it receives only a quarter as much (4 equal cells at \(2r\)). Triple it and each square metre gets a ninth (9 cells at \(3r\)). See the figure below, where each cell carries exactly the flux that the single patch carried at \(r\).

นี่คือ กฎกำลังสองผกผัน (inverse-square law) ที่คุ้นเคยกัน ไม่มีอะไรสูญหายไประหว่างทาง — ฟลักซ์ก้อน เดิม แค่ถูกเกลี่ยลงบนพื้นที่ที่ใหญ่ขึ้นเท่านั้น ถ้าระยะเพิ่มเป็นสองเท่า แผ่นจะมีพื้นที่มากขึ้นสี่เท่า แต่ละตารางเมตรจึงได้รับเพียงหนึ่งในสี่ (4 ช่องเท่ากันที่ \(2r\)) ถ้าเพิ่มเป็นสามเท่า แต่ละตารางเมตรจะได้หนึ่งในเก้า (9 ช่องที่ \(3r\)) ดังภาพด้านล่าง โดยแต่ละช่องพาฟลักซ์เท่ากับที่แผ่นเดียวที่ระยะ \(r\) พาไว้พอดี

Figure 3 — The flux leaving a point source within any solid angle is distributed over increasingly larger areas, producing an irradiance that decreases inversely with the square of the distance. The dashed box marks the area \(A\) that the flux is spread over — the denominator of \(E_e = \Phi_e/A\) — and the shaded wedge marks the fixed solid angle \(d\omega\). Redrawn as an interactive figure after Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 3. รูปที่ 3 — ฟลักซ์ที่ออกจากแหล่งกำเนิดแบบจุดภายในมุมตันใด ๆ จะถูกกระจายลงบนพื้นที่ที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ ทำให้ความเข้มรังสีตกกระทบลดลงแบบผกผันกับกำลังสองของระยะทาง กรอบเส้นประระบุพื้นที่ \(A\) ที่ฟลักซ์ถูกเกลี่ยลงไป — ซึ่งก็คือตัวหารของ \(E_e = \Phi_e/A\) — ส่วนลิ่มที่ระบายสีคือมุมตันคงที่ \(d\omega\) วาดขึ้นใหม่เป็นภาพโต้ตอบ ดัดแปลงจาก Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 3

Source power Φ_total (W) กำลังของแหล่งกำเนิด Φ_total (W)

Base distance r (m) ระยะฐาน r (m)

Sensor area (cm²) พื้นที่เซนเซอร์ (cm²)

Distanceระยะทาง	Sphere area 4πr²พื้นที่ทรงกลม 4πr²	Cells of equal fluxช่องที่ฟลักซ์เท่ากัน	Irradiance E_eความเข้มรังสีตกกระทบ E_e	Relativeเทียบสัดส่วน	Power on the sensorกำลังที่เซนเซอร์รับได้

Worked example — the same 2 W LED ตัวอย่างการคำนวณ — LED 2 W ตัวเดิม

The same LED emits 2 W evenly in every direction, so \(I_e = 0.159\ \mathrm{W/sr}\) (card 2). To see how much power a real sensor collects, use a small square sensor of \(1\ \mathrm{cm} \times 1\ \mathrm{cm}\), i.e. area \(A = 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\) (the default of the “Sensor area” control above). Assume it faces the LED (its surface is perpendicular to the rays) and is much smaller than the distance, so the irradiance is practically uniform over its face and the power it collects is simply \(\Phi = E_e \cdot A\).

At \(r = 1\) m the LED's flux is spread over a sphere of area \(4\pi(1\ \mathrm{m})^2 = 12.57\ \mathrm{m^2}\): \[ E_e = \frac{2\ \mathrm{W}}{12.57\ \mathrm{m^2}} = 0.159\ \mathrm{W/m^2} \] and the power collected by the sensor is \[ \Phi = E_e \cdot A = 0.159\ \mathrm{W/m^2} \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 1.59\times10^{-5}\ \mathrm{W} = 15.9\ \mu\mathrm{W} \] At \(r = 2\) m the sphere has area \(4\pi(2\ \mathrm{m})^2 = 50.3\ \mathrm{m^2}\) and the irradiance is \[ E_e = \frac{2\ \mathrm{W}}{50.3\ \mathrm{m^2}} = 0.0398\ \mathrm{W/m^2} \] exactly one quarter of the value at 1 m — or, going straight through Eq. (11), \(E_e = I_e/r^2 = 0.159\ \mathrm{W/sr} \,/\, (2\ \mathrm{m})^2 = 0.0398\ \mathrm{W/m^2}\). The same sensor now collects \[ \Phi = E_e \cdot A = 0.0398\ \mathrm{W/m^2} \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 3.98\ \mu\mathrm{W} \] one quarter of the power at 1 m.

