Binary Arithmetic เลขคณิตฐานสอง

1. Binary addition 1. การบวกฐานสอง

There are only four single-bit sums. When the total reaches 2 it does not fit in one binary digit, so you write 0 and carry 1 to the next column on the left — the same idea as carrying in denary when a column reaches 10.

การบวกทีละบิตมีแค่ 4 กรณี เมื่อผลรวมถึง 2 จะใส่ในหลักเดียวไม่พอ จึงเขียน 0 แล้ว ทด 1 ไปหลักถัดไปทางซ้าย — แนวคิดเดียวกับการทดในฐานสิบ เมื่อหลักหนึ่งถึง 10

Worked example: 1101 + 1011 (denary 13 + 11). Each column is one step, right to left; the top row is the carry into that column. ตัวอย่างที่ทำทีละขั้น: 1101 + 1011 (ฐานสิบ 13 + 11) แต่ละหลักคือหนึ่งขั้น จากขวาไปซ้าย แถวบนสุดคือค่าที่ทดเข้ามาในหลักนั้น

• Column \(2^0\): 1 + 1 = 10 → write 0, carry 1.หลัก \(2^0\): 1 + 1 = 10 → เขียน 0 ทด 1
• Column \(2^1\): 0 + 1 + 1 (carry) = 10 → write 0, carry 1.หลัก \(2^1\): 0 + 1 + 1 (ตัวทด) = 10 → เขียน 0 ทด 1
• Column \(2^2\): 1 + 0 + 1 (carry) = 10 → write 0, carry 1.หลัก \(2^2\): 1 + 0 + 1 (ตัวทด) = 10 → เขียน 0 ทด 1
• Column \(2^3\): 1 + 1 + 1 (carry) = 11 → write 1, carry 1.หลัก \(2^3\): 1 + 1 + 1 (ตัวทด) = 11 → เขียน 1 ทด 1
• Column \(2^4\): the final carry 1 becomes the leftmost digit.หลัก \(2^4\): ตัวทดสุดท้าย 1 กลายเป็นหลักซ้ายสุด

Result: 1101 + 1011 = 11000. Check in denary: \(13 + 11 = 24\), and \(11000_2 = 16 + 8 = 24\). ✓ ผลลัพธ์: 1101 + 1011 = 11000 ตรวจด้วยฐานสิบ: \(13 + 11 = 24\) และ \(11000_2 = 16 + 8 = 24\) ✓

2. Binary subtraction (borrow method) 2. การลบฐานสอง (วิธียืม)

Subtract column by column. Three cases are easy: 0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0. The fourth, 0 - 1, cannot be done directly — borrow 1 from the next column on the left. The borrowed 1 is worth 2 in this column, so the column becomes 10 - 1 = 1, and the left column loses 1. Same idea as borrowing in denary.

ลบทีละหลัก สามกรณีง่าย: 0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0 ส่วนกรณีที่สี่ 0 - 1 ทำตรง ๆ ไม่ได้ ต้อง ยืม 1 จากหลักถัดไปทางซ้าย ตัว 1 ที่ยืมมามีค่าเท่ากับ 2 ในหลักนี้ หลักนี้จึงกลายเป็น 10 - 1 = 1 และหลักซ้ายถูกหักออก 1 แนวคิดเดียวกับการยืมในฐานสิบ

Worked example: 1011 − 0101 (denary 11 − 5). The top row shows where a borrow happens. ตัวอย่างที่ทำทีละขั้น: 1011 − 0101 (ฐานสิบ 11 − 5) แถวบนสุดแสดงว่าหลักใดต้องยืม

• Column \(2^0\): 1 - 1 = 0.หลัก \(2^0\): 1 - 1 = 0
• Column \(2^1\): 1 - 0 = 1.หลัก \(2^1\): 1 - 0 = 1
• Column \(2^2\): 0 - 1 → borrow from \(2^3\). Column becomes 10 - 1 = 1.หลัก \(2^2\): 0 - 1 → ยืมจากหลัก \(2^3\) หลักนี้กลายเป็น 10 - 1 = 1
• Column \(2^3\): the 1 was reduced to 0 by the borrow, so 0 - 0 = 0.หลัก \(2^3\): เลข 1 ถูกลดเป็น 0 เพราะการยืม จึงเป็น 0 - 0 = 0

Result: 1011 − 0101 = 0110. Check: \(11 - 5 = 6\), and \(0110_2 = 4 + 2 = 6\). ✓ ผลลัพธ์: 1011 − 0101 = 0110 ตรวจ: \(11 - 5 = 6\) และ \(0110_2 = 4 + 2 = 6\) ✓

3. Binary multiplication (shift-and-add) 3. การคูณฐานสอง (shift-and-add)

Long multiplication is simple in binary because each digit of the multiplier is only 0 or 1:

การคูณแบบตั้งหารทำได้ง่ายในฐานสอง เพราะแต่ละหลักของตัวคูณเป็นได้แค่ 0 หรือ 1

• Multiplier bit 0 → partial product is all zeros.บิตตัวคูณเป็น 0 → ผลคูณย่อยเป็นศูนย์ทั้งหมด
• Multiplier bit 1 → partial product is a copy of the multiplicand.บิตตัวคูณเป็น 1 → ผลคูณย่อยคือ สำเนาของตัวตั้ง
• Each partial product is shifted left by the position of its bit, then all are added.ผลคูณย่อยแต่ละตัวถูก เลื่อนซ้าย ตามตำแหน่งของบิตนั้น แล้วนำมาบวกกันทั้งหมด

Worked example: 110 × 101 (denary 6 × 5). ตัวอย่างที่ทำทีละขั้น: 110 × 101 (ฐานสิบ 6 × 5)

Result: 110 × 101 = 11110. Check: \(6 \times 5 = 30\), and \(11110_2 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30\). ✓ ผลลัพธ์: 110 × 101 = 11110 ตรวจ: \(6 \times 5 = 30\) และ \(11110_2 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30\) ✓

Shortcut: multiplying by \(2^k\) just appends \(k\) zeros (a left shift). For example 110 × 10 = 1100 (\(6 \times 2 = 12\)). ทางลัด: การคูณด้วย \(2^k\) คือการเติม 0 ต่อท้าย \(k\) ตัว (เลื่อนซ้าย) เช่น 110 × 10 = 1100 (\(6 \times 2 = 12\))

4. Binary division 4. การหารฐานสอง

There are two ways to divide, used for different jobs:

การหารมี 2 วิธี ใช้กับงานคนละแบบ:

• Long division — works for any divisor. Gives a quotient and a remainder. This is what a general divide instruction (or // and % in code) does. การตั้งหาร — ใช้ได้กับตัวหารทุกค่า ได้ ผลหาร และ เศษ เป็นสิ่งที่คำสั่งหารทั่วไป (หรือ // และ % ในโค้ด) ทำ
• Right shift — only for dividing by a power of two, \(2^k\). Drop the rightmost \(k\) bits; those dropped bits are the remainder. Very fast, so hardware and compilers use it whenever the divisor is \(2, 4, 8, \dots\) การเลื่อนขวา — ใช้ได้เฉพาะการหารด้วยเลขยกกำลังสอง \(2^k\) ตัดบิตขวาสุดออก \(k\) ตัว บิตที่ตัดออกคือเศษ ทำได้เร็วมาก ฮาร์ดแวร์และคอมไพเลอร์จึงใช้วิธีนี้เมื่อตัวหารเป็น \(2, 4, 8, \dots\)

4a. Long division — any divisor 4a. การตั้งหาร — ตัวหารใด ๆ

Same routine as denary long division, but every “does it fit?” check has only two answers. Bring bits of the dividend down one at a time into a running value; if the running value is ≥ the divisor, the next quotient bit is 1 and you subtract the divisor; otherwise the quotient bit is 0.

