Fringe Visibility Visibility ของ fringe

Last updated แก้ไขล่าสุด

What makes fringes sharp or faint: the path difference, or the amplitudes of the two beams? fringe จะคมชัดหรือจางขึ้นกับอะไร ผลต่างระยะทาง หรือ amplitude ของแสงสองลำ

1Introductionบทนำ

Two fringe patterns can have the same bright and dark bands, yet the fringes in one pattern can look sharper than in the other. What makes the two patterns different, and why does the sharpness of the fringes differ?

ภาพ fringe สองภาพอาจมีแถบสว่างและแถบมืดเหมือนกัน แต่ภาพหนึ่งอาจจะเห็น fringe ที่คมชัดกว่าอีกภาพหนึ่ง แล้วสองภาพนี้ต่างกันที่อะไร ทำไมความคมชัดของ fringe ต่างกัน

Fringes are the alternating bright and dark bands produced by the interference of two beams of light. The sharpness of the fringes (fringe contrast) can be given as a number called the visibility, which ranges from 0 to 1. A visibility of 1 means that the dark bands are completely dark while the bright bands are at the brightest level of the interference pattern, whereas a visibility close to 0 means that the bright and dark bands are almost equally bright, so the fringes can hardly be seen.

fringe คือแถบสว่างสลับแถบมืดที่เกิดจาก interference ของแสงสองลำ ส่วนความคมชัดของ fringe (fringe contrast) บอกเป็นตัวเลขได้ด้วยค่าที่เรียกว่า visibility ซึ่งมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 โดยที่ค่า visibility เท่ากับ 1 หมายถึงแถบมืดที่มืดสนิท และแถบสว่างที่สว่างที่สุดของการ Interference ส่วนค่า visibility ใกล้ 0 หมายถึงแถบสว่างกับแถบมืดสว่างเกือบเท่ากัน จนแทบมองไม่เห็น fringe

This page deals only with two mutually coherent beams, that is, two beams whose source phase difference stays constant at all times. Where the total irradiance of two beams comes from is explained on the page Two-Beam Interference. This topic starts with the total irradiance of the two waves and how to calculate the visibility of the fringes. In the interactive visualization, Card A lets you set the irradiance of each beam and the distance that beam 2 travels to point P, and see whether the irradiance at P and the visibility change. The interactive visualization in Card B shows the fringes on a detector and the values read along a line profile, so you can see what fringes with different visibilities look like.

หน้านี้พิจารณาเฉพาะแสงสองลำแบบ mutually coherent คือแสงสองลำที่ผลต่าง phase ของแหล่งแสงคงที่ตลอดเวลา ที่มาของ irradiance รวมของแสงสองลำอธิบายไว้ในหน้า Two-Beam Interference หัวข้อนี้เริ่มจากอธิบายเรื่อง irradiance รวมของคลื่นทั้งสอง และวิธีการคำนวณ visibility ของ fringe โดย interactive visualization ที่การ์ด A จะให้ปรับ irradiance ของแสงแต่ละลำและระยะทางที่ลำแสงที่ 2 เดินทางมาถึงจุด P แล้วดูว่า irradiance ที่ P และ visibility เปลี่ยนหรือไม่ ส่วน interactive visualization ในการ์ด B แสดงภาพ fringe บน detector และค่าที่อ่านได้ตามแนวเส้น line profile เพื่อให้เห็นว่า fringe ที่ visibility ต่างกันมีหน้าตาเป็นอย่างไร

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

The total irradiance at P of two mutually coherent beams is [1]

irradiance รวมที่ P ของแสงสองลำแบบ mutually coherent คือ [1]

\[ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \tag{1} \]
\[ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \tag{1} \]

where \(I_1\) and \(I_2\) are the irradiances of beam 1 and beam 2, and \(\delta\) is the phase difference of the two beams at a given point (P). The term \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) is the result of interference. Its value follows \(\cos\delta\), which gives two main cases: a bright band and a dark band.