LED ปล่อยกำลัง 2 W กระจายเท่ากันทุกทิศทาง จึงมี \(I_e = 0.159\ \mathrm{W/sr}\) กำหนดให้เซนเซอร์สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ขนาด \(1\ \mathrm{cm} \times 1\ \mathrm{cm}\) มีพื้นที่ \(A = 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\) สมมติว่าเซนเซอร์หันหน้าเข้าหา LED (ผิวตั้งฉากกับรังสี) และมีขนาดเล็กกว่าระยะทางมาก ความเข้มรังสีตกกระทบจึงถือว่าสม่ำเสมอทั่วหน้าเซนเซอร์ และกำลังที่เซนเซอร์รับได้คือ \(\Phi = E_e \cdot A\)

ที่ \(r = 1\) m ฟลักซ์ของ LED บนทรงกลมพื้นที่ \(4\pi(1\ \mathrm{m})^2 = 12.57\ \mathrm{m^2}\): \[ E_e = \frac{2\ \mathrm{W}}{12.57\ \mathrm{m^2}} = 0.159\ \mathrm{W/m^2} \] กำลังที่เซนเซอร์รับได้คือ \[ \Phi = E_e \cdot A = 0.159\ \mathrm{W/m^2} \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 1.59\times10^{-5}\ \mathrm{W} = 15.9\ \mu\mathrm{W} \] ที่ \(r = 2\) m ทรงกลมมีพื้นที่ \(4\pi(2\ \mathrm{m})^2 = 50.3\ \mathrm{m^2}\) ความเข้มรังสีตกกระทบจึงเป็น \[ E_e = \frac{2\ \mathrm{W}}{50.3\ \mathrm{m^2}} = 0.0398\ \mathrm{W/m^2} \] ซึ่งเป็นหนึ่งในสี่ของค่าที่ 1 m พอดี — หรือคิดตรง ๆ จากสมการ (11) ก็ได้ว่า \(E_e = I_e/r^2 = 0.159\ \mathrm{W/sr} \,/\, (2\ \mathrm{m})^2 = 0.0398\ \mathrm{W/m^2}\) เซนเซอร์ตัวเดิมจึงรับกำลังได้ \[ \Phi = E_e \cdot A = 0.0398\ \mathrm{W/m^2} \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 3.98\ \mu\mathrm{W} \] เป็นหนึ่งในสี่ของกำลังที่ 1 m

Cross-check against card 2: at \(r = 2\) m this 1 cm² sensor subtends \(d\omega = A/r^2 = 10^{-4}\ \mathrm{m^2} / (2\ \mathrm{m})^2 = 2.5\times10^{-5}\ \mathrm{sr}\), so it collects \(I_e\,d\omega = 0.159 \times 2.5\times10^{-5} = 3.98\ \mu\mathrm{W}\) — the identical answer. Two routes, one number: that is a good sign you have the definitions straight.

4 Radiance — Intensity per Projected Area เรเดียนซ์ — ความเข้มต่อพื้นที่ฉาย

Radiant intensity describes a point source, but real sources have size: a lamp panel, a computer screen, a patch of sky. For those we need to consider direction and area. That quantity is radiance — the radiant intensity per unit of projected area, perpendicular to the direction you are looking from.

ความเข้มการแผ่รังสีใช้อธิบายแหล่งกำเนิดแบบ จุด แต่แหล่งกำเนิดจริงมีขนาด เช่น แผงไฟ จอคอมพิวเตอร์ หรือท้องฟ้า กรณีเหล่านี้เราต้องพิจารณาทิศทาง และ พื้นที่ ปริมาณนั้นคือ เรเดียนซ์ (radiance) — ความเข้มการแผ่รังสีต่อหน่วยของ พื้นที่ฉายที่ตั้งฉากกับทิศที่มอง

\[ L_e = \frac{dI_e}{dA\cos\theta} = \frac{d^{2}\Phi_e}{d\omega\,(dA\cos\theta)} \qquad [\mathrm{W\cdot sr^{-1}\cdot m^{-2}}] \tag{12} \]

Imagine looking at a sheet of paper stuck on a wall, face-on: you see the full rectangle, with the full area \(A\). View the same sheet from any angle \(\theta\) and the rectangle you see is squashed to \(A\cos\theta\) — at \(\theta = 60^\circ\) you see only half of the area, and at \(90^\circ\) it becomes a thin line with no visible area at all. This squashed shape is called the projected area.