ขั้นตอนเหมือนการตั้งหารฐานสิบ แต่การถามว่า “หารลงตัวไหม” มีคำตอบแค่สองแบบ ดึงบิตของตัวตั้งลงมาทีละบิตเป็นค่าที่กำลังคิดอยู่ ถ้าค่านั้น ≥ ตัวหาร บิตผลหารถัดไปเป็น 1 แล้วลบตัวหารออก มิฉะนั้นบิตผลหารเป็น 0

Worked example: 11110 ÷ 101 (denary 30 ÷ 5). ตัวอย่างที่ทำทีละขั้น: 11110 ÷ 101 (ฐานสิบ 30 ÷ 5)

Result: quotient 00110 = 110, remainder 0. Check: \(30 \div 5 = 6\), and \(110_2 = 6\). ✓ (This is the multiplication example run backwards.) ผลลัพธ์: ผลหาร 00110 = 110 เศษ 0 ตรวจ: \(30 \div 5 = 6\) และ \(110_2 = 6\) ✓ (เป็นตัวอย่างการคูณที่ทำย้อนกลับ)

Second example with a remainder: 1011 ÷ 10 (denary 11 ÷ 2). ตัวอย่างที่สองที่มีเศษ: 1011 ÷ 10 (ฐานสิบ 11 ÷ 2)

Result: quotient 0101 = 101, remainder 1. Check: \(11 \div 2 = 5\) remainder \(1\). ✓ ผลลัพธ์: ผลหาร 0101 = 101 เศษ 1 ตรวจ: \(11 \div 2 = 5\) เศษ \(1\) ✓

4b. Right shift — dividing by a power of two 4b. การเลื่อนขวา — หารด้วยเลขยกกำลังสอง

Dividing by \(2^k\) means throwing away the rightmost \(k\) bits. The bits you throw away are the remainder; what is left is the quotient. It is the mirror image of the multiplication shortcut (append zeros to multiply, drop digits to divide).

การหารด้วย \(2^k\) คือการตัดบิตขวาสุดทิ้ง \(k\) ตัว บิตที่ตัดทิ้งคือเศษ ส่วนที่เหลือคือผลหาร เป็นภาพสะท้อนของทางลัดการคูณ (เติมศูนย์เพื่อคูณ ตัดหลักออกเพื่อหาร)

Worked example: 1011 (denary 11) divided by 10 (\(2^1\)) and by 100 (\(2^2\)). ตัวอย่างที่ทำทีละขั้น: 1011 (ฐานสิบ 11) หารด้วย 10 (\(2^1\)) และด้วย 100 (\(2^2\))

The 10 row matches the long-division example above — same quotient 101 and remainder 1, but found by inspection instead of five steps. แถว 10 ตรงกับตัวอย่างการตั้งหารด้านบน — ผลหาร 101 และเศษ 1 เท่ากัน แต่ได้จากการดูเฉย ๆ แทนที่จะทำห้าขั้น

Check your work with Python ตรวจคำตอบด้วย Python

The by-hand methods above are the point of this lesson. These demos just confirm the same answers. bin(x) shows a value in binary with a 0b prefix, // is integer division (the quotient), and % is the remainder.

วิธีทำด้วยมือด้านบนคือหัวใจของบทนี้ ตัวอย่างด้านล่างไว้ยืนยันคำตอบเดียวกัน bin(x) แสดงค่าเป็นฐานสองโดยขึ้นต้นด้วย 0b, // คือการหารเอาผลหาร (จำนวนเต็ม) และ % คือเศษ

References References / แหล่งอ้างอิง

Sources used for binary arithmetic:

แหล่งที่ใช้ประกอบเนื้อหาเลขคณิตฐานสอง:

1. Binary arithmetic — Wikipedia — Binary number (arithmetic) (addition, subtraction, multiplication, long division) (การบวก ลบ คูณ และการตั้งหาร)
2. Division algorithm — Wikipedia — Division algorithm (quotient and remainder, shift-and-subtract) (ผลหารและเศษ วิธี shift-and-subtract)
3. Arithmetic shift — Wikipedia — Arithmetic shift (multiply / divide by a power of two by shifting) (คูณ / หารด้วยเลขยกกำลังสองด้วยการเลื่อนบิต)
4. Python bin — Built-in Functions — bin (used to inspect demo results) (ใช้ดูผลในตัวอย่าง Run)