Superposition of Waves การซ้อนทับของคลื่น (Superposition)

How waves of the same frequency combine at a point. คลื่นที่ความถี่เดียวกันรวมกันที่จุดหนึ่งอย่างไร

Superposition of Waves — Principle การซ้อนทับของคลื่น — หลักการ
1 The Superposition Principle หลักการซ้อนทับ (Superposition Principle)

In practice, several waves often arrive at the same point at the same time, for example light from two sources falling on the same screen.

ในสถานการณ์จริงเรามักเจอคลื่นหลายคลื่นไปปรากฏที่จุดเดียวกันพร้อมกัน เช่น แสงสองลำที่ตกบนฉากเดียวกัน

The superposition principle for electromagnetic waves says that the electric field E and the magnetic field B of the individual waves simply add. As vector equations [1]:

หลักการซ้อนทับ (superposition principle) สำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคือผลรวมของสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก B ของแต่ละคลื่น เขียนสมการแบบเวกเตอร์ได้เป็น [1]

\[ \mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2, \qquad \mathbf{B} = \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2 \tag{1} \]

On this page, E is treated as a scalar, which is valid when the electric fields of the two waves are parallel. For the waves in Figure 1, this can be seen from the ⊙ symbols on the wavefronts of both beams: they mean that the electric field points out of the page, perpendicular to the plane of the drawing. The electric fields of the two beams therefore point in the same direction, even though the beams travel at an angle to each other.

ในหน้านี้ใช้ E เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งใช้ได้เมื่อสนามไฟฟ้าของสองคลื่นขนานกัน สำหรับคลื่นในรูปที่ 1 ดูได้จากสัญลักษณ์ ⊙ บนหน้าคลื่นของทั้งสองลำแสง ซึ่งหมายถึงสนามไฟฟ้าชี้ตั้งฉากกับระนาบของภาพ (พุ่งออกจากหน้ากระดาษ) ทั้งสองลำแสงจึงมีทิศของสนามไฟฟ้าขนานกัน แม้ลำแสงทั้งสองจะเดินทางทำมุมกัน

Combining two waves of the same frequency กรณีคลื่นที่ความถี่เดียวกันมารวมกัน

Consider two plane waves that travel at the same speed and have the same wavelength. Each beam starts from its own reference plane, a position where the phase of the wave at t = 0 is known: \(\varphi_1\) for beam 1 and \(\varphi_2\) for beam 2. From there, each wave travels a distance \(s_1\) (beam 1) or \(s_2\) (beam 2) to reach point P. At P the two waves can therefore be written as

เมื่อพิจารณาคลื่นระนาบ 2 คลื่นที่เดินทางด้วยความเร็วเท่ากันและมีความยาวคลื่นเดียวกัน และกำหนดให้ลำแสงแต่ละลำเริ่มต้นจาก ระนาบอ้างอิง (reference plane) ซึ่งเป็นตำแหน่งที่เรารู้เฟสของคลื่น ณ เวลา t = 0 คือ \(\varphi_1\) สำหรับลำที่ 1 และ \(\varphi_2\) สำหรับลำที่ 2 จากระนาบนั้นคลื่นเดินทางต่อไปตามทิศจนถึงจุด P เป็นระยะ \(s_1\) และ \(s_2\) ตามลำดับ ดังนั้นที่จุด P มี 2 คลื่นเขียนสมการได้เป็น

\[ E_1 = E_{01}\cos(ks_1 - \omega t + \varphi_1) \tag{2} \] \[ E_2 = E_{02}\cos(ks_2 - \omega t + \varphi_2) \tag{3} \]

and the sum of the two waves is

และผลรวมของคลื่นทั้ง 2 เท่ากับ

\[ E_R = E_1 + E_2 \tag{4} \] \[ E_R = E_{01}\cos(\alpha_1 - \omega t) + E_{02}\cos(\alpha_2 - \omega t) \]

where

เมื่อ

\[ \alpha_1 = ks_1 + \varphi_1 \tag{5} \] \[ \alpha_2 = ks_2 + \varphi_2 \tag{6} \]

and the phase difference between the two waves is

โดยที่ความต่างเฟส (phase difference) ของคลื่นทั้งสองคือ

\[ \Delta = \alpha_2 - \alpha_1 = k(s_2 - s_1) + (\varphi_2 - \varphi_1) \tag{7} \]
s₁ E₁ s₂ E₂ P Reference plane for beam 1 ระนาบอ้างอิงของลำแสง 1 Reference plane for beam 2 ระนาบอ้างอิงของลำแสง 2 Wavefronts หน้าคลื่น E perpendicular to the page E ตั้งฉากกับหน้ากระดาษ
Figure 1 — Two beams meeting at point P Each beam travels from its own reference plane to P over a distance \(s_1\) or \(s_2\). The solid lines are wavefronts, along which the phase is the same. The ⊙ symbol on a wavefront means the electric field is perpendicular to the page. Adapted from [1], Fig. 1. รูปที่ 1 — ลำแสงสองลำมาพบกันที่จุด P แต่ละลำเดินทางจากระนาบอ้างอิงของตัวเองมาถึง P เป็นระยะ \(s_1\) และ \(s_2\) ส่วนเส้นทึบคือหน้าคลื่น (wavefront) ที่เฟสเท่ากัน สัญลักษณ์ ⊙ บนหน้าคลื่นหมายถึงสนามไฟฟ้าตั้งฉากกับหน้ากระดาษ ปรับจาก [1], Fig. 1

How \(\lambda\), \(f\), \(k\) and \(\omega\) are related ความสัมพันธ์ของ \(\lambda\), \(f\), \(k\) และ \(\omega\)

The speed of a wave in a medium with refractive index n is

จากความเร็วของคลื่นในตัวกลางที่มีดัชนีหักเห (refractive index) n

\[ v = \frac{c}{n} \]

and the speed (v) is related to the frequency (f) and the wavelength (\(\lambda\)) by

และจากความสัมพันธ์ของความเร็ว (v) กับความถี่ (f) และความยาวคลื่น (λ)

\[ v = f\lambda \]

Combining the two equations gives

เขียนสมการใหม่เป็น

\[ \frac{c}{n} = f\lambda \]

Solving for the frequency

จัดรูปเพื่อหาความถี่

\[ f = \frac{c}{n\lambda} \]

For a wave travelling in air (n = 1), the equation becomes

เมื่อคลื่นเดินทางในอากาศ (n = 1) จึงเขียนสมการได้เป็น

\[ f = \frac{c}{\lambda} \tag{8} \]

The values of k and ω used in the equations are

ส่วนค่า k และ ω ที่ใช้ในสมการคือ

\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \tag{9} \] \[ \omega = 2\pi f \tag{10} \]
Table 1 — Symbols used on this page [1] ตารางที่ 1 — สัญลักษณ์ที่ใช้ในหน้านี้ [1]
Symbolสัญลักษณ์ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(E_{01},\ E_{02}\) Amplitude of the electric field of each waveแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้าแต่ละคลื่น V/m (relative units, a.u., are used on this page)V/m (ในหน้านี้ใช้หน่วยสัมพัทธ์ a.u.)
\(k\) Wave number, \(k = 2\pi/\lambda\)เลขคลื่น (wave number) \(k = 2\pi/\lambda\) rad/m
\(\omega\) Angular frequency, \(\omega = 2\pi f\)ความถี่เชิงมุม \(\omega = 2\pi f\) rad/s
\(c,\ n\) Speed of light in vacuum; refractive index of the medium (air, n = 1, is used on this page)ความเร็วแสงในสุญญากาศ, ดัชนีหักเหของตัวกลาง (หน้านี้ใช้อากาศ n = 1) m/s, –
\(f,\ \lambda\) Frequency and wavelength (shared by both waves)ความถี่, ความยาวคลื่น (ใช้ร่วมกันทั้งสองคลื่น) Hz, m
\(s_1,\ s_2\) Distance from the reference plane to P along the direction of travelระยะจากระนาบอ้างอิงถึง P ตามทิศการเคลื่อนที่ m
\(\varphi_1,\ \varphi_2\) Phase on the reference plane at t = 0เฟสบนระนาบอ้างอิงที่ t = 0 rad
\(\alpha_1,\ \alpha_2\) Constant phase, \(ks + \varphi\)เฟสคงที่รวม \(ks + \varphi\) rad
\(\Delta\) Phase difference, \(\alpha_2 - \alpha_1\)ความต่างเฟส \(\alpha_2 - \alpha_1\) rad
\(E_R\) Resultant field at Pสนามลัพธ์ที่ P V/m
2 Result of Combining the Waves: Constructive and Destructive Interference ผลของการรวมกัน: Constructive และ Destructive interference

At P the two waves oscillate at the same frequency, so they rise and fall with the same rhythm. The only difference is how far one wave “lags behind” the other. The value that measures this lag is \(\Delta\) in Eq. (7), and \(\Delta\) alone decides whether the resultant wave oscillates strongly or weakly.

ที่จุด P คลื่นทั้งสองสั่นด้วยความถี่เดียวกัน จึงขึ้นลงเป็นจังหวะเดียวกัน สิ่งที่ต่างกันมีแค่ว่าคลื่นหนึ่ง “ตามหลัง” อีกคลื่นหนึ่งอยู่เท่าไร ค่าที่บอกการตามหลังนี้คือ \(\Delta\) ในสมการ (7) และ \(\Delta\) ตัวนี้เองที่ตัดสินว่าคลื่นรวมจะสั่นแรงหรือแผ่วลง

Imagine that wave 2 is identical to wave 1 except that it is shifted along the direction of travel by a distance d. When \(\varphi_1 = \varphi_2\), \(d = s_2 - s_1\), and since \(k = 2\pi/\lambda\) we get

ลองนึกว่าคลื่นขบวนที่ 2 เหมือนขบวนที่ 1 ทุกอย่าง แต่ถูกเลื่อนไปตามแนวการเดินทางเป็นระยะ d เมื่อ \(\varphi_1 = \varphi_2\) แล้ว \(d = s_2 - s_1\) และจาก \(k = 2\pi/\lambda\) จะได้

\[ \Delta = k(s_2 - s_1) = \frac{2\pi d}{\lambda} \]

Constructive interference กรณี Constructive interference

If the distance \(d = 0, \lambda, 2\lambda, \dots\) (that is, \(d = m\lambda\)), the crests of one wave coincide with the crests of the other, and the troughs with the troughs. Both waves push the field in the same direction at every moment, so the amplitudes simply add: \((E_{01} + E_{02})\). In this case \(\Delta\) is

ถ้าระยะ d = 0, λ, 2λ, … (d = mλ) ยอดของคลื่นหนึ่งจะตรงกับยอดของอีกคลื่น และท้องตรงกับท้อง คลื่นทั้งสองดันสนามไปทางเดียวกันตลอดเวลา แอมพลิจูดจึงบวกกันตรง ๆ \((E_{01} + E_{02})\) แล้ว \(\Delta\) ในกรณีนี้เป็น

\[ \Delta = 2m\pi, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \] \[ E_R = (E_{01} + E_{02})\cos(\alpha_1 - \omega t) \]

Destructive interference กรณี Destructive interference

If the distance \(d = \lambda/2,\ 3\lambda/2, \dots\) (that is, \(d = (m + \tfrac{1}{2})\lambda\)), a crest of one wave meets a trough of the other, and the resulting amplitude is the difference \(|E_{01} - E_{02}|\). In this case \(\Delta\) is

ถ้าระยะ d = λ/2, 3λ/2, … (d = (m + ½)λ) ยอดของคลื่นหนึ่งตรงกับท้องคลื่นของอีกคลื่นหนึ่ง ผลคือแอมพลิจูดเท่ากับผลต่าง \(|E_{01} - E_{02}|\) แล้ว \(\Delta\) ในกรณีนี้เป็น

\[ \Delta = (2m + 1)\pi, \quad m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \] \[ E_R = (E_{01} - E_{02})\cos(\alpha_1 - \omega t) \]

If \(E_{01} = E_{02}\), the amplitude is zero, so no electric field is left at P.

ถ้า \(E_{01} = E_{02}\) แล้วแอมพลิจูดเท่ากับศูนย์ ดังนั้นที่จุด P จะไม่เหลือสนามไฟฟ้าเลย

Other cases กรณีอื่น ๆ

For any other distance, the resultant wave still oscillates at the original frequency, but its amplitude lies between the destructive and the constructive value. Drag \(\varphi_2\) in the visualization below and watch the amplitude of \(E_R\) change gradually from one case to the other.

ถ้าเลื่อนไปในระยะอื่นที่ไม่ใช่สองแบบข้างบน คลื่นรวมยังสั่นด้วยความถี่เดิม แต่แอมพลิจูดจะอยู่ระหว่างค่าของ destructive กับ constructive ลองลากค่า \(\varphi_2\) ใน visualization แล้วดูว่าแอมพลิจูดของ \(E_R\) ค่อย ๆ เปลี่ยนจากแบบหนึ่งไปอีกแบบอย่างไร

Interactive visualization Interactive visualization

How to use วิธีใช้

  1. Press Constructive and check that the crests of E1 and E2 line up and that E0R = E01 + E02.
  2. Press Destructive and compare the positions of the crests and troughs of the two waves. If you then press “Set E02 = E01”, ER is zero at all times.
  3. Change s2 a little at a time and see how the calculated Δ changes.
  4. With s1 = s2, change φ1 and φ2 to see the effect of different initial phases.
  5. Press Play to sweep φ2 from 0° to 360° and watch the amplitude of ER. When the constructive or destructive case occurs, the animation pauses for 2 seconds.
  1. กดปุ่ม Constructive แล้วดูว่ายอดของ E1 กับ E2 ตรงกัน และ E0R = E01 + E02
  2. กดปุ่ม Destructive แล้วดูว่าตำแหน่งยอดคลื่นกับตำแหน่งท้องคลื่นของคลื่นทั้งสอง ถ้า “ตั้ง E02 = E01” แล้ว ER จะเป็นศูนย์ตลอดเวลา
  3. ลองปรับ s2 ทีละน้อย แล้วดู Δ ที่คำนวณได้ว่าเปลี่ยนไปอย่างไร
  4. ปรับ φ1, φ2 ดูผลที่เฟสเริ่มต้นต่างกัน โดยกำหนด s1 = s2
  5. กด เล่น ให้ φ2 เริ่มจาก 0° ถึง 360° แล้วสังเกตแอมพลิจูดของ ER เมื่อเกิดกรณี constructive และ destructive จะหยุดการเล่น animation 2 วินาที
Constructive interference — Δ = 2mπ with m = 2: the crests coincide and the amplitudes add, E0R = E01 + E02 = 1.60Constructive interference — Δ = 2mπ โดย m = 2 ยอดตรงกับยอด แอมพลิจูดบวกกัน E0R = E01 + E02 = 1.60

Both waves ทั้งสองคลื่น

Wave 1 คลื่นที่ 1

Wave 2 คลื่นที่ 2

Figure 2 — The waves E1, E2 and their sum ER at point P The three graphs show each field against time t. The mode buttons adjust \(\varphi_2\) so that the result is constructive or destructive immediately. Adapted from [1], Fig. 2. This diagram assumes that both waves have the same frequency f and the same wavelength \(\lambda\), so they share the same k and \(\omega\). You set a single value of \(\lambda\), and the page calculates f = c/\(\lambda\), k and \(\omega\) for you, assuming the waves are in air (n = 1). The waves differ only in the amplitude \(E_0\), the initial phase \(\varphi\) and the distance s. The time axis is in femtoseconds (fs), where 1 fs = \(10^{-15}\) s. รูปที่ 2 — คลื่น E1, E2 และผลรวม ER ที่จุด P กราฟสามชั้นแสดงสนามแต่ละตัวเทียบกับเวลา t ปุ่มโหมดจะปรับ \(\varphi_2\) ให้ได้ constructive หรือ destructive ทันที ปรับจาก [1], Fig. 2 แผนภาพนี้กำหนดให้ทั้งสองคลื่นมีความถี่ f และความยาวคลื่น \(\lambda\) เท่ากัน จึงใช้ k และ \(\omega\) ค่าเดียวกัน (ผู้ใช้ตั้ง \(\lambda\) ค่าเดียว หน้าคำนวณ f = c/\(\lambda\), k และ \(\omega\) ให้ โดยสมมติว่าคลื่นอยู่ในอากาศ n = 1) ต่างกันเฉพาะแอมพลิจูด \(E_0\) เฟสเริ่มต้น \(\varphi\) และระยะทาง s แกนเวลาใช้หน่วย fs (femtosecond) โดย 1 fs = \(10^{-15}\) s
Type of interferenceประเภทการแทรกสอด Constructive (m = 2)Constructive (m = 2) E0R = 1.600
Phase difference Δ = α2 − α1ความต่างเฟส Δ = α2 − α1 12.566 rad = 4.000π = 720.0° from Eq. (7)จากสมการ (7)
Distance difference s2 − s1ผลต่างระยะทาง s2 − s1 1200 nm = 2.000 λ when φ1 = φ2, d = s2 − s1เมื่อ φ1 = φ2 จะได้ d = s2 − s1
Frequency f = c/λความถี่ f = c/λ 4.997×1014 Hz air, n = 1อากาศ n = 1
Period T = 1/fคาบ T = 1/f 2.001×10−15 s the time axis spans 4 Tแกนเวลายาว 4 T
Wave number k = 2π/λเลขคลื่น k = 2π/λ 1.047×107 rad/m same for both wavesเท่ากันทั้งสองคลื่น
Angular frequency ω = 2πfความถี่เชิงมุม ω = 2πf 3.139×1015 rad/s same for both wavesเท่ากันทั้งสองคลื่น
α1 = ks1 + φ1α1 = ks1 + φ1 10.472 rad (3.333π) constant phase of wave 1เฟสคงที่ของคลื่นที่ 1
α2 = ks2 + φ2α2 = ks2 + φ2 23.038 rad (7.333π) constant phase of wave 2เฟสคงที่ของคลื่นที่ 2
Worked example — λ = 600 nm ตัวอย่างการตีความผล — λ = 600 nm

Take \(\lambda = 600\) nm. In metres this is \(\lambda = 6\times10^{-7}\) m. With \(c \approx 3\times10^{8}\) m/s, the frequency is

ให้ \(\lambda = 600\) nm เมื่อเปลี่ยนเป็นเมตรจะได้ \(\lambda = 6\times10^{-7}\) m และใช้ \(c \approx 3\times10^{8}\) m/s จะได้ความถี่

\[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}}{6\times10^{-7}\ \mathrm{m}} = 5\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

and the period is

และคาบ

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5\times10^{14}\ \mathrm{Hz}} = 2\times10^{-15}\ \mathrm{s} \]

Let \(\varphi_1 = \varphi_2 = 0\), \(E_{01} = 1\) and \(E_{02} = 0.6\).

กำหนด \(\varphi_1 = \varphi_2 = 0\), \(E_{01} = 1\), \(E_{02} = 0.6\)

  • If \(s_2 - s_1 = 1200\) nm \(= 2\lambda\), then \(\Delta = 4\pi\) (m = 2): constructive, and the total amplitude is \(1 + 0.6 = 1.6\).
  • If \(s_2 - s_1 = 900\) nm \(= 1.5\lambda\), then \(\Delta = 3\pi\): destructive, and the total amplitude is \(|1 - 0.6| = 0.4\). It is not zero because the two amplitudes are not equal.
  • ถ้า \(s_2 - s_1 = 1200\) nm \(= 2\lambda\) จะได้ \(\Delta = 4\pi\) (m = 2) → constructive แอมพลิจูดรวม \(1 + 0.6 = 1.6\)
  • ถ้า \(s_2 - s_1 = 900\) nm \(= 1.5\lambda\) จะได้ \(\Delta = 3\pi\) → destructive แอมพลิจูดรวม \(|1 - 0.6| = 0.4\) ไม่เป็นศูนย์เพราะแอมพลิจูดไม่เท่ากัน

Cautions and limits of the model ข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • The model uses E as a scalar. That is valid when the fields of the two waves are parallel; if they are perpendicular, the result differs from the parallel case [1].
  • The model describes continuous waves of a single frequency (monochromatic). If the two frequencies differ, the result changes with time (beats).
  • The graphs show the field E at P, not the irradiance. A sensor responds far too slowly to follow the oscillation of light, so what it measures is the time average of E², not E(t).
  • โมเดลใช้ E เป็นสเกลาร์ ใช้ได้เมื่อสนามของสองคลื่นขนานกัน ถ้าตั้งฉากกัน ผลรวมจะไม่เหมือนกรณีขนาน [1]
  • ใช้เฉพาะคลื่นความถี่เดียวกันและต่อเนื่อง (monochromatic) ถ้าความถี่ต่างกันผลจะเปลี่ยนตามเวลา (beats)
  • กราฟแสดงสนาม E ที่ P ไม่ใช่ irradiance — ตัว sensor ที่ตอบสนองช้ากว่าความถี่แสงมาก สิ่งที่วัดได้เป็นค่าเฉลี่ยตามเวลาของ E² ไม่ใช่ E(t)

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 5, pp. 113–116.