ลองจินตนาการว่าคุณมองกระดาษที่ติดอยู่บนผนังโดยหันหน้าตรงเข้าหากระดาษ คุณจะเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมเต็มแผ่น ซึ่งมีพื้นที่เต็ม \(A\) แต่ถ้ามองกระดาษแผ่นนั้นจากมุม \(\theta\) ใด ๆ รูปสี่เหลี่ยมที่เห็นจะถูกบีบให้เล็กลงเหลือ \(A\cos\theta\) เช่น ที่มุม \(\theta = 60^\circ\) จะเห็นพื้นที่เพียงครึ่งเดียว และที่มุม \(90^\circ\) มันกลายเป็นเส้นบาง ๆ ที่มองเห็นพื้นที่เป็นศูนย์ รูปร่างที่ถูกบีบนี้เรียกว่า พื้นที่ฉาย (projected area)

Radiance is the quantity that your eye and your camera respond to: it is the physical measurement of what we call brightness in everyday life.

เรเดียนซ์คือปริมาณที่ตาและกล้องของเราตอบสนอง เป็นการวัดเชิงฟิสิกส์ของสิ่งที่เราเรียกในชีวิตประจำวันว่า ความสว่าง

Figure 4 —
Left: radiant flux collected along a direction making an angle \(\theta\) with the normal to the radiating surface. The surface \(A\) is drawn as a plane perpendicular to its normal. The green plane, centred on the same point where the normal meets the surface, is its projection onto a plane perpendicular to the viewing direction, \(A\cos\theta\), which shrinks as \(\theta\) grows. The aperture \(A_p\) sits on the circle of radius \(r\), turned square-on to the viewing direction, and the shaded cone is the solid angle it subtends at the surface.
Right: where \(A\cos\theta\) comes from. The surface is drawn edge-on and the whole picture is rotated so the viewing direction is horizontal. Rays parallel to that direction are traced from both ends of the surface onto a plane held perpendicular to it; the width they cut out of that plane is the projected area \(A\cos\theta\). The rod is the same length in both cases — only the width facing the detector has shrunk. Left panel redrawn as an interactive figure after Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 4; right panel is an original construction drawn for this page. รูปที่ 4 —
ซ้าย: ฟลักซ์การแผ่รังสีที่เก็บได้ตามทิศทางที่ทำมุม \(\theta\) กับเส้นปกติของผิวที่แผ่รังสี ผิว \(A\) วาดเป็นระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นปกติ ระนาบสีเขียวที่มีจุดกึ่งกลางอยู่ที่จุดเดียวกัน (จุดที่เส้นปกติตัดผิว) คือภาพฉายของผิวบนระนาบที่ตั้งฉากกับทิศที่มอง \(A\cos\theta\) ซึ่งจะเล็กลงเมื่อ \(\theta\) เพิ่มขึ้น ช่องรับ \(A_p\) วางอยู่บนวงกลมรัศมี \(r\) โดยหันหน้าตั้งฉากกับทิศที่มอง ส่วนกรวยที่ระบายสีคือมุมตันที่ช่องรับนี้รองรับเมื่อมองจากผิว
ขวา: \(A\cos\theta\) มาจากไหน ภาพนี้วาดผิวแบบมองจากด้านข้าง และหมุนทั้งภาพให้ทิศที่มองเป็นแนวนอน จากนั้นลากรังสีที่ขนานกับทิศนั้นออกจากปลายทั้งสองของผิว ไปตกบนระนาบที่ตั้งฉากกับทิศที่มอง ความกว้างที่รังสีตัดออกมาบนระนาบนั้นคือพื้นที่ฉาย \(A\cos\theta\) แท่งผิวยาวเท่าเดิมทั้งสองกรณี — สิ่งที่หดลงคือความกว้างที่หันเข้าหาตัวรับเท่านั้น ภาพซ้ายวาดขึ้นใหม่เป็นภาพโต้ตอบ ดัดแปลงจาก Pedrotti, F. L., et al. (2019). Introduction to Optics, Fig. 4; ภาพขวาเป็นภาพประกอบที่สร้างขึ้นเองสำหรับหน้านี้

