Phase and Group Velocities ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่ม (Phase and Group Velocities)

When waves of several frequencies travel through a medium at different speeds, what happens to a light signal when it reaches its destination? เมื่อคลื่นหลายความถี่เดินทางในตัวกลางแล้วเคลื่อนที่ด้วยความเร็วไม่เท่ากัน แล้วสัญญาณแสงไปถึงปลายทางให้ผลลัพธ์เป็นอย่างไร

1Introductionบทนำ

On the page 03 Beat Phenomenon, two waves of nearby frequencies add up to a fast carrier inside an envelope. That page assumes a nondispersive medium, which means that waves of every frequency travel at the same speed, so the carrier and the envelope move together. Light travelling in glass does not behave this way. The refractive index \(n\) of glass differs slightly from one wavelength to another, so waves of different frequencies travel at different speeds. This property of a medium is called dispersion.

ในหน้า 03 Beat Phenomenon คลื่นสองลูกที่ความถี่ใกล้กันรวมกันแล้วได้ carrier ที่ถี่อยู่ภายใน envelope หน้านั้นกำหนดให้ตัวกลางเป็นแบบ nondispersive หมายความว่าคลื่นทุกความถี่เคลื่อนที่เร็วเท่ากัน และ carrier กับ envelope เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน แต่แสงที่เดินทางในแก้วไม่เป็นแบบนั้น ดัชนีหักเห \(n\) ของแก้วมีค่าต่างกันเล็กน้อยในแต่ละความยาวคลื่น ดังนั้นคลื่นแต่ละความถี่จึงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วไม่เท่ากัน สมบัติของตัวกลางแบบนี้เรียกว่า dispersion

In a dispersive medium the carrier crests and the envelope peak move at different speeds. The speed of the carrier crests is called the phase velocity \(v_p\), and the speed of the envelope is called the group velocity \(v_g\). The question that follows is: when a light signal is sent, at which speed does it reach its destination? The answer is \(v_g\), because the energy and the information carried by the wave are in the shape of the envelope, not in the individual crests.

เมื่อตัวกลางมี dispersion ยอดคลื่นของ carrier กับยอดของ envelope จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างกัน ความเร็วของยอด carrier เรียกว่า ความเร็วเฟส (phase velocity) \(v_p\) และความเร็วของ envelope เรียกว่า ความเร็วกลุ่ม (group velocity) \(v_g\) คำถามที่ตามมาคือ ถ้าส่งสัญญาณแสง สัญญาณจะไปถึงปลายทางตามความเร็วไหน คำตอบคือ \(v_g\) เพราะพลังงานและข้อมูลที่คลื่นนำไปอยู่ที่รูปร่างของ envelope ไม่ได้อยู่ที่ยอดคลื่นแต่ละยอด

This matters directly for sending data with light. Data are sent as short bursts of light called pulses, one pulse per bit: light means 1 and no light means 0. In a dispersive medium each wavelength has a different \(v_g\), so the different wavelengths drift further apart as the distance grows. If this difference grows to a full period, so that neighbouring pulses overlap, the receiver can no longer tell whether each pulse is a 1 or a 0.

เรื่องนี้มีผลโดยตรงกับการส่งข้อมูลด้วยแสง เนื่องจากการส่งข้อมูลแสง มีลักษณะเป็นช่วงสั้นๆ เรียกว่า pulse โดยที่ 1 pulse เท่ากับ 1 bit กรณีที่มีแสงจะมีค่าเป็น 1 และไม่มีแสงมีค่าเป็น 0 เมื่อแสงเดินทางในตัวกลางที่มี dispersion ทำให้แต่ละความยาวคลื่นมี \(v_g\) ไม่เท่ากัน ผลที่ได้คือแสงแต่ละความยาวคลื่นมีระยะห่างมากขึ้น ตามระยะทางที่มากขึ้น ถ้าผลต่างนี้มากจนครบรอบหรือเกยกัน ผู้รับจะแยกไม่ออกว่าแต่ละ pulse มีค่าเป็น 1 หรือ 0

This page shows what the carrier and the envelope look like when waves of several frequencies travel through a dispersive medium, and what a detector measures. Card A shows the carrier and the envelope travelling in vacuum and in fused silica glass. In Card B a light source sends the same waves as the Card A defaults as pulses (bits 1 0 1 0), and a detector placed at a distance \(x_d\) shows how the pulses arrive and at what distance the detector starts to read the bits wrongly.

หน้านี้จะแสดงให้เห็นว่าคลื่นหลายความถี่เดินทางในตัวกลาง dispersion มี carrier กับ envelope เป็นอย่างไร และ Detector วัดอะไรได้และให้ผลเป็นอย่างไร โดยที่การ์ด A แสดง carrier และ envelope wave ที่เดินทางในสุญญากาศ และแก้ว fused silica ส่วนการ์ด B แสดง light source ส่งคลื่นชุดเดียวกับค่าเริ่มต้นของการ์ด A ออกไป pulse (bit 1 0 1 0) แล้ววาง detector ไว้ที่ระยะ \(x_d\) เพื่อดูว่า pulse ไปถึง detector อย่างไร และที่ระยะเท่าไร detector จึงอ่าน bit ผิด

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Assume that the travelling wave is a harmonic wave, a cosine wave with a single frequency. It has frequency \(\nu\), angular frequency \(\omega = 2\pi\nu\), wavelength \(\lambda\) and wave number \(k = 2\pi/\lambda\). Its crests move at the speed