เมื่อ \(I_1\) และ \(I_2\) คือ irradiance ของลำแสงที่ 1 และลำแสงที่ 2 และ \(\delta\) คือผลต่าง phase ของสองลำที่ตำแหน่งหนึ่ง (P) และพจน์ \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) คือผลของการ interference มีค่าตาม \(\cos\delta\) แบ่งออกได้เป็น 2 กรณีหลักคือ กรณีที่เกิดแถบสว่าง และกรณีที่เกิดแถบมืด

Case 1: a bright band with the highest irradiance (\(I_{\max}\)) occurs when \(\delta = 2m\pi\), where \(m\) is an integer or zero. Substituting \(\cos\delta = 1\) into Eq. (1) gives

กรณีที่ 1 การเกิดแถบสว่างที่มีค่าสูงสุด (\(I_{\max}\)) ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ \(\delta = 2m\pi\) โดย \(m\) เป็นจำนวนเต็มหรือศูนย์ แล้วแทนค่า \(\cos\delta = 1\) ใน (1) จึงได้ \(I_{\max}\) เท่ากับ

\[ I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \qquad (\delta = 2m\pi) \tag{2} \]
\[ I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \qquad (\delta = 2m\pi) \tag{2} \]

Case 2: a dark band with the lowest irradiance (\(I_{\min}\)) occurs when \(\delta = (2m+1)\pi\). Substituting \(\cos\delta = -1\) into Eq. (1) gives

และกรณีที่ 2 การเกิดแถบมืดที่มีค่าต่ำสุด ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ \(\delta = (2m+1)\pi\) แล้วแทนค่า \(\cos\delta = -1\) ใน (1) จึงได้ \(I_{\min}\) เท่ากับ

\[ I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} \qquad (\delta = (2m+1)\pi) \tag{3} \]
\[ I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} \qquad (\delta = (2m+1)\pi) \tag{3} \]

Note that Eqs. (2) and (3) do not contain \(\delta\), so \(I_{\max}\) and \(I_{\min}\) do not depend on the distances \(s_1\) and \(s_2\).

สังเกตว่าสมการ (2) และ (3) ไม่มี \(\delta\) อยู่ในสมการ ดังนั้น \(I_{\max}\) และ \(I_{\min}\) จึงไม่ขึ้นกับระยะ \(s_1\), \(s_2\)

The sharpness of the fringes (fringe contrast) can be measured by the visibility, which lies between 0 and 1 and is given by [1]

สำหรับค่าความคมชัดของ fringe (fringe contrast) สามารถวัดด้วยค่า visibility ซึ่งมีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 มีค่าเท่ากับ [1]

\[ \text{visibility} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \tag{4} \]
\[ \text{visibility} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \tag{4} \]

Substituting Eqs. (2) and (3) into Eq. (4), the visibility can be written in terms of \(I_1\) and \(I_2\) as

เมื่อแทนสมการ (2) และ (3) ลงในสมการ (4) จะเขียน visibility ใหม่ได้ด้วย \(I_1\) และ \(I_2\) เป็น

\[ \text{visibility} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} \tag{5} \]
\[ \text{visibility} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} \tag{5} \]

Energy in the fringe patternพลังงานใน fringe

The principle of energy conservation states that energy is neither created nor destroyed; it can only change form or move from one place to another. Suppose the two beams have the same irradiance, \(I_1 = I_2\), written as \(I_0\).
If the two beams bring their energy to the screen without interfering, then \(I_1 + I_2 = 2I_0\).
If they do interfere, the term \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) in Eq. (1) is positive at the bright bands and negative at the dark bands by the same amount, because the average of \(\cos\delta\) over one period is zero. The average of \(I\) over one spatial period of the fringes (\(I_{\text{av}}\)) is therefore \(2I_0\) [1], exactly the energy that the two beams bring together. No energy is lost: the energy missing from the dark bands has moved to the bright bands, so the energy in the fringe pattern still obeys the principle of energy conservation.