Viewing angle θ (deg from the normal) มุมที่มอง θ (องศา วัดจากเส้นปกติ)

Measured intensity I(θ) (W/sr, along the viewing direction) ความเข้มที่วัดได้ I(θ) (W/sr, ตามทิศที่มอง)

Radiating surface A (cm²) ผิวที่แผ่รังสี A (cm²)

Aperture A_p (cm²) ช่องรับ A_p (cm²)

Aperture distance r (m) ระยะของช่องรับ r (m)

cos θ 0.5000 the squash factorตัวคูณที่ทำให้ถูกบีบ

Surface area Aพื้นที่ผิว A 0.01000 m² the real areaพื้นที่จริง

Projected area A cos θพื้นที่ฉาย A cos θ 5.000e-3 m² what the detector seesสิ่งที่ตัวรับเห็น

Radiance L_e = I(θ)/(A cos θ)เรเดียนซ์ L_e = I(θ)/(A cos θ) 50.00 W·sr⁻¹·m⁻² W·sr⁻¹·m⁻²

Aperture solid angle dω = A_p/r²มุมตันของช่องรับ dω = A_p/r² 4.000e-4 sr what the instrument seesสิ่งที่เครื่องมือมองเห็น

Power entering the apertureกำลังที่เข้าสู่ช่องรับ 100.0 µW I(θ)·dω

Worked example — reading a lamp panel at 60° ตัวอย่างการคำนวณ — วัดแผงไฟที่มุม 60°

A flat lamp panel measures 10 cm × 10 cm, so \(A = 100\ \mathrm{cm^2} = 0.01\ \mathrm{m^2}\). We place a detector looking at the panel at \(\theta = 60^\circ\) from the normal, and the instrument reports an intensity of \(I(60^\circ) = 0.25\) W/sr in that direction. The projected area is \[ A\cos 60^\circ = 0.01 \times 0.5 = 0.005\ \mathrm{m^2} \] so the radiance is \[ L_e = \frac{I(\theta)}{A\cos\theta} = \frac{0.25\ \mathrm{W/sr}}{0.005\ \mathrm{m^2}} = 50\ \mathrm{W\cdot sr^{-1}\cdot m^{-2}} \] How much power actually gets into the instrument? Its aperture has area \(A_p = 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\) at a distance \(r = 0.5\) m, so \[ d\omega = \frac{A_p}{r^{2}} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m^2}}{(0.5\ \mathrm{m})^{2}} = 4\times10^{-4}\ \mathrm{sr}, \qquad \Phi = I(\theta)\,d\omega = 0.25\ \mathrm{W/sr} \times 4\times10^{-4}\ \mathrm{sr} = 100\ \mu\mathrm{W} \]

แผงไฟแบนขนาด 10 cm × 10 cm ดังนั้น \(A = 100\ \mathrm{cm^2} = 0.01\ \mathrm{m^2}\) เราวางตัวรับให้มองแผงไฟที่มุม \(\theta = 60^\circ\) จากเส้นปกติ และเครื่องรายงานความเข้ม \(I(60^\circ) = 0.25\) W/sr ในทิศนั้น พื้นที่ฉายจึงเป็น \[ A\cos 60^\circ = 0.01 \times 0.5 = 0.005\ \mathrm{m^2} \] เรเดียนซ์จึงเป็น \[ L_e = \frac{I(\theta)}{A\cos\theta} = \frac{0.25\ \mathrm{W/sr}}{0.005\ \mathrm{m^2}} = 50\ \mathrm{W\cdot sr^{-1}\cdot m^{-2}} \] แล้วกำลังที่เข้าเครื่องมือจริง ๆ เท่าไร? ช่องรับของเครื่องวัดมีพื้นที่ \(A_p = 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\) ที่ระยะ \(r = 0.5\) m ดังนั้น \[ d\omega = \frac{A_p}{r^{2}} = \frac{10^{-4}\ \mathrm{m^2}}{(0.5\ \mathrm{m})^{2}} = 4\times10^{-4}\ \mathrm{sr}, \qquad \Phi = I(\theta)\,d\omega = 0.25\ \mathrm{W/sr} \times 4\times10^{-4}\ \mathrm{sr} = 100\ \mu\mathrm{W} \]

In this example we simply measured \(I\) at one angle and divided by the projected area at that angle to get \(L_e\). So what happens to \(L_e\) when we measure at other angles around the panel? Card 5 answers that question.