สมมติให้คลื่นที่เดินทางเป็น harmonic wave แบบคลื่น cos ที่มีความถี่เดียว คลื่นนี้มีความถี่ \(\nu\) ความถี่เชิงมุม \(\omega = 2\pi\nu\) ความยาวคลื่น \(\lambda\) และ wave number \(k = 2\pi/\lambda\) ยอดคลื่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

\[ v = \nu\lambda = \frac{\omega}{k} \tag{1} \]
\[ v = \nu\lambda = \frac{\omega}{k} \tag{1} \]

\(\lambda\) in Eq. (1) is the wavelength in the medium the wave travels in; everywhere else on this page \(\lambda\) is the wavelength in vacuum (\(\lambda = c/\nu\)). In a medium with refractive index \(n\), the wave number can be written as

\(\lambda\) ในสมการ (1) คือความยาวคลื่นในตัวกลางที่คลื่นอยู่ ส่วนที่อื่นของหน้านี้ \(\lambda\) คือความยาวคลื่นในสุญญากาศ (\(\lambda = c/\nu\)) ในกรณีที่ตัวกลางมีดัชนีหักเห \(n\) เขียนสมการ wave number ใหม่ได้เป็น

\[ k = \frac{n\omega}{c} \tag{2} \]
\[ k = \frac{n\omega}{c} \tag{2} \]

where \(c\) is the speed of light in vacuum. Substituting Eq. (2) into Eq. (1) gives the speed of the crests in the medium

โดย \(c\) คือความเร็วแสงในสุญญากาศ เมื่อนำสมการ (2) ไปแทนในสมการ (1) จะได้ความเร็วของยอดคลื่นในตัวกลาง

\[ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n} \tag{3} \]
\[ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n} \tag{3} \]

When two waves with angular frequencies (\(\omega_1\), \(\omega_2\)) and wave numbers (\(k_1\), \(k_2\)) are added, the sum separates into a carrier (\(\cos(k_p x - \omega_p t)\)) multiplied by an envelope (\(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\)). The carrier moves at the phase velocity and the envelope at the group velocity (the derivation is given in [1])

เมื่อรวมคลื่นสองลูกที่ความถี่เชิงมุม (\(\omega_1\), \(\omega_2\)) และ wave number (\(k_1\), \(k_2\)) ผลรวมแยกเป็น carrier (\(\cos(k_p x - \omega_p t)\)) คูณกับ envelope (\(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\)) แล้ว carrier เคลื่อนด้วยความเร็วเฟส และ envelope เคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่ม เขียนสมการได้เป็น (รายละเอียดที่มาของสมการอ่านเพิ่มเติมได้ที่ [1])

\[ v_p = \frac{\omega_p}{k_p} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{k_1 + k_2} \cong \frac{\omega}{k} \tag{4} \]
\[ v_p = \frac{\omega_p}{k_p} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{k_1 + k_2} \cong \frac{\omega}{k} \tag{4} \]
\[ v_g = \frac{\omega_g}{k_g} = \frac{\omega_1 - \omega_2}{k_1 - k_2} \cong \frac{d\omega}{dk} \tag{5} \]
\[ v_g = \frac{\omega_g}{k_g} = \frac{\omega_1 - \omega_2}{k_1 - k_2} \cong \frac{d\omega}{dk} \tag{5} \]

The sign \(\cong\) applies when \(\omega_1\) is very close to \(\omega_2\).

เครื่องหมาย \(\cong\) ใช้เมื่อ \(\omega_1\) ใกล้ \(\omega_2\) มาก

Substituting \(v_p = c/n\) and letting \(n\) depend on \(\lambda\) gives the relation between the two velocities
(the steps of the rearrangement are given in [1], ch. 5, Eqs. (38)–(40))

เมื่อแทน \(v_p = c/n\) และให้ \(n\) ขึ้นกับ \(\lambda\) จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างสองความเร็วดังนี้
(ขั้นการจัดรูปอ่านได้ที่ [1], ch. 5, Eqs. (38)–(40))

\[ v_g = v_p\left[1 + \frac{\lambda}{n}\left(\frac{dn}{d\lambda}\right)\right] \tag{6} \]
\[ v_g = v_p\left[1 + \frac{\lambda}{n}\left(\frac{dn}{d\lambda}\right)\right] \tag{6} \]

For fused silica, \(n\) on this page is calculated from the Sellmeier equation, a formula fitted to measured refractive indices [2] (\(\lambda\) in µm, \(B_1 = 0.6961663\), \(B_2 = 0.4079426\), \(B_3 = 0.8974794\), \(C_1 = 0.0684043\) µm, \(C_2 = 0.1162414\) µm, \(C_3 = 9.896161\) µm):

สำหรับค่า \(n\) ของ fused silica ในหน้านี้คำนวณจากสมการ Sellmeier ซึ่งเป็นสูตรที่ fit กับค่าดัชนีหักเหที่วัดได้ [2] (\(\lambda\) หน่วย µm, \(B_1 = 0.6961663\), \(B_2 = 0.4079426\), \(B_3 = 0.8974794\), \(C_1 = 0.0684043\) µm, \(C_2 = 0.1162414\) µm, \(C_3 = 9.896161\) µm) มีสมการเป็น

\[ n^2 - 1 = \sum_{i=1}^{3} \frac{B_i\,\lambda^2}{\lambda^2 - C_i^2} \tag{7} \]
\[ n^2 - 1 = \sum_{i=1}^{3} \frac{B_i\,\lambda^2}{\lambda^2 - C_i^2} \tag{7} \]