หลักการอนุรักษ์พลังงานกล่าวว่าพลังงานไม่เกิดขึ้นเองและไม่สูญหายไป มีแต่เปลี่ยนรูปหรือย้ายที่ ในกรณีที่สมมติให้แสงสองลำมี \(I\) เท่ากันคือ \(I_1 = I_2\) และแทนด้วย \(I_0\)
ในกรณีที่แสงสองลำนำพลังงานมาถึงฉากรวมกัน โดยไม่เกิด interference แล้ว \(I_1 + I_2 = 2I_0\)
และในกรณีที่เกิด interference พจน์ \(2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta\) ในสมการ (1) เป็นบวกที่แถบสว่างและเป็นลบที่แถบมืดในปริมาณเท่ากัน เพราะค่าเฉลี่ยของ \(\cos\delta\) ตลอดหนึ่งคาบมีค่าเป็นศูนย์ ค่าเฉลี่ยของ \(I\) ตลอดหนึ่งคาบของ fringe ตามระยะทาง (\(I_{\text{av}}\)) จึงเท่ากับ \(2I_0\) [1] ซึ่งเท่ากับพลังงานที่แสงสองลำมารวมกันพอดี พลังงานจึงไม่ได้หายไปไหน แต่พลังงานที่แถบมืดได้ย้ายไปอยู่ที่แถบสว่าง ดังนั้นพลังงานใน fringe ยังคงเป็นไปตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(I\)(1)Total irradiance at Pirradiance รวมที่ PW/m²
\(I_1,\ I_2\)(1)–(3), (5)Irradiance of beam 1 and beam 2, each on its ownirradiance ของลำแสงที่ 1 และลำแสงที่ 2 เมื่อมีลำเดียวW/m²
\(\delta\)(1)–(3)Phase difference of the two beams at Pผลต่าง phase ของสองลำแสงที่ Prad
\(m\)(2), (3)An integer or zeroจำนวนเต็มหรือศูนย์–
\(I_{\max},\ I_{\min}\)(2)–(4)Largest and smallest irradiance of the fringesirradiance มากที่สุดและน้อยที่สุดของ fringeW/m²
visibility(4), (5)Fringe contrast, from 0 to 1ความคมชัดของ fringe (fringe contrast) มีค่า 0 ถึง 1–
\(I_0\)In the textในข้อความIrradiance of each beam when \(I_1 = I_2\)irradiance ของแต่ละลำเมื่อ \(I_1 = I_2\)W/m²
\(I_{\text{av}}\)In the textในข้อความAverage of \(I\) over one spatial period of the fringesค่าเฉลี่ยของ \(I\) ตลอดหนึ่งคาบของ fringe ตามระยะทางW/m²
\(E_{01},\ E_{02}\)Worked exampleตัวอย่างการคำนวณAmplitude of the electric field of beam 1 and beam 2amplitude ของสนามไฟฟ้าของลำแสงที่ 1 และลำแสงที่ 2V/m
\(\varepsilon_0,\ c\)Worked exampleตัวอย่างการคำนวณPermittivity of vacuum, and speed of lightpermittivity ของสุญญากาศ และความเร็วแสงF/m, m/s
\(k,\ \lambda\)Worked exampleตัวอย่างการคำนวณWave number \(k = 2\pi/\lambda\), and wavelength (the same for both beams)เลขคลื่น (wave number) \(k = 2\pi/\lambda\) และความยาวคลื่น (เท่ากันทั้งสองลำ)rad/m, m
\(s_1,\ s_2,\ \Delta\)Worked exampleตัวอย่างการคำนวณDistance travelled by beam 1 and beam 2 to P, and the path difference \(\Delta = s_2 - s_1\)ระยะทางที่ลำแสงที่ 1 และลำแสงที่ 2 เดินทางมาถึง P และผลต่างระยะทาง (path difference) \(\Delta = s_2 - s_1\)m
\(\phi_1,\ \phi_2\)Worked exampleตัวอย่างการคำนวณInitial phase of each beamphase เริ่มต้นของแต่ละลำrad

Note: This page uses SI units (\(E\) in V/m and \(I\) in W/m²). In Cards A and B, the \(I_1\) and \(I_2\) boxes are in units of \(10^{-3}\) W/m². The wavelength \(\lambda = 600\) nm is fixed throughout the page.

หมายเหตุ: หน้านี้ใช้หน่วย SI (\(E\) หน่วย V/m และ \(I\) หน่วย W/m²) ในการ์ด A และการ์ด B ช่องปรับ \(I_1\) และ \(I_2\) ใช้หน่วย \(10^{-3}\) W/m² ความยาวคลื่น \(\lambda = 600\) nm คงที่ทั้งหน้า

Worked example — irradiance at P and visibilityตัวอย่างการคำนวณ — irradiance ที่ P และ visibility

Two mutually coherent beams have \(\lambda = 600\) nm, \(E_{01} = 2\) V/m, \(E_{02} = 6\) V/m, \(\phi_1 = \phi_2 = 0\), \(s_1 = 0\) and \(s_2 = 100\) nm. Find the irradiance at point P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) and the visibility.

ให้แสงสองลำแบบ mutually coherent มี \(\lambda = 600\) nm, \(E_{01} = 2\) V/m, \(E_{02} = 6\) V/m, \(\phi_1 = \phi_2 = 0\), \(s_1 = 0\) และ \(s_2 = 100\) nm หา irradiance ที่ตำแหน่ง P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) และ visibility

\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= 100\ \text{nm} - 0 \\ &= 1\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= 100\ \text{nm} - 0 \\ &= 1\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \varepsilon_0 c &= (8.8542\times10^{-12}\ \text{F/m})(2.9979\times10^{8}\ \text{m/s}) \\ &= 2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \varepsilon_0 c &= (8.8542\times10^{-12}\ \text{F/m})(2.9979\times10^{8}\ \text{m/s}) \\ &= 2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_1 &= \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_{01}^2 \\ &= \tfrac{1}{2}(2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s})(2\ \text{V/m})^2 \\ &= 5.3088\times10^{-3}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_1 &= \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_{01}^2 \\ &= \tfrac{1}{2}(2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s})(2\ \text{V/m})^2 \\ &= 5.3088\times10^{-3}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_2 &= \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_{02}^2 \\ &= \tfrac{1}{2}(2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s})(6\ \text{V/m})^2 \\ &= 4.7780\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_2 &= \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_{02}^2 \\ &= \tfrac{1}{2}(2.6544\times10^{-3}\ \text{F/s})(6\ \text{V/m})^2 \\ &= 4.7780\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{\lambda} \\ &= \frac{2\pi}{6\times10^{-7}\ \text{m}} \\ &= 1.0472\times10^{7}\ \text{rad/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{\lambda} \\ &= \frac{2\pi}{6\times10^{-7}\ \text{m}} \\ &= 1.0472\times10^{7}\ \text{rad/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \delta &= k\Delta + \phi_2 - \phi_1 \\ &= k\Delta + 0 - 0 \\ &= (1.0472\times10^{7}\ \text{rad/m})(1\times10^{-7}\ \text{m}) \\ &= 1.0472\ \text{rad} \\ &= \pi/3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \delta &= k\Delta + \phi_2 - \phi_1 \\ &= k\Delta + 0 - 0 \\ &= (1.0472\times10^{7}\ \text{rad/m})(1\times10^{-7}\ \text{m}) \\ &= 1.0472\ \text{rad} \\ &= \pi/3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \cos\delta &= \cos(\pi/3) \\ &= 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \cos\delta &= \cos(\pi/3) \\ &= 0.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\sqrt{I_1 I_2} &= 2\sqrt{(5.3088\times10^{-3}\ \text{W/m}^2)(4.7780\times10^{-2}\ \text{W/m}^2)} \\ &= 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2\sqrt{I_1 I_2} &= 2\sqrt{(5.3088\times10^{-3}\ \text{W/m}^2)(4.7780\times10^{-2}\ \text{W/m}^2)} \\ &= 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \\ &= (5.3088\times10^{-3} + 4.7780\times10^{-2}) + (3.1853\times10^{-2})(0.5)\ \text{W/m}^2 \\ &= 5.3088\times10^{-2} + 1.5927\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 6.9015\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \\ &= (5.3088\times10^{-3} + 4.7780\times10^{-2}) + (3.1853\times10^{-2})(0.5)\ \text{W/m}^2 \\ &= 5.3088\times10^{-2} + 1.5927\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 6.9015\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{\max} &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \\ &= 5.3088\times10^{-2} + 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 8.4941\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{\max} &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \\ &= 5.3088\times10^{-2} + 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 8.4941\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{\min} &= I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} \\ &= 5.3088\times10^{-2} - 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 2.1235\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{\min} &= I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} \\ &= 5.3088\times10^{-2} - 3.1853\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \\ &= 2.1235\times10^{-2}\ \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{visibility} &= \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \\ &= \frac{8.4941\times10^{-2} - 2.1235\times10^{-2}}{8.4941\times10^{-2} + 2.1235\times10^{-2}} \\ &= \frac{6.3706\times10^{-2}}{1.0618\times10^{-1}} \\ &= 0.600 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{visibility} &= \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} \\ &= \frac{8.4941\times10^{-2} - 2.1235\times10^{-2}}{8.4941\times10^{-2} + 2.1235\times10^{-2}} \\ &= \frac{6.3706\times10^{-2}}{1.0618\times10^{-1}} \\ &= 0.600 \end{aligned} \]

\(I_1\), \(I_2\) and \(s_2\) in this example are the initial values of Card A (\(I_1 = 5.3088\) and \(I_2 = 47.7795\) in units of \(10^{-3}\) W/m²).

\(I_1\), \(I_2\) และ \(s_2\) ในตัวอย่างนี้คือค่าเริ่มต้นของการ์ด A (\(I_1 = 5.3088\) และ \(I_2 = 47.7795\) ในหน่วย \(10^{-3}\) W/m²)

3How to use this visualizationวิธีใช้ visualization

Card A — Irradiance at P and visibilityการ์ด A — irradiance ที่จุด P และ visibility

  • Fixed values: \(\lambda = 600\) nm, \(s_1 = 0\) and \(\phi_1 = \phi_2 = 0\).
  • Adjustable values: \(I_1\) and \(I_2\) (1–100, in units of \(10^{-3}\) W/m²) and \(s_2\) (0–1200 nm). Use the slider or type in the number box. If you type a value outside the range, a note under the box shows the value the page actually uses.
  • The initial values are those of the worked example; Reset returns to them.
  • Figure 1: the red line is \(I\) from Eq. (1) for every \(\delta\) from 0 to \(4\pi\). The horizontal dashed lines are \(I_{\max}\) and \(I_{\min}\). The vertical dashed line and the red dot mark point P at the \(\delta\) given by \(s_2\).
  • The y axis is fixed at 0 to 0.1 W/m². If \(I_{\max}\) goes above it, a message appears on the graph, and you can change the axis in the Graph console (Fixed limits).
  • Graph console: show or hide the \(I\) curve, the dashed \(I_{\max}\) and \(I_{\min}\) lines, the scale numbers and the grid lines.
  • Results: \(I\) at P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) and the visibility.
  • ค่าคงที่: \(\lambda = 600\) nm, \(s_1 = 0\) และ \(\phi_1 = \phi_2 = 0\)
  • ค่าที่ปรับได้: \(I_1\) และ \(I_2\) (1–100 ในหน่วย \(10^{-3}\) W/m²) และ \(s_2\) (0–1200 nm) ปรับด้วยแถบเลื่อนหรือพิมพ์ในช่องตัวเลข ถ้าพิมพ์ค่านอกช่วง จะมีหมายเหตุใต้ช่องบอกค่าที่หน้านี้ใช้จริง
  • ค่าเริ่มต้นเท่ากับตัวอย่างการคำนวณ ปุ่มรีเซ็ตกลับไปที่ค่าเริ่มต้น
  • รูปที่ 1: เส้นสีแดงคือ \(I\) ตามสมการ (1) ที่ทุกค่า \(\delta\) ตั้งแต่ 0 ถึง \(4\pi\) เส้นประแนวนอนคือ \(I_{\max}\) และ \(I_{\min}\) เส้นประแนวตั้งและจุดสีแดงคือจุด P ที่ค่า \(\delta\) ซึ่งได้จาก \(s_2\)
  • แกน y คงที่ 0 ถึง 0.1 W/m² ถ้า \(I_{\max}\) เกินแกน จะมีข้อความบนกราฟ ปรับแกนได้ที่แผงควบคุมกราฟ (Fixed limits)
  • แผงควบคุมกราฟ: เปิดหรือปิดเส้น \(I\), เส้นประ \(I_{\max}\) กับ \(I_{\min}\), ตัวเลขสเกล และเส้นกริด
  • Results: \(I\) ที่ P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) และ visibility

Try Card A in the following order.

ลองใช้งานการ์ด A ตามลำดับดังนี้

  1. At the initial values, do \(I\) at P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) and the visibility in Results match the worked example?
  2. Move \(s_2\) from 0 to 1200 nm. How does point P move in Figure 1? Does \(I\) at P change? Do \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) and the visibility change?
  3. Which values of \(s_2\) make \(I\) at P equal to \(I_{\max}\), and which make it equal to \(I_{\min}\)?
  4. Set \(I_2\) equal to \(I_1\). What are the visibility and \(I_{\min}\)?
  5. Keep \(I_1\) fixed and increase \(I_2\) to the top of its range. Does the visibility go up or down, and does the dashed \(I_{\min}\) line in Figure 1 move closer to zero or further from it?
  1. ที่ค่าเริ่มต้น \(I\) ที่ P, \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) และ visibility ใน Results ตรงกับตัวอย่างการคำนวณหรือไม่
  2. เลื่อน \(s_2\) จาก 0 ถึง 1200 nm จุด P ในรูปที่ 1 เคลื่อนที่อย่างไร \(I\) ที่ P เปลี่ยนหรือไม่ แล้ว \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) และ visibility เปลี่ยนหรือไม่
  3. \(s_2\) เท่าไรที่ทำให้ \(I\) ที่ P เท่ากับ \(I_{\max}\) และเท่าไรที่ทำให้เท่ากับ \(I_{\min}\)
  4. ปรับ \(I_2\) ให้เท่ากับ \(I_1\) visibility เป็นเท่าไร และ \(I_{\min}\) เป็นเท่าไร
  5. ให้ \(I_1\) คงที่ แล้วเพิ่ม \(I_2\) จนสุดช่วง visibility เพิ่มขึ้นหรือลดลง และเส้นประ \(I_{\min}\) ในรูปที่ 1 อยู่ใกล้หรือไกลจากศูนย์มากขึ้น

Why Figure 1 seems to contradict what you expectทำไมรูปที่ 1 ดูขัดกับความรู้สึก

  • Set \(I_1 = I_2 = 1\), then change to \(I_1 = 1\), \(I_2 = 77\) (in units of \(10^{-3}\) W/m²). In the second case the line in Figure 1 swings up and down much more (\(I_{\max} - I_{\min}\) = 35.1 compared with 4.0), so the fringes seem as if they should be sharper, yet the visibility drops from 1.000 to 0.225.
  • The visibility does not measure the difference \(I_{\max} - I_{\min}\) alone; it measures this difference relative to the total brightness \(I_{\max} + I_{\min}\), as in Eq. (4).
  • With \(I_1 = I_2 = 1\) there is little light, so the line looks flat on a y axis of 0 to 0.1 W/m², but \(I_{\min} = 0\), so the dark bands are completely dark.
  • With \(I_2 = 77\) the dark bands are still about 63% as bright as the bright bands (\(I_{\min}\) = 60.5 compared with \(I_{\max}\) = 95.5), so the eye sees little difference between the bright and dark bands.
  • The visibility therefore tells you how sharp the fringes are, not how bright they are.
  • Card B shows what the eye actually sees: press the preset \(I_1 = 50\), \(I_2 = 50\), then change to \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\). Both cases are about equally bright (\(I_{\max}\) = 200 and 121), but the first image has completely dark bands, while in the second the dark bands are still lit, so the image looks washed out and grey.
  • ลองตั้ง \(I_1 = I_2 = 1\) แล้วเปลี่ยนเป็น \(I_1 = 1\), \(I_2 = 77\) (หน่วย \(10^{-3}\) W/m²) กรณีหลังเส้นในรูปที่ 1 แกว่งขึ้นลงกว้างกว่ามาก (\(I_{\max} - I_{\min}\) = 35.1 เทียบกับ 4.0) จึงดูเหมือนว่า fringe ควรชัดกว่า แต่ visibility กลับลดลงจาก 1.000 เหลือ 0.225
  • visibility ไม่ได้วัดผลต่าง \(I_{\max} - I_{\min}\) อย่างเดียว แต่วัดผลต่างนี้เทียบกับความสว่างรวม \(I_{\max} + I_{\min}\) ตามสมการ (4)
  • กรณี \(I_1 = I_2 = 1\) แสงรวมน้อย เส้นจึงดูแบนเมื่อแกน y เป็น 0 ถึง 0.1 W/m² แต่ \(I_{\min} = 0\) แถบมืดจึงมืดสนิท
  • กรณี \(I_2 = 77\) แถบมืดยังสว่างถึงประมาณ 63% ของแถบสว่าง (\(I_{\min}\) = 60.5 เทียบกับ \(I_{\max}\) = 95.5) ตาจึงเห็นแถบสว่างกับแถบมืดต่างกันไม่มาก
  • visibility จึงบอกว่า fringe คมชัดแค่ไหน ไม่ได้บอกว่าสว่างแค่ไหน
  • ภาพที่ตาเห็นจริงดูได้ในการ์ด B: กดค่าตั้งต้น \(I_1 = 50\), \(I_2 = 50\) แล้วเปลี่ยนเป็น \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\) ทั้งสองกรณีมีความสว่างใกล้เคียงกัน (\(I_{\max}\) = 200 และ 121) แต่ภาพแรกมีแถบมืดดำสนิท ส่วนภาพที่สองแถบมืดยังสว่างอยู่จนภาพดูจางเป็นสีเทา

Card B — Fringes on the detector and the line profileการ์ด B — fringe บน detector และ line profile

  • The top of Figure 2 is the image from a detector of 120 × 40 pixels. The grey lines are the edges of the pixels (not shown when the screen is so small that the pixels become too small).
  • Each pixel along the horizontal direction has a different \(\Delta\). One bright band or one dark band is 10 pixels wide, and the centre of the image is a bright band (\(\Delta = 0\)).
  • The value of each pixel is calculated from Eq. (1). The brightness of the colours is adjusted the way a camera displays an image, so that differences in the dark parts are easier to see. The colour bar to the right of the image shows which \(I\) each colour stands for (0 to 0.40 W/m²).
  • The green line on the image is the line profile, drawn from the middle of the left edge to the middle of the right edge. The graph below the image shows \(I\) read by the pixels on this line.
  • In the graph, the black dashed lines are \(I_{\max}\) and \(I_{\min}\) from Eqs. (2) and (3), and the red dashed line is \(I_1 + I_2\). The y axis is fixed at 0 to 0.4 W/m².
  • Adjustable values: \(I_1\) and \(I_2\) (1–100, in units of \(10^{-3}\) W/m²), both 50 initially.
  • The light-bulb buttons switch each beam on or off (yellow = on, white = off). A beam that is off has the tag “blocked” next to its irradiance label.
  • Three presets: \(I_1 = 50\), \(I_2 = 50\) / \(I_1 = 10\), \(I_2 = 90\) / \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\). Reset sets both back to 50 and switches both beams on.
  • Graph console: show or hide the line profile, the dashed \(I_{\max}\) and \(I_{\min}\) lines, the \(I_1 + I_2\) line, the scale numbers and the grid lines, and set the axis limits (Fixed limits).
  • Results: \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) and the visibility (with both beams off, the visibility is shown as “—”).
  • รูปที่ 2 ด้านบนคือภาพจาก detector ขนาด 120 × 40 pixel เส้นสีเทาคือขอบของแต่ละ pixel (ไม่แสดงเมื่อจอเล็กจน pixel เล็กเกินไป)
  • แต่ละ pixel ในแนวนอนมี \(\Delta\) ไม่เท่ากัน แถบสว่าง 1 แถบหรือแถบมืด 1 แถบกว้าง 10 pixel และกลางภาพเป็นแถบสว่าง (\(\Delta = 0\))
  • ค่าของแต่ละ pixel คำนวณจากสมการ (1) สีในภาพปรับความสว่างแบบเดียวกับที่กล้องแสดงภาพ เพื่อให้เห็นความต่างในส่วนที่มืดได้ชัดขึ้น แถบสีทางขวาของภาพบอกว่าสีแต่ละระดับเท่ากับ \(I\) เท่าไร (0 ถึง 0.40 W/m²)
  • เส้นสีเขียวบนภาพคือ line profile ลากจากกลางขอบซ้ายถึงกลางขอบขวา กราฟใต้ภาพคือค่า \(I\) ที่ pixel บนเส้นนี้อ่านได้
  • ในกราฟ: เส้นประสีดำคือ \(I_{\max}\) และ \(I_{\min}\) จากสมการ (2) และ (3) เส้นประสีแดงคือ \(I_1 + I_2\) แกน y คงที่ 0 ถึง 0.4 W/m²
  • ค่าที่ปรับได้: \(I_1\) และ \(I_2\) (1–100 ในหน่วย \(10^{-3}\) W/m²) ค่าเริ่มต้น 50 ทั้งคู่
  • ปุ่มหลอดไฟเปิดหรือปิดลำแสงแต่ละลำ (สีเหลือง = เปิด สีขาว = ปิด) ลำที่ปิดอยู่มีป้าย "ปิดอยู่" ข้างชื่อ irradiance
  • ปุ่มค่าตั้งต้น 3 ชุด: \(I_1 = 50\), \(I_2 = 50\) / \(I_1 = 10\), \(I_2 = 90\) / \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\) ปุ่มรีเซ็ตