Beat Phenomenon ปรากฏการณ์ beat (Beat Phenomenon)

Think of tuning a guitar. You pluck the string you are tuning together with a string that is already correct. If the two frequencies differ slightly, you do not hear a steady tone; you hear the loudness rise and fall in a rhythm, "wah-wah, wah-wah". The more the two frequencies differ, the faster the rhythm. When you adjust the string until the rhythm slows down and disappears, the two strings have the same frequency.

ลองนึกถึงการตั้งสายกีตาร์ ดีดสายที่กำลังตั้งพร้อมกับสายที่มีเสียงถูกต้องแล้ว ถ้าความถี่ของสองสายต่างกันเล็กน้อย เราจะไม่ได้ยินเสียงนิ่งๆ แต่จะได้ยินความดังที่ขึ้นๆ ลงๆ เป็นจังหวะ "วีบ วีบ" ยิ่งสองความถี่ต่างกันมาก จังหวะก็ยิ่งถี่ และเมื่อปรับสายจนจังหวะช้าลงจนหายไป แสดงว่าสองสายมีความถี่ตรงกันแล้ว

This rhythm is called a beat. It appears when two waves with equal (or similar) amplitude and slightly different frequencies are added by the superposition principle (see the 01 Principle page of this category). Beats are useful because they measure the difference between two nearly equal frequencies very precisely [1].

จังหวะที่ได้ยินนี้เรียกว่า beat มันเกิดขึ้นเมื่อนำคลื่นสองลูกที่ amplitude เท่ากัน (หรือใกล้เคียงกัน) แต่ความถี่ต่างกันเล็กน้อยมาบวกกันตามหลักการซ้อนทับ (ดูหน้า 01 Principle ของหมวดนี้) ประโยชน์ของ beat คือใช้วัดความต่างของความถี่ของสัญญาณสองสัญญาณที่ความถี่เกือบเท่ากันได้อย่างละเอียด [1]

This page answers two questions: what the sum of two waves with nearly equal frequencies looks like, and how the frequency of the rhythm is related to the two frequencies that were set. Card A shows the sum against time at one position, with the fast part and the slowly changing part drawn separately. Card B lets you hear the real sound and tune a string yourself.

หน้านี้ตอบสองคำถาม คือผลรวมของคลื่นสองความถี่ที่ใกล้กันมีรูปร่างอย่างไร และความถี่ของจังหวะเกี่ยวข้องกับสองความถี่ที่ตั้งไว้อย่างไร การ์ด A แสดงผลรวมเทียบกับเวลา ณ ตำแหน่งหนึ่ง พร้อมแยกให้เห็นส่วนที่ถี่และส่วนที่เปลี่ยนช้า ส่วนการ์ด B ให้ฟังเสียงจริงและลองตั้งสายด้วยตัวเอง

Take two waves with the same amplitude \(E_0\), travelling in the \(+x\) direction in the same medium. Each wave has a frequency \(\nu\) (number of cycles per second, in Hz), an angular frequency \(\omega = 2\pi\nu\), a wavelength \(\lambda\) and a wave number \(k = 2\pi/\lambda\). The medium is nondispersive: waves of every frequency travel in it with the same speed \(v\), and in a medium that is the same everywhere each wave keeps a single wavelength all the way (\(\lambda = v/\nu\)). Two waves of different frequency therefore have different \(\lambda\) (\(k_1 \neq k_2\)) but the same \(v\). The electric fields of the two waves are

กำหนดให้คลื่นสองลูกมี amplitude \(E_0\) เท่ากัน เดินทางไปทางทิศ \(+x\) ในตัวกลางเดียวกัน แต่ละลูกมีความถี่ \(\nu\) (จำนวนรอบต่อวินาที หน่วย Hz) ความถี่เชิงมุม \(\omega = 2\pi\nu\) ความยาวคลื่น \(\lambda\) และ wave number \(k = 2\pi/\lambda\) ตัวกลางเป็นแบบ nondispersive คือตัวกลางที่คลื่นทุกความถี่เดินทางด้วยความเร็ว \(v\) เท่ากัน และในตัวกลางที่เหมือนกันทุกตำแหน่ง คลื่นแต่ละลูกมีความยาวคลื่นค่าเดียวตลอดทาง (\(\lambda = v/\nu\)) คลื่นสองลูกที่ความถี่ต่างกันจึงมี \(\lambda\) ต่างกัน (\(k_1 \neq k_2\)) แต่มี \(v\) เท่ากัน สนามไฟฟ้าของสองคลื่นเขียนได้เป็น

At the same position and time the total field is \(E_R = E_1 + E_2\). It can be written as a product of two cosines with the trigonometric identity \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\tfrac{1}{2}(\alpha+\beta)\cos\tfrac{1}{2}(\alpha-\beta)\) for any angles \(\alpha\) and \(\beta\) (the substitution is worked out in [1], Eqs. (29)–(30)), once the average and the half-difference are defined as follows (the subscripts \(p\) and \(g\) are only labels that tell the two sets apart)

ที่ตำแหน่งและเวลาเดียวกัน สนามรวมคือ \(E_R = E_1 + E_2\) ซึ่งแยกเป็นผลคูณของ cos สองตัวได้ด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\tfrac{1}{2}(\alpha+\beta)\cos\tfrac{1}{2}(\alpha-\beta)\) สำหรับมุม \(\alpha\) และ \(\beta\) ใดๆ (รายละเอียดการแทนค่าอ่านได้ที่ [1], Eqs. (29)–(30)) เมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยและครึ่งหนึ่งของผลต่างดังนี้ (ตัวห้อย \(p\) และ \(g\) เป็นเพียงป้ายที่ใช้แยกสองชุดนี้)

The total field is therefore

สนามรวมจึงเป็น

The first cosine has \(\omega_p\), the average of \(\omega_1\) and \(\omega_2\); the second has \(\omega_g\), half of their difference. When the two frequencies are close, \(\omega_p \gg \omega_g\), so the second cosine changes very slowly and acts as a slowly changing amplitude of the first. The first cosine is called the carrier and the slowly changing wave \(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\) is called the envelope (the dashed curve in Figure 1).

cos ตัวแรกมี \(\omega_p\) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ \(\omega_1\) และ \(\omega_2\) ส่วนตัวหลังมี \(\omega_g\) ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของผลต่าง เมื่อสองความถี่ใกล้กัน \(\omega_p \gg \omega_g\) ตัวหลังจึงเปลี่ยนช้ามากและทำหน้าที่เป็นแอมพลิจูดที่เปลี่ยนช้าของตัวแรก เรียก cos ตัวแรกว่า carrier และเรียกคลื่นที่เปลี่ยนช้า \(2E_0\cos(k_g x - \omega_g t)\) ว่า envelope (เส้นประในรูปที่ 1)

The graph on this page is not a snapshot along the position axis at one moment. It looks at a single position \(x_0\), like an instrument fixed at one point, and shows how the field changes with time \(t\). Because \(v\) is the same everywhere, choosing another \(x_0\) only shifts the whole graph in time. This page uses \(x_0 = 0\), which makes \(k_p x_0 = k_g x_0 = 0\)

กราฟในหน้านี้ไม่ได้เป็นภาพถ่ายตามตำแหน่งที่เวลาหนึ่ง แต่ดูที่ตำแหน่งเดียว \(x_0\) เหมือนเครื่องวัดที่วางอยู่จุดเดียว แล้วดูว่าสนามเปลี่ยนตามเวลา \(t\) อย่างไร เพราะ \(v\) เท่ากันทุกตำแหน่ง การเลือก \(x_0\) อื่นจึงแค่เลื่อนกราฟตามเวลา หน้านี้ใช้ \(x_0 = 0\) ซึ่งทำให้ \(k_p x_0 = k_g x_0 = 0\)

The energy carried by a wave is proportional to the square of \(E\) [1], so it pulses with the square of the envelope, which has two large lobes in each cycle of \(\cos(\omega_g t)\). The beat frequency \(\omega_b\) is therefore twice \(\omega_g\) [1]

พลังงานที่คลื่นส่งมาแปรตามกำลังสองของ \(E\) [1] จึงเต้นตามกำลังสองของ envelope ซึ่งมีลูกใหญ่สองลูกต่อหนึ่งรอบของ \(\cos(\omega_g t)\) ความถี่ของ beat \(\omega_b\) จึงเป็นสองเท่าของ \(\omega_g\) [1]