Card A: adding N waves in a mediumการ์ด A: รวมคลื่น N ลูกในตัวกลาง

In Card A, \(N\) waves (\(N = 2\) or \(10\)) have the same amplitude \(E_0\). The first wave has the wavelength \(\lambda_1\) and the last one \(\lambda_2\), as set in the card. The frequencies of the other waves lie between these two and are equally spaced. The frequency spacing between neighbouring waves is \(\Delta\nu = |\nu_1 - \nu_2|/(N - 1)\), with \(\nu_1 = c/\lambda_1\) and \(\nu_2 = c/\lambda_2\). The sum of all the waves is

ในการ์ด A คลื่น \(N\) ลูก (\(N = 2\) หรือ \(10\)) มี amplitude \(E_0\) เท่ากัน ลูกแรกมีความยาวคลื่น \(\lambda_1\) และลูกสุดท้ายมี \(\lambda_2\) ตามที่ตั้งในการ์ด คลื่นลูกอื่นมีความถี่อยู่ระหว่างสองลูกนี้ ห่างกันเท่าๆ กัน ระยะห่างของความถี่ระหว่างลูกที่ติดกันคือ \(\Delta\nu = |\nu_1 - \nu_2|/(N - 1)\) โดย \(\nu_1 = c/\lambda_1\) และ \(\nu_2 = c/\lambda_2\) แล้วผลรวมของคลื่นทั้งหมดเท่ากับ

\[ E(x, t) = \sum_{j=1}^{N} E_0 \cos(k_j x - \omega_j t) \tag{8} \]
\[ E(x, t) = \sum_{j=1}^{N} E_0 \cos(k_j x - \omega_j t) \tag{8} \]

Here \(k_j\) of wave \(j\) is calculated from Eq. (2) with \(n\) from Eq. (7) at the wavelength of that wave. For \(N = 2\), Eq. (8) is the sum used on page 03, with the envelope \(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\). For \(N = 10\), the sum splits into separate lumps, \(1/\Delta\nu\) apart in time, so they move further apart as \(\Delta\nu\) gets narrower. The dashed line in Figure 1 is the envelope of the sum in both cases.

เมื่อ \(k_j\) ของคลื่นลูกที่ \(j\) คำนวณจากสมการ (2) โดยใช้ \(n\) จากสมการ (7) ที่ความยาวคลื่นของลูกนั้น เมื่อ \(N = 2\) สมการ (8) คือผลรวมแบบหน้า 03 ซึ่งมี envelope \(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\) เมื่อ \(N = 10\) ผลรวมแยกกันเป็นก้อน ห่างกันเป็นเวลา \(1/\Delta\nu\) แต่ละก้อนจึงห่างกันมากขึ้นเมื่อ \(\Delta\nu\) แคบลง เส้นประในรูปที่ 1 คือ envelope ของผลรวมในทั้งสองกรณี

Card B: sending blocks of light and reading the bitsการ์ด B: ส่งแสงเป็น pulse และอ่าน bit

In Card B, a light source at \(x = 0\) sends \(N = 10\) waves through fused silica, with λ1 = 0.40 µm and λ2 = 0.60 µm, and is switched on and off. Let \(A(t)\) be the state of the light source: 1 while on and 0 while off. Switching turns each wave into a wave packet with a narrow band of frequencies around the frequency of that wave. The field at a position \(x \ge 0\) is

ในการ์ด B กำหนดให้ light source ที่ \(x = 0\) ส่งคลื่น \(N = 10\) เดินทางใน fused silica ด้วย λ1 = 0.40 µm, λ2 = 0.60 µm แล้วเปิดและปิดเป็นช่วงๆ ให้ \(A(t)\) เป็นสถานะของ light source คือ 1 ขณะเปิด และ 0 ขณะปิด การเปิดปิดทำให้คลื่นแต่ละลูกกลายเป็นก้อนคลื่นที่มีช่วงความถี่แคบๆ รอบความถี่ของลูกนั้น สนามที่ตำแหน่ง \(x \ge 0\) มีค่าเท่ากับ

\[ E(x, t) = \sum_{j=1}^{N} A\!\left(t - \frac{x}{v_{g,j}}\right) E_0 \cos(k_j x - \omega_j t) \tag{9} \]
\[ E(x, t) = \sum_{j=1}^{N} A\!\left(t - \frac{x}{v_{g,j}}\right) E_0 \cos(k_j x - \omega_j t) \tag{9} \]

Behind the light source (\(x < 0\)) there is no light. Near the light source all the waves are still switched on and off together, so inside each pulse the sum looks like Card A. Further away, the waves with a higher \(v_{g,j}\) arrive first, so the rising and falling edges of each pulse become wider with distance. In vacuum every wave has \(v_{g,j} = c\), so the edges do not widen.

ด้านหลัง light source (\(x < 0\)) ไม่มีแสง ใกล้ light source คลื่นทุกลูกยังเปิดและปิดพร้อมกัน ภายใน pulse จึงเห็นผลรวมแบบการ์ด A แต่เมื่อไกลออกไป ลูกที่มี \(v_{g,j}\) สูงกว่าไปถึงก่อน ขอบขาขึ้นและขอบขาลงของ pulse จึงกว้างขึ้นตามระยะทาง ในสุญญากาศทุกลูกมี \(v_{g,j} = c\) ขอบของ pulse จึงไม่กว้างขึ้น

The detector at \(x_d\) responds much more slowly than one carrier period and than the time \(1/\Delta\nu\) between the Card A lumps. Its output is therefore the light power of all the waves averaged over its integration time (10 ps in this card). The output is compared with a threshold at half of the highest value the detector receives: above the threshold it is read as 1, below it as 0.

detector ที่ \(x_d\) ตอบสนองช้ากว่าคาบของ carrier และระยะเวลา \(1/\Delta\nu\) ระหว่างก้อนแบบการ์ด A มาก ค่าที่ detector ให้ออกมาจึงเป็นกำลังแสงเฉลี่ยในช่วงเวลารับแสง(ในการ์ดนี้ใช้ integration time = 10 ps) ของคลื่นทุกลูก แล้วเทียบกับ threshold ที่ครึ่งหนึ่งของค่าที่ detector รับได้สูงสุด ถ้าค่าที่อ่านได้สูงกว่า threshold จะตีความว่าเป็น 1 ในทางตรงกันข้ามถ้าค่าที่อ่านได้ต่ำกว่าตีความเป็น 0

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(v\)(1)Speed of the crests of one harmonic waveความเร็วของยอดคลื่น harmonic หนึ่งลูกm/s
\(\nu,\ \omega\)(1)Frequency and angular frequency \(\omega = 2\pi\nu\) of the waveความถี่ และความถี่เชิงมุม \(\omega = 2\pi\nu\) ของคลื่นHz, rad/s
\(\lambda\)(1), (6), (7)Wavelength; in Eq. (1) the wavelength in the medium, elsewhere the wavelength in vacuumความยาวคลื่น ในสมการ (1) เป็นความยาวคลื่นในตัวกลาง ที่อื่นเป็นความยาวคลื่นในสุญญากาศm, µm
\(k\)(1), (2)Wave numberwave numberrad/m
\(n\)(2), (3), (6), (7)Refractive index of the mediumดัชนีหักเหของตัวกลาง—
\(c\)(2), (3)Speed of light in vacuum, \(2.99792458\times10^{8}\) m/sความเร็วแสงในสุญญากาศ \(2.99792458\times10^{8}\) m/sm/s
\(v_p\)(3), (4), (6)Phase velocity (speed of the carrier crests)ความเร็วเฟส (ความเร็วของยอด carrier)m/s
\(v_g\)(5), (6)Group velocity (speed of the envelope and of the signal)ความเร็วกลุ่ม (ความเร็วของ envelope และของสัญญาณ)m/s
\(\omega_1,\ \omega_2,\ k_1,\ k_2\)(4), (5)Angular frequencies and wave numbers of the two waves (in Card A, the waves with the highest and the lowest frequency)ความถี่เชิงมุมและ wave number ของคลื่นสองลูก (ในการ์ด A คือลูกที่ความถี่สูงสุดและต่ำสุด)rad/s, rad/m
\(\omega_p,\ k_p,\ \omega_g,\ k_g\)(4), (5)Mean (\(p\)) and half the difference (\(g\)) of \(\omega\) and \(k\) of the two wavesค่าเฉลี่ย (\(p\)) และครึ่งหนึ่งของผลต่าง (\(g\)) ของ \(\omega\) และ \(k\) ของสองคลื่นrad/s, rad/m
\(dn/d\lambda\)(6)Slope of the graph of \(n\) against \(\lambda\)ความชันของกราฟ \(n\) เทียบกับ \(\lambda\)m−1, µm−1
\(B_i,\ C_i\)(7)Constants of the Sellmeier equation for fused silica [2]ค่าคงที่ของสมการ Sellmeier ของ fused silica [2]—, µm
\(E,\ E_0\)(8), (9)Total field, and the amplitude of each wave (\(E_0 = 1\))สนามรวม และ amplitude ของแต่ละคลื่น (\(E_0 = 1\))a.u.
\(E_j,\ k_j,\ \omega_j\)(8), (9)Field \(E_j = E_0\cos(k_j x - \omega_j t)\) of wave \(j\), and its wave number and angular frequency (the upper graph of Figure 1)สนามของคลื่นลูกที่ \(j\) คือ \(E_j = E_0\cos(k_j x - \omega_j t)\) และ wave number กับความถี่เชิงมุมของลูกนั้น (กราฟบนของรูปที่ 1)a.u., rad/m, rad/s
\(x,\ t\)(8), (9)Position along the direction of travel, and timeตำแหน่งตามแนวการเดินทาง และเวลาm, s
\(\lambda_1,\ \lambda_2,\ \nu_1,\ \nu_2\)(8)Wavelengths and frequencies of the first and the last wave (set in Card A)ความยาวคลื่นและความถี่ของคลื่นลูกที่ 1 และลูกสุดท้าย (ตั้งในการ์ด A)µm, Hz
\(\lambda_c\)—Centre wavelength \((\lambda_1 + \lambda_2)/2\), used for the medium properties in the Card A resultsความยาวคลื่นกลาง \((\lambda_1 + \lambda_2)/2\) ที่ใช้คำนวณสมบัติของตัวกลางในช่องผลลัพธ์ของการ์ด Aµm
\(N,\ \Delta\nu\)(8), (9)Number of waves, and the frequency spacing between neighbouring waves \(\Delta\nu = |\nu_1 - \nu_2|/(N - 1)\)จำนวนคลื่น และระยะห่างของความถี่ระหว่างลูกที่ติดกัน \(\Delta\nu = |\nu_1 - \nu_2|/(N - 1)\)—, Hz
\(A(t)\)(9)State of the light source: 1 while on, 0 while offสถานะของ light source: 1 ขณะเปิด 0 ขณะปิด—
\(v_{g,j}\)(9)Group velocity at the wavelength of wave \(j\) (\(d\omega/dk\) at \(\lambda_j\))ความเร็วกลุ่มที่ความยาวคลื่นของคลื่นลูกที่ \(j\) (\(d\omega/dk\) ที่ \(\lambda_j\))m/s
\(x_d\)—Position of the detector in Card Bตำแหน่งของ detector ในการ์ด Bµm, mm

Note: \(E\) is in arbitrary units (a.u.) with \(E_0 = 1\). Units in the cards and the table: 1 fs = \(10^{-15}\) s, 1 ps = \(10^{-12}\) s and 1 THz = \(10^{12}\) Hz. Eqs. (4)–(9) apply to waves of equal amplitude.

หมายเหตุ: \(E\) ใช้หน่วยสัมพัทธ์ (a.u.) โดยกำหนด \(E_0 = 1\) หน่วยในการ์ดและตาราง: 1 fs = \(10^{-15}\) s, 1 ps = \(10^{-12}\) s และ 1 THz = \(10^{12}\) Hz สมการ (4)–(9) ใช้กับคลื่นที่ amplitude เท่ากัน

Worked example 1 — speeds in fused silica (Card A)ตัวอย่างการคำนวณที่ 1 — ความเร็วใน fused silica (การ์ด A)

The Card A defaults are \(\lambda_1 = 0.40\) µm and \(\lambda_2 = 0.60\) µm. The results panel uses the centre wavelength \(\lambda_c = (\lambda_1 + \lambda_2)/2 = 0.50\) µm, where Eq. (7) gives \(n = 1.46233\) and \(dn/d\lambda = -0.055356\) µm−1.

ค่าเริ่มต้นของการ์ด A คือ \(\lambda_1 = 0.40\) µm และ \(\lambda_2 = 0.60\) µm ช่องผลลัพธ์ใช้ความยาวคลื่นกลาง \(\lambda_c = (\lambda_1 + \lambda_2)/2 = 0.50\) µm ที่ความยาวคลื่นนี้สมการ (7) ให้ \(n = 1.46233\) และ \(dn/d\lambda = -0.055356\) µm−1

\(\lambda = 0.50\ \mu\text{m} = 5.0\times10^{-7}\ \text{m}, \qquad \dfrac{dn}{d\lambda} = -5.5356\times10^{4}\ \text{m}^{-1}\)

\(\lambda = 0.50\ \mu\text{m} = 5.0\times10^{-7}\ \text{m}, \qquad \dfrac{dn}{d\lambda} = -5.5356\times10^{4}\ \text{m}^{-1}\)

\(v_p = \dfrac{c}{n} = \dfrac{2.99792458\times10^{8}\ \text{m/s}}{1.46233} = 2.0501\times10^{8}\ \text{m/s}\)

\(v_p = \dfrac{c}{n} = \dfrac{2.99792458\times10^{8}\ \text{m/s}}{1.46233} = 2.0501\times10^{8}\ \text{m/s}\)

\(\dfrac{\lambda}{n}\dfrac{dn}{d\lambda} = \dfrac{(5.0\times10^{-7}\ \text{m})(-5.5356\times10^{4}\ \text{m}^{-1})}{1.46233} = -1.8927\times10^{-2}\)

\(\dfrac{\lambda}{n}\dfrac{dn}{d\lambda} = \dfrac{(5.0\times10^{-7}\ \text{m})(-5.5356\times10^{4}\ \text{m}^{-1})}{1.46233} = -1.8927\times10^{-2}\)

\(v_g = (2.0501\times10^{8}\ \text{m/s})(1 - 1.8927\times10^{-2}) = 2.0113\times10^{8}\ \text{m/s}\)

\(v_g = (2.0501\times10^{8}\ \text{m/s})(1 - 1.8927\times10^{-2}) = 2.0113\times10^{8}\ \text{m/s}\)

\(v_g\) is about 1.9% slower than \(v_p\).

\(v_g\) ช้ากว่า \(v_p\) ประมาณ 1.9%

3How to use this visualizationวิธีใช้เครื่องมือ

Card A — Carrier crests and the envelope in a medium (defaults: fused silica, \(\lambda_1\) = 0.40 µm, \(\lambda_2\) = 0.60 µm, \(N\) = 10, camera Fixed, stopped at \(t\) = 0). Choose one of two media, vacuum or fused silica, then set \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) and the number of waves \(N\). In Figure 1 the upper graph shows the individual waves and the lower graph shows the sum \(E(x, t)\) against position at one moment. When you press Play, time runs very slowly (by default 40 fs per real second). The red dot sits on a carrier crest and moves at \(v_p\); the purple triangle marks the envelope peak and moves at \(v_g\). The view buttons keep the camera fixed or make it follow the envelope or a carrier crest. The \(z\) slider jumps to the time at which the envelope has travelled a distance \(z\), and "Show in graph" chooses which curves are drawn. The results are split into values that change with distance and properties of the medium at the centre wavelength \(\lambda_c\).