ในตัวอย่างนี้ เราเพียงวัด \(I\) ที่มุมหนึ่ง แล้วหารด้วยพื้นที่ฉายที่มุมนั้นเพื่อหาค่า \(L_e\) แล้วจะเกิดอะไรขึ้นกับ \(L_e\) เมื่อเราวัดที่มุมอื่น ๆ ของแผงไฟ? การ์ดที่ 5 จะตอบคำถามนี้

5 Perfectly Diffuse (Lambertian) Surfaces ผิวกระจายสมบูรณ์ (ผิวแลมเบอร์เชียน)

The light reflected from a surface has a different intensity in each viewing direction. Looking at a diffusing surface head-on (at \(\theta = 0^\circ\)) it is brightest, with intensity \(I(0)\); at larger viewing angles the intensity falls according to the equation below. We call a material whose surface scatters light this way a Lambertian surface, and the equation Lambert's cosine law:

แสงสะท้อนจากผิวหนึ่งให้ค่าความเข้มแสงไม่เท่ากันในแต่ละมุมมอง เมื่อมองผิวที่กระจายแสงตรง ๆ (ทำมุม \(\theta = 0^\circ\)) จะสว่างที่สุด หมายถึงมีความเข้ม \(I(0)\) และเมื่อมองด้วยมุมที่มากขึ้น ความเข้มจะลดลงตามสมการด้านล่าง เราเรียกวัสดุที่มีผิวกระจายแสงแบบนี้ว่า ผิวแลมเบอร์เชียน (Lambertian surface) และเรียกสมการนี้ว่า กฎโคไซน์ของแลมเบิร์ต (Lambert's cosine law):

\[ I(\theta) = I(0)\cos\theta \tag{13} \]

Now take the radiance \(L_e\) and replace \(I(\theta)\) with Lambert's cosine law. The \(\cos\theta\) terms cancel exactly, and \(L_e\) is a constant:

เมื่อพิจารณาเรเดียนซ์ \(L_e\) โดยแทน \(I(\theta)\) ด้วยกฎโคไซน์ของแลมเบิร์ต จะเห็นว่า \(\cos\theta\) ในสมการหักล้างกันได้พอดี ทำให้ \(L_e\) เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ดังสมการ:

\[ L_e = \frac{I(\theta)}{A\cos\theta} = \frac{I(0)\cos\theta}{A\cos\theta} = \frac{I(0)}{A} = \text{constant} \tag{14} \]

A Lambertian surface is therefore also called perfectly diffuse, because its radiance (brightness) does not change with the viewing angle — matte white paper is an example. To test whether a surface is perfectly diffuse, look at it from many angles: if it always appears equally bright, it is Lambertian.

ผิวแลมเบอร์เชียนจึงมีอีกชื่อหนึ่งว่า ผิวกระจายสมบูรณ์ (perfectly diffuse) เพราะเรเดียนซ์ (ความสว่าง) ไม่เปลี่ยนตามมุมที่มอง เช่น กระดาษสีขาวด้าน วิธีตรวจสอบว่าผิวใดเป็นผิวกระจายสมบูรณ์หรือไม่ ให้สังเกตผิวนั้นจากหลาย ๆ มุม ถ้ายังเห็นความสว่างเท่าเดิมเสมอ แสดงว่าผิวนั้นเป็นผิวแลมเบอร์เชียน

Use the toggle below to test cases that do not follow this law.
In the “uniform intensity” mode, the surface sends the same \(I\) into every direction, so \(L_e = I(0)/(A\cos\theta)\) grows as \(1/\cos\theta\) and keeps increasing as you look almost along the surface — the surface would appear to glare ever more fiercely the flatter you looked at it. Real diffuse surfaces do not behave that way; that is the content of Eq. (13).
The third setting, clear glass / polished surface, does not scatter light at all: it only gives specular reflection, where the light leaves in a single direction, with the angle of reflection equal to the angle of incidence. A viewer therefore sees light only at that angle, and \(L_e = 0\) at every other angle.