Since \(\omega = 2\pi\nu\), the beat frequency \(\nu_b\) (in Hz) and the beat period \(T_b\) can be written as follows (the absolute value is used because a frequency cannot be negative; if \(\nu_1 < \nu_2\) the graph is unchanged because cosine is an even function)

เพราะ \(\omega = 2\pi\nu\) จึงเขียนเป็นความถี่ \(\nu_b\) (หน่วย Hz) และคาบของ beat \(T_b\) ได้ดังนี้ (ใช้ค่าสัมบูรณ์เพราะความถี่ไม่ติดลบ ถ้า \(\nu_1 < \nu_2\) กราฟไม่เปลี่ยนเพราะ cos เป็นฟังก์ชันคู่)

Variablesตัวแปรที่ใช้

Note: \(E\) is in relative units (a.u.) with \(E_0 = 1\). In Card B, which is sound, \(E\) stands for the oscillation of the sound wave. Equations (1)–(7) hold only for a nondispersive medium and two waves of equal amplitude.

หมายเหตุ: \(E\) ใช้หน่วยสัมพัทธ์ (a.u.) โดยกำหนด \(E_0 = 1\) ในการ์ด B ที่เป็นเสียง \(E\) แทนการแกว่งของคลื่นเสียง และสมการ (1)–(7) ใช้ได้เฉพาะตัวกลาง nondispersive และคลื่นสองลูกที่ amplitude เท่ากัน

Worked exampleตัวอย่างการคำนวณ

Use the initial values of Card A, \(\nu_1 = 110\) Hz and \(\nu_2 = 106\) Hz

ใช้ค่าเริ่มต้นของการ์ด A คือ \(\nu_1 = 110\) Hz และ \(\nu_2 = 106\) Hz

There are therefore 4 beats in 1 second, so the 0.5 s shown in the graph of Card A contains 2 large lobes of \(E_R\)

ใน 1 วินาทีจึงมี beat 4 ครั้ง ดังนั้นในช่วง 0.5 วินาทีของกราฟการ์ด A จะมีลูกใหญ่ของ \(E_R\) 2 ลูก

Card A — Sum of two waves (initial values \(\nu_1\) = 110 Hz, \(\nu_2\) = 106 Hz, time axis 0–500 ms)

การ์ด A — การรวมกันของคลื่น (ค่าเริ่มต้น \(\nu_1\) = 110 Hz, \(\nu_2\) = 106 Hz แกนเวลา 0–500 ms)

Preset buttons (\(\nu_1\) / \(\nu_2\) in Hz): 110 / 106 is the initial setting, 440 / 444 is an example of tuning a string, and 22 / 18 gives a graph shape close to Fig 7 of the book (its frequencies are below the audible range, so it cannot be played in Card B).

ปุ่มค่าที่ตั้งไว้ให้ (\(\nu_1\) / \(\nu_2\) หน่วย Hz): 110 / 106 คือค่าเริ่มต้น, 440 / 444 คือตัวอย่างการตั้งสาย และ 22 / 18 ให้รูปร่างกราฟใกล้ Fig 7 ในหนังสือ (ความถี่ต่ำกว่าช่วงที่ได้ยิน จึงฟังในการ์ด B ไม่ได้)

1. Count the large lobes of \(E_R\) in the graph (time axis 0–500 ms) and compare with \(\nu_b\) in Results. How are they related?
2. Tick only \(\cos(k_p x_0 - \omega_p t)\) and \(\cos(k_g x_0 - \omega_g t)\). How many cycles does the dashed curve complete in 0.5 s, compared with the number of large lobes of \(E_R\)? Try to explain why they differ by a factor of two (see Eq. (7)).
3. Tick the envelope \(\pm 2E_0|\cos(k_g x_0 - \omega_g t)|\) together with \(E_R\). Where does \(E_R\) touch the dashed curve, and where is \(E_R\) zero?
4. Change \(\nu_2\) to 108 Hz. How do \(\nu_b\), \(\omega_p\) and \(\omega_g\) in Results change? How does the number of large lobes in the graph change?
5. Change \(\nu_2\) to 110 Hz, equal to \(\nu_1\). What does \(E_R\) look like, and what does Results say?
6. Press the preset 440 / 444, open the Graph console, tick Fixed limits and set x min = 0 and x max = 50 ms. What does the carrier look like compared with the envelope?
7. Press the preset 22 / 18. Does the graph look like the figure in the book? What is \(\omega_p/\omega_g\), and what does Results say?

1. นับลูกใหญ่ของ \(E_R\) ในกราฟ (แกนเวลา 0–500 ms) ได้กี่ลูก เทียบกับ \(\nu_b\) ในช่อง Results ว่าสอดคล้องกันอย่างไร
2. ติ๊กเฉพาะ \(\cos(k_p x_0 - \omega_p t)\) และ \(\cos(k_g x_0 - \omega_g t)\) เส้นประครบกี่รอบใน 0.5 วินาที เทียบกับจำนวนลูกใหญ่ของ \(E_R\) แล้วลองอธิบายว่าทำไมจึงต่างกันสองเท่า (ดูสมการ (7))
3. ติ๊กเส้น envelope \(\pm 2E_0|\cos(k_g x_0 - \omega_g t)|\) กับ \(E_R\) แล้วพิจารณา \(E_R\) แตะเส้นประที่จุดไหนบ้าง และที่จุดไหนที่ \(E_R\) เป็นศูนย์
4. เปลี่ยน \(\nu_2\) เป็น 108 Hz ค่า \(\nu_b\), \(\omega_p\) และ \(\omega_g\) ใน Results เปลี่ยนอย่างไร จำนวนลูกใหญ่ในกราฟเปลี่ยนไปเท่าไร
5. เปลี่ยน \(\nu_2\) เป็น 110 Hz เท่ากับ \(\nu_1\) แล้วพิจารณา \(E_R\) เป็นอย่างไร และ Results บอกว่าอะไร
6. กดปุ่มค่าที่ตั้งไว้ให้ 440 / 444 แล้วเปิด Graph console ติ๊ก Fixed limits แล้วตั้ง x min = 0 และ x max = 50 ms จะเห็น carrier เมื่อเทียบกับ envelope
7. กดปุ่มค่าที่ตั้งไว้ให้ 22 / 18 แล้วดูว่ากราฟคล้ายรูปในหนังสือหรือไม่ \(\omega_p/\omega_g\) เป็นเท่าไร และ Results บอกว่าอย่างไร

Set Card A to 440 / 444 and go to itตั้งค่าการ์ด A เป็น 440 / 444 แล้วไปที่การ์ด A

Card B — Listen and play the tuning game (uses the same \(\nu_1\), \(\nu_2\) as Card A, adjustable from 20 to 2000 Hz, which lies within the range of human hearing [2]) Press Play first to hear the sound, and start at a low volume. In the graph, the green curve is the sound wave calculated from the equations (as in Card A), and the red ± curves are the loudness measured from the sound that is really playing. The picture does not scroll: the red curve is drawn from left to right behind a thin red line that marks the present time, and starts again at the right edge. The time axis starts at 0–2 s. To see the carrier at this range you have to set Fixed limits (for example x min = 0, x max = 0.5).

การ์ด B — ฟังเสียงและเล่นเกมตั้งสาย (ใช้ค่า \(\nu_1\), \(\nu_2\) เดียวกับการ์ด A และตั้งได้ 20–2000 Hz ซึ่งอยู่ในช่วงที่คนได้ยิน [2]) ต้องกดปุ่มเล่นก่อนจึงจะมีเสียง ควรเริ่มด้วยความดังต่ำ ในกราฟ เส้นเขียวคือคลื่นเสียงที่คำนวณจากสมการ (เหมือนในการ์ด A) ส่วนเส้นสีแดง ± คือระดับความดังที่วัดจากเสียงที่กำลังเล่นจริง ภาพไม่เลื่อน แต่เส้นสีแดงถูกวาดต่อจากซ้ายไปขวาตามเส้นสีแดงบางๆ ที่เป็นเวลาปัจจุบัน แล้วเริ่มวาดใหม่เมื่อถึงขอบขวา แกนเวลาเริ่มต้น 0–2 วินาที ที่ช่วงนี้ ถ้าต้องการเห็น carrier ต้องกำหนด Fixed limits (เช่น x min = 0, x max = 0.5)

8. Press Play at the initial values (110 and 106 Hz). How many times per second does the loudness rise and fall, compared with \(\nu_b\) in Results? Does the red edge follow the outer edge of the green curve?
9. Listen to \(\nu_1\) only, then \(\nu_2\) only, then both. What is different in what you hear, and how do the green and red curves change?
10. Tuning game: take \(\nu_1\) as the reference tone and press \(\nu_2\) +1 Hz one step at a time until you no longer hear a rhythm. How does the rhythm change at each step? What is \(\nu_b\) when the rhythm is gone?
11. Keep pressing until \(\nu_2\) is above \(\nu_1\) (for example 111 Hz) and listen again. From the sound alone, can you tell whether \(\nu_2\) is higher or lower than \(\nu_1\)? (see Eq. (8))

8. กดเล่นที่ค่าเริ่มต้น (110 และ 106 Hz) ความดังขึ้นลงกี่ครั้งใน 1 วินาที เทียบกับ \(\nu_b\) ใน Results และขอบสีแดงตามขอบนอกของเส้นเขียวหรือไม่
9. เลือกฟังเฉพาะ \(\nu_1\) แล้วเฉพาะ \(\nu_2\) แล้วทั้งสอง ได้ยินต่างกันอย่างไร และเส้นเขียวและเส้นสีแดงในกราฟเปลี่ยนอย่างไร
10. เกมตั้งสาย: ให้ \(\nu_1\) เป็นเสียงอ้างอิง กดปุ่ม \(\nu_2\) +1 Hz ทีละครั้งจนไม่ได้ยินจังหวะ จังหวะเปลี่ยนไปอย่างไรในแต่ละครั้ง ตอนไม่ได้ยินจังหวะ \(\nu_b\) เป็นเท่าไร
11. กดต่อให้ \(\nu_2\) เกิน \(\nu_1\) (เช่น 111 Hz) แล้วฟังซ้ำ จากเสียงอย่างเดียว บอกได้หรือไม่ว่า \(\nu_2\) สูงกว่าหรือต่ำกว่า \(\nu_1\) (ดูสมการ (8))

Go to Card Bไปที่การ์ด B

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

• Scope: two waves of equal amplitude in a nondispersive medium, and the graph shows \(x_0 = 0\) only.
• The beat frequency is \(\nu_b = |\nu_1 - \nu_2|\), not the frequency of the second cosine, \(\omega_g/2\pi\), which is half of \(\nu_b\).
• If the carrier is too dense to draw cycle by cycle, the graph is drawn as a band — set Fixed limits to see the carrier.
• This page treats \(\omega_p \gg \omega_g\) as met when \(\omega_p/\omega_g \geq 10\).
• In the graph of Card B the green curve is calculated from the equations and is not measured from the sound. The red curve is measured from the signal that the browser is really playing (relative level, not decibels), using the peak over a short slice (about 21–43 ms); what you hear also depends on your speakers or headphones.

• ขอบเขต: คลื่นสองลูกมี amplitude เท่ากัน อยู่ในตัวกลาง nondispersive และกราฟดูที่ \(x_0 = 0\) เท่านั้น
• ความถี่ของ beat คือ \(\nu_b = |\nu_1 - \nu_2|\) ไม่ใช่ความถี่ของ cos ตัวหลัง \(\omega_g/2\pi\) ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของ \(\nu_b\)
• ถ้า carrier ถี่เกินกว่าจะวาดทีละรอบ กราฟจะวาดเป็นแถบ — กำหนด Fixed limits เพื่อดู carrier
• หน้านี้ถือว่าเข้าเงื่อนไข \(\omega_p \gg \omega_g\) เมื่อ \(\omega_p/\omega_g \geq 10\)
• ในกราฟการ์ด B เส้นเขียวคำนวณจากสมการ ไม่ได้วัดจากเสียง ส่วนเส้นสีแดงวัดจากสัญญาณเสียงที่เบราว์เซอร์เล่นจริง (ระดับสัมพัทธ์ ไม่ใช่เดซิเบล) โดยดูค่าสูงสุดในช่วงสั้นๆ (ราว 21–43 ms) และเสียงที่ได้ยินขึ้นกับลำโพงหรือหูฟังที่ใช้