การ์ด A — ยอด carrier และ envelope ในตัวกลาง (ค่าเริ่มต้น: fused silica, \(\lambda_1\) = 0.40 µm, \(\lambda_2\) = 0.60 µm, \(N\) = 10, กล้องอยู่กับที่, หยุดอยู่ที่ \(t\) = 0) ตัวกลางเลือกได้ 2 แบบ คือสุญญากาศและ fused silica จากนั้นตั้ง \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) และจำนวนคลื่น \(N\) ในรูปที่ 1 กราฟบนคือคลื่นแต่ละลูก กราฟล่างคือผลรวม \(E(x, t)\) ตามตำแหน่ง ณ เวลาหนึ่ง เมื่อกดเล่น เวลาเดินช้าลงมาก (ค่าเริ่มต้น 40 fs ต่อวินาทีจริง) จุดสีแดงอยู่บนยอด carrier และเคลื่อนที่ด้วย \(v_p\) สามเหลี่ยมสีม่วงอยู่ที่ยอด envelope และเคลื่อนที่ด้วย \(v_g\) ปุ่มมุมมองเลือกว่ากล้องอยู่กับที่ เคลื่อนตาม envelope หรือเคลื่อนตามยอด carrier slider \(z\) พาไปที่เวลาที่ envelope เดินทางได้ระยะ \(z\) ส่วน "แสดงในกราฟ" เลือกเส้นที่จะวาด ช่องผลลัพธ์แบ่งเป็นค่าที่เปลี่ยนตามระยะทาง และสมบัติของตัวกลางที่ความยาวคลื่นกลาง \(\lambda_c\)

  1. With the defaults, compare the individual waves \(E_j\) in the upper graph with the sum \(E(x, t)\) in the lower graph. At the envelope peak the crests of all the waves line up, so they add up to the largest value. Away from this point the phases of the waves differ more and more, so they cancel and the sum gets smaller.
  2. Increase the distance travelled by the envelope \(z\), for example to \(z\) = 2 mm (button below), and watch the envelope. How much does the envelope height in the results change?
  3. Set \(\lambda_1\) = 0.50 µm and \(\lambda_2\) = 0.51 µm and increase \(z\) to 2 mm again (button below). Is the envelope different from item 2? Why? (Compare with the text below Eq. (9).)
  1. ใช้ค่าเริ่มต้น เทียบคลื่นแต่ละลูก \(E_j\) ในกราฟบนกับผลรวม \(E(x, t)\) ในกราฟล่าง ที่ตำแหน่ง peak ของ envelope ยอดของคลื่นทุกลูกตรงกัน คลื่นจึงเสริมกันได้ค่าสูงสุด เมื่อออกห่างจากตำแหน่งนี้ คลื่นแต่ละลูกมี phase ต่างกันมากขึ้น จึงหักล้างกันและผลรวมลดลง
  2. เพิ่มระยะทางที่ envelope เดินทาง \(z\) เช่น \(z\) = 2 mm (ปุ่มด้านล่าง) แล้วสังเกตว่า envelope เป็นอย่างไร ความสูงของ envelope ในช่องผลลัพธ์เปลี่ยนไปเท่าไร
  3. ตั้ง \(\lambda_1\) = 0.50 µm และ \(\lambda_2\) = 0.51 µm แล้วเพิ่ม \(z\) เป็น 2 mm อีกครั้ง (ปุ่มด้านล่าง) envelope แตกต่างจากข้อ 2 หรือไม่ เพราะอะไร (เทียบกับคำอธิบายใต้สมการ (9))

Card B — Sending pulses into the medium and reading the bits (defaults: the same waves as the Card A defaults, on time 50 ps, off time 50 ps, \(x_d\) = 0.02 mm, cursor at \(t\) = 0). The light source at \(x = 0\) sends two pulses (#1 and #2), the periods when the light is on, as shown by the on/off state in the lower graph of Figure 2. The black cursor in the lower graph sets the time of the middle graph (\(E(x, t)\) against position) and of the upper graph (the individual waves). Move the cursor with the slider, the number box, the Play button or by dragging it in the lower graph. Inside a pulse the sum of the waves is a row of lumps of light like those in Card A. Figure 3 shows what the detector at \(x_d\) receives. When you set a new \(x_d\), the cursor moves to the time at which the rising edge of pulse #1 reaches the detector. The results compare the bits sent with the bits read.

การ์ด B — ส่ง pulse เข้าตัวกลางและอ่าน bit (ค่าเริ่มต้น: คลื่นชุดเดียวกับค่าเริ่มต้นของการ์ด A, เวลาเปิด 50 ps, เวลาปิด 50 ps, \(x_d\) = 0.02 mm, cursor ที่ \(t\) = 0) light source ที่ \(x = 0\) ส่ง pulse 2 ลูก (#1 และ #2) คือช่วงที่เปิดแสง ตามสถานะ on/off ในกราฟล่างของรูปที่ 2 cursor สีดำในกราฟล่างกำหนดเวลาของกราฟกลาง (\(E(x, t)\) ตามตำแหน่ง) และกราฟบน (คลื่นแต่ละลูก) ตั้ง cursor ได้ด้วย slider ช่องตัวเลข ปุ่มเล่น หรือลาก cursor ในกราฟล่าง ภายใน pulse ผลรวมของคลื่นเป็นก้อนแสงแบบการ์ด A เรียงต่อกัน รูปที่ 3 คือสิ่งที่ detector ที่ \(x_d\) ได้รับ เมื่อตั้ง \(x_d\) ใหม่ cursor จะไปอยู่ที่เวลาที่ขอบขาขึ้นของ pulse #1 ไปถึง detector ช่องผลลัพธ์เทียบ bit ที่ส่งกับ bit ที่อ่านได้

  1. Press "rising edge of pulse #1 leaves the light source". In the middle graph, is there any wave ahead of the rising edge (to the right)? What do you see between the light source and the rising edge?
  2. Press "middle of pulse #1". Does the middle graph show lumps of light lined up across the whole view? Are these lumps the same as the ones in Card A?
  3. Press "light source off". What do the middle and upper graphs look like? Where has pulse #1 gone?
  4. With the defaults, look at Figure 3. The upper graph shows the lumps of light passing the detector one by one. What does the lower graph, the light power averaged over the detector integration time, look like? Why does it not show the lumps one by one? Are the values at the middle of each part above or below the threshold, and do the bits read match the bits sent?
  5. Press "detector at 500 mm" and then "detector at 1000 mm". How do the pulse edges in the lower graph of Figure 3 change as the detector moves further away? Do the bits read still match the bits sent? Why? (Compare with the text below Eq. (9).)
  6. Set the on and off times to 20 ps and press "detector at 500 mm" again. How do the bits read compare with item 8? With shorter pulses, can the detector be further away or must it be closer?
  1. กดปุ่ม "ขอบขาขึ้นของ pulse #1 ออกจาก light source" ในกราฟกลาง ด้านหน้าขอบขาขึ้นของ pulse (ทางขวา) มีคลื่นหรือไม่ และระหว่าง light source กับขอบขาขึ้นของ pulse เห็นอะไร
  2. กดปุ่ม "กลาง pulse #1" กราฟกลางเห็นก้อนแสงเรียงต่อกันตลอดช่วงที่เห็นหรือไม่ ก้อนแสงเหล่านี้เหมือนกับที่เห็นในการ์ด A หรือไม่
  3. กดปุ่ม "light source ปิด" กราฟกลางและกราฟบนเป็นอย่างไร pulse #1 ไปอยู่ที่ไหนแล้ว
  4. ที่ค่าเริ่มต้น ดูรูปที่ 3 กราฟบนเห็นก้อนแสงผ่าน detector ทีละก้อน แต่กราฟล่างซึ่งเป็นกำลังแสงเฉลี่ยในช่วง integration time ของ detector เป็นอย่างไร ทำไมจึงไม่เห็นก้อนแสงทีละก้อน ค่าที่จุดกลางของแต่ละช่วงสูงหรือต่ำกว่า threshold และ bit ที่อ่านได้ตรงกับ bit ที่ส่งหรือไม่
  5. กดปุ่ม "detector ที่ 500 mm" แล้ว "detector ที่ 1000 mm" ขอบของ pulse ในกราฟล่างของรูปที่ 3 เปลี่ยนอย่างไรเมื่อ detector อยู่ไกลขึ้น bit ที่อ่านได้ยังตรงกับ bit ที่ส่งหรือไม่ เพราะอะไร (เทียบกับคำอธิบายใต้สมการ (9))
  6. ตั้งเวลาเปิดและเวลาปิดเป็น 20 ps แล้วกดปุ่ม "detector ที่ 500 mm" อีกครั้ง bit ที่อ่านได้เป็นอย่างไรเทียบกับข้อ 8 ถ้าส่ง pulse สั้นลง detector อยู่ห่างได้มากขึ้นหรือน้อยลง

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope of Card A: \(N\) waves of equal amplitude with equally spaced frequencies; the only media are vacuum and fused silica.
  • If the carrier is too dense to draw cycle by cycle (for example on a narrow screen), it is drawn as a band. Use Fixed limits in the Graph console to look at a narrower range.
  • Scope of Card B: the light source switches on and off instantly, the waves are not attenuated with distance, and the detector integration time is 10 ps (a set value).
  • ขอบเขตการ์ด A: คลื่น \(N\) ลูก amplitude เท่ากัน ความถี่ห่างเท่าๆ กัน ตัวกลางมีเฉพาะสุญญากาศและ fused silica
  • ถ้า carrier ถี่เกินกว่าจะวาดทีละรอบ (เช่นบนจอแคบ) กราฟจะวาดเป็นแถบ ใช้ Fixed limits ใน Graph console เพื่อดูช่วงที่แคบลง
  • ขอบเขตการ์ด B: light source เปิดและปิดทันที คลื่นไม่ลดทอนตามระยะทาง detector ใช้ integration time 10 ps (ค่าที่ตั้งไว้)
Phase and Group Velocities — interactive visualization Phase and Group Velocities — interactive visualization
A Carrier crests and envelope in a mediumยอด carrier และ envelope ในตัวกลาง

Mediumตัวกลาง

Number of waves Nจำนวนคลื่น N

λc = (λ1 + λ2)/2 = 0.5000 µm ν1 = c/λ1 = 749.5 THz,  ν2 = c/λ2 = 499.7 THz Δν = |ν1 − ν2|/(N − 1) = 27.76 THz

Cameraมุมมอง (กล้อง)

Jumps to the time t = z/vg and switches the camera to follow the envelope. กระโดดไปที่เวลา t = z/vg และเปลี่ยนกล้องให้ตาม envelope

Show in graphแสดงในกราฟ

x axis of the upper graph (single waves)แกน x ของกราฟบน (คลื่นแต่ละลูก)