ลองใช้ตัวเลือกด้านล่างเพื่อทดสอบกรณีที่ไม่เป็นไปตามกฎนี้
ในโหมด “ความเข้มคงที่” ผิวส่งความเข้ม \(I\) เท่ากันไปทุกทิศ จึงได้ \(L_e = I(0)/(A\cos\theta)\) ซึ่งเพิ่มขึ้นตาม \(1/\cos\theta\) และมีค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อมองเกือบขนานกับผิว หมายความว่าผิวจะดูจ้าขึ้นเรื่อย ๆ ยิ่งมองเฉียง แต่ผิวกระจายแสงจริงไม่เป็นเช่นนั้น ซึ่งเป็นใจความของสมการ (13)
ส่วนตัวเลือกที่สาม แก้วใส / ผิวขัดเงา ไม่เกิดการกระจายแสงเลย แต่เกิดเฉพาะ การสะท้อนแบบสเปกิวลาร์ (specular reflection) หมายความว่าแสงสะท้อนออกไปทางเดียว โดยมีมุมสะท้อนเท่ากับมุมตกกระทบ ผู้มองจึงเห็นแสงเฉพาะที่มุมนั้น ส่วนที่มุมอื่น \(L_e = 0\)

Understanding Eq. (14). —
Left: the geometry of Figure 4 — the surface \(A\) (blue plane), its normal, the viewing direction at the angle \(\theta\), and the projected area \(A\cos\theta\) (green plane) — together with the curve of \(I(\theta)\) for the chosen surface model, drawn from the point where the normal meets the surface. For the cosine law the curve is a circle tangent to the surface. The viewing arrow ends on the curve, so its length is \(I(\theta)/I(0)\).
Right: bars comparing the three quantities at the current angle, relative to their values at \(\theta = 0^\circ\) — \(I(\theta)\) falls, \(A\cos\theta\) falls by the same factor, and their ratio \(L_e\) does not move. ทำความเข้าใจสมการ (14) —
ซ้าย: ใช้เรขาคณิตเดียวกับรูปที่ 4 ได้แก่ ผิว \(A\) (ระนาบสีน้ำเงิน) เส้นปกติ ทิศที่มองซึ่งทำมุม \(\theta\) กับเส้นปกติ และพื้นที่ฉาย \(A\cos\theta\) (ระนาบสีเขียว) นอกจากนี้มีเส้นโค้งของ \(I(\theta)\) ตามแบบจำลองผิวที่เลือก วาดจากจุดที่เส้นปกติตัดผิว สำหรับกฎโคไซน์ เส้นโค้งเป็นวงกลมที่สัมผัสกับผิว ปลายลูกศรทิศที่มองอยู่บนเส้นโค้งเสมอ ความยาวของลูกศรจึงแทนค่า \(I(\theta)/I(0)\)
ขวา: แท่งกราฟเทียบปริมาณทั้งสามที่มุมปัจจุบัน โดยเทียบกับค่าที่ \(\theta = 0^\circ\) — \(I(\theta)\) ลดลง, \(A\cos\theta\) ลดลงเท่ากัน ส่วน \(L_e\) ซึ่งเป็นอัตราส่วนของทั้งสองจึงไม่เปลี่ยน

Viewing angle θ (deg) มุมที่มอง θ (องศา)

Normal intensity I(0) (W/sr) ความเข้มตามแนวเส้นปกติ I(0) (W/sr)

Surface area A (cm²) พื้นที่ผิว A (cm²)

Surface modelแบบจำลองของผิว

Lambertian — I(θ) = I(0) cos θ แลมเบอร์เชียน — I(θ) = I(0) cos θ e.g. matte paint, paper, a plaster wall, ground (frosted) glass, fresh snow, Spectralon — any surface that scatters light over the whole hemisphere. เช่น สีด้าน กระดาษ ผนังปูนฉาบ กระจกฝ้า หิมะใหม่ แผ่นมาตรฐาน Spectralon — ผิวที่กระจายแสงออกไปทั่วครึ่งทรงกลม Uniform intensity — I(θ) = I(0) ความเข้มคงที่ — I(θ) = I(0) No real flat surface behaves like this — it is the counter-model. The closest real cases are point-like sources (a small filament bulb, a frosted globe lamp) or an LED with a wide-angle “batwing” lens, whose I hardly changes with angle. ไม่มีผิวแบนจริงที่เป็นแบบนี้ — ใช้เป็นกรณีเปรียบเทียบ ตัวอย่างที่ใกล้เคียงที่สุดคือแหล่งกำเนิดที่คล้ายจุด (เช่น หลอดไส้ดวงเล็ก โคมกลมฝ้า) หรือ LED ที่ใส่เลนส์กระจายแสงมุมกว้างแบบ “batwing” ซึ่งค่า I แทบไม่เปลี่ยนตามมุม Clear glass / polished — no scattering, only specular reflection แก้วใส / ผิวขัดเงา — ไม่เกิดการกระจายแสง เกิดการสะท้อนแบบ Specular reflection เท่านั้น Clear glass, a mirror, still water, gloss varnish — the light is reflected in a single direction, with the angle of reflection equal to the angle of incidence (set to 30° in the figure). You see the light only when you look along that direction; at any other viewing angle L = 0. Assuming 100 % reflection, the radiance of the reflected beam equals that of the incident beam at the mirror angle and is 0 at every other angle (for a real material, L = ρ·L_incident, where the reflectance ρ depends on the material and the angle). Here the I(0) control only sets the incident beam's radiance, as I(0)/0.01 m²; it does not depend on the area A. Neither of the first two models applies. เช่น แก้วใส กระจกเงา ผิวน้ำนิ่ง แล็กเกอร์เงา — แสงสะท้อนออกไปทางเดียว โดยมีมุมสะท้อนเท่ากับมุมตกกระทบ (ในภาพกำหนดให้ตกกระทบที่ 30°) เราจึงเห็นแสงเฉพาะเมื่อมองตามทิศนั้น ที่มุมมองอื่น L = 0 โดยสมมติว่าสะท้อน 100 % เรเดียนซ์ของลำแสงสะท้อนจะเท่ากับของลำแสงตกกระทบที่มุมสะท้อน (สำหรับวัสดุจริง L = ρ·L_{ตกกระทบ} เมื่อสัมประสิทธิ์การสะท้อน ρ ขึ้นกับวัสดุและมุม) ในโหมดนี้ตัวควบคุม I(0) ใช้กำหนดเรเดียนซ์ของลำแสงตกกระทบเท่านั้น คือ I(0)/0.01 m² ไม่ขึ้นกับพื้นที่ A จึงไม่เข้ากับสองแบบแรก

I(θ) 0.3536 W/sr W/sr

A cos θ 7.071e-3 m² m²

Radiance L_eเรเดียนซ์ L_e 50.00 W·sr⁻¹·m⁻² same at every angle — Eq. (14)

Worked example — viewing a perfectly diffuse panel from several angles ตัวอย่างการคำนวณ — มองแผงกระจายแสงสมบูรณ์จากหลายมุม

Suppose a lamp panel is a perfectly diffuse surface with area \(A = 100\ \mathrm{cm^2} = 0.01\ \mathrm{m^2}\) and \(I(0) = 0.5\) W/sr. Computing \(\cos\theta\), \(I(\theta)\), \(A\cos\theta\) and \(L_e\) at each viewing angle gives the values in the table below (the table follows the surface model and the settings chosen above, and starts with the Lambertian model):

กรณีแผงไฟเป็นผิวกระจายแสงสมบูรณ์ มีพื้นที่ \(A = 100\ \mathrm{cm^2} = 0.01\ \mathrm{m^2}\) และมีค่า \(I(0) = 0.5\) W/sr เมื่อคำนวณหาค่า \(\cos\theta\), \(I(\theta)\), \(A\cos\theta\) และ \(L_e\) ที่แต่ละมุมที่มอง จะได้ค่าดังตารางด้านล่าง (ตารางเปลี่ยนตามแบบจำลองผิวและค่าที่ตั้งไว้ด้านบน โดยเริ่มต้นเป็นแบบจำลองแลมเบอร์เชียน):

θ	cos θ	I(θ) [W/sr]	A cos θ [m²]	L_e [W·sr⁻¹·m⁻²]

We conclude that, looking around a perfectly diffuse surface, \(L_e\) is constant and does not change with the viewing angle.

จึงสรุปได้ว่า เมื่อสังเกตรอบผิวกระจายแสงสมบูรณ์ ค่า \(L_e\) เป็นค่าคงที่ ไม่เปลี่ยนตามมุมที่มอง

6 Radiance in a Nonabsorbing Medium เรเดียนซ์ในตัวกลางที่ไม่ดูดกลืน

A nonabsorbing medium is a medium that is transparent and uniform: it neither absorbs nor scatters light, and its refractive index stays the same along the whole path.
Examples of nonabsorbing media: a vacuum (sunlight crossing space), clean air over a short distance, and clear glass or clear water over a short path.
Examples that do not meet this condition: fog and smoke (they scatter and absorb light), tinted glass or sunglasses (they absorb light), and frosted glass (it scatters light).
When light travels in a medium that neither absorbs nor scatters it, \(L\) of the beam is the same at every point along the ray, however far the beam travels.
When light travels through a medium that absorbs or scatters it, \(L\) decreases along the way, by an amount that depends on the medium.

ตัวกลางที่ไม่ดูดกลืน คือตัวกลางที่โปร่งใสและสม่ำเสมอ ไม่ดูดกลืนแสง ไม่กระเจิงแสง และมีดัชนีหักเหคงที่ตลอดเส้นทาง
ตัวอย่างตัวกลางที่ไม่ดูดกลืน เช่น สุญญากาศ (แสงจากดวงอาทิตย์เดินทางผ่านอวกาศ) อากาศสะอาดในระยะสั้น ๆ แก้วใสหรือน้ำใสในระยะสั้น ๆ
ตัวอย่างตัวกลางที่ไม่เข้าเงื่อนไข เช่น หมอกและควัน (กระเจิงและดูดกลืนแสง) กระจกสีหรือแว่นกันแดด (ดูดกลืนแสง) และกระจกฝ้า (กระเจิงแสง)
เมื่อแสงเดินทางในตัวกลางที่ไม่ดูดกลืนและไม่กระเจิงแสง ค่า \(L\) ของลำแสงจะ เท่ากันทุกจุดตลอดแนวรังสี ไม่ว่าลำแสงจะเดินทางไปไกลเท่าใด
แต่เมื่อแสงเดินทางผ่านตัวกลางที่ดูดกลืนหรือกระเจิงแสง ค่า \(L\) จะลดลงระหว่างทาง มากหรือน้อยขึ้นอยู่กับตัวกลางนั้น ๆ

The proof that \(L\) has the same value at every point along the ray in such a medium is given in Introduction to Optics (Pedrotti et al.), pp. 13–14.

วิธีพิสูจน์ว่าค่า \(L\) เท่ากันทุกจุดตลอดแนวรังสีในตัวกลางดังกล่าว มีอธิบายไว้ในหนังสือ Introduction to Optics (Pedrotti et al.) หน้า 13–14

References เอกสารอ้างอิง

Pedrotti, F. L., Pedrotti, L. M., & Pedrotti, L. S. (2019). Introduction to Optics (3rd ed.). Cambridge University Press. — Section 4, “Radiometry”: Table 1, Eqs. (10)–(14), and Figures 2–4. Source of the definitions, the symbols and units in Table 1, and the geometry of Figures 2, 3 and 4 used on this page. The statement in card 6 that radiance stays constant along a ray in a nonabsorbing medium follows the book's Eqs. (15) and (16).
Pedrotti, F. L., Pedrotti, L. M., & Pedrotti, L. S. (2019). Introduction to Optics (พิมพ์ครั้งที่ 3). Cambridge University Press. — บทที่ 4 “Radiometry”: Table 1, สมการ (10)–(14) และ Figure 2–4 เป็นที่มาของนิยาม สัญลักษณ์และหน่วยในตารางที่ 1 รวมถึงเรขาคณิตของรูปที่ 2, 3 และ 4 ที่ใช้ในหน้านี้ ส่วนข้อสรุปในการ์ดที่ 6 ที่ว่าเรเดียนซ์คงที่ตลอดแนวรังสี ในตัวกลางที่ไม่ดูดกลืน อ้างอิงตามสมการ (15) และ (16) ของหนังสือ

Note on the figures and examples. No images are reproduced from the book. Every figure on this page was redrawn from scratch as an interactive canvas diagram after the corresponding figure in the reference above, and is credited underneath itself; the figure in card 5 and the right-hand panel of Figure 4 are original diagrams made for this page. All numerical examples were written specifically for this page and do not appear in the book.

หมายเหตุเรื่องภาพและตัวอย่าง ไม่มีการนำภาพจากหนังสือมาใช้ซ้ำ ทุกภาพในหน้านี้ถูกวาดขึ้นใหม่ทั้งหมด เป็นไดอะแกรมบน canvas แบบโต้ตอบ โดยดัดแปลงจากรูปที่สอดคล้องกันในเอกสารอ้างอิงข้างต้น และมีการให้เครดิตกำกับไว้ใต้ภาพแต่ละภาพ ส่วนภาพในการ์ดที่ 5 และภาพด้านขวาของรูปที่ 4 เป็นไดอะแกรมต้นฉบับที่สร้างขึ้นเองสำหรับหน้านี้ ตัวอย่างตัวเลขทั้งหมดเขียนขึ้นใหม่เฉพาะสำหรับหน้านี้ ไม่ได้ปรากฏอยู่ในหนังสือ