Figure 1 — Carrier crests and the envelope The upper graph shows the individual waves (wave 1 at \(\lambda_1\) and wave 2 at \(\lambda_2\); for \(N = 10\) the other 8 waves are faint lines). The lower graph shows the sum \(E(x, t)\) (green), the carrier (blue) and the envelope (dark dashed line). The red dot sits on one carrier crest (moving at \(v_p\)) and the purple triangle marks the envelope peak (moving at \(v_g\)); vertical lines from both run through the upper graph. The number in the lower right corner is the time \(t\). When the camera follows the envelope or a carrier crest, the horizontal axis is the position relative to the camera. รูปที่ 1 — ยอด carrier และ envelope กราฟบนคือคลื่นแต่ละลูก (ลูกที่ 1 ที่ \(\lambda_1\) และลูกที่ 2 ที่ \(\lambda_2\) เมื่อ \(N = 10\) คลื่นอีก 8 ลูกเป็นเส้นจาง) กราฟล่างคือผลรวม \(E(x, t)\) (เส้นเขียว) carrier (เส้นน้ำเงิน) และ envelope (เส้นประสีเข้ม) จุดแดงอยู่บนยอด carrier ยอดหนึ่ง (เคลื่อนที่ด้วย \(v_p\)) สามเหลี่ยมม่วงชี้ยอด envelope (เคลื่อนที่ด้วย \(v_g\)) และเส้นตั้งของทั้งสองลากผ่านกราฟบนด้วย ตัวเลขมุมขวาล่างคือเวลา \(t\) เมื่อกล้องเคลื่อนตาม envelope หรือยอด carrier แกนนอนเป็นตำแหน่งเทียบกับกล้อง

Resultsผลลัพธ์

Changes with distanceเปลี่ยนตามระยะทาง

t (fs) 0.0
z = vgt (mm) 0
Envelope width at half heightความกว้างของ envelope ที่ครึ่งความสูง (µm) 0.88
Envelope heightความสูงของ envelope (a.u.) 10

Properties of the medium (do not depend on distance)สมบัติของตัวกลาง (ไม่ขึ้นกับระยะทาง)

vg < vp (normal dispersion): vg/vp = 0.9806vg < vp (normal dispersion): vg/vp = 0.9806

n(λc) 1.46233
dn/dλ (µm−1) −0.05536
vp (4) (m/s) 2.0460×108
vg (5) (m/s) 2.0063×108
vp = c/n (3) (m/s) 2.0501×108
vg (6) (m/s) 2.0113×108
(vp − vg)/vp (%) 1.94
B The distance graph and the time graphกราฟแกนระยะทางและกราฟตามเวลา

Waves (Card A defaults)คลื่น (ค่าเริ่มต้นของการ์ด A)

Fused silica, λ1 = 0.400 µm, λ2 = 0.600 µm, N = 10

Signal sent by the light sourceสัญญาณที่ light source ส่ง

on → off → on → off

Figure 2 — Sending two pulses: the distance graph and the time graph The light source at \(x = 0\) (blue dashed line) switches the same waves as the Card A defaults on and off. The lower graph is the state of the light source against time. The middle graph is \(E(x, t)\) at the cursor time, which is non-zero only inside the pulses moving to the right at \(v_g\) (the purple vertical lines mark the rising or falling edge of each pulse). The upper graph shows the individual waves at the same time. รูปที่ 2 — ส่ง pulse 2 ลูก: กราฟแกนระยะทางและกราฟตามเวลา light source ที่ \(x = 0\) (เส้นประสีน้ำเงิน) เปิดและปิดคลื่นชุดเดียวกับค่าเริ่มต้นของการ์ด A กราฟล่างคือสถานะของ light source ตามเวลา กราฟกลางคือ \(E(x, t)\) ณ เวลาของ cursor ซึ่งมีค่าเฉพาะภายใน pulse ที่เคลื่อนไปทางขวาด้วย \(v_g\) (เส้นตั้งสีม่วงคือขอบขาขึ้นหรือขอบขาลงของ pulse) กราฟบนคือคลื่นแต่ละลูก ณ เวลาเดียวกัน
Figure 3 — What the detector receives and how it reads 0 and 1 The upper graph is \(E(x_d, t)\) at the detector around the cursor time. The lower graph is the detector output, the light power averaged over its integration time, which is too slow to follow the Card A lumps one by one. A value at the middle of each part above the threshold is read as 1, and a value below it as 0. รูปที่ 3 — สิ่งที่ detector ได้รับและการอ่านเป็น 0 กับ 1 กราฟบนคือ \(E(x_d, t)\) ที่ detector รอบเวลาของ cursor กราฟล่างคือค่าที่ detector ให้ออกมา คือกำลังแสงเฉลี่ยในช่วง integration time ของมัน ซึ่งตามก้อนแบบการ์ด A ทีละก้อนไม่ทัน ค่าที่จุดกลางของแต่ละช่วงสูงกว่า threshold อ่านเป็น 1 ต่ำกว่าอ่านเป็น 0

Resultsผลลัพธ์

Bits sentbit ที่ส่ง 1 0 1 0
Bits readbit ที่อ่านได้ 1 0 1 0

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 5, pp. 125–129, and ch. 10, pp. 256–259.
  2. I. H. Malitson, "Interspecimen comparison of the refractive index of fused silica," J. Opt. Soc. Am., vol. 55, no. 10, pp. 1205–1209, Oct. 1965, doi: 10.1364/JOSA.55.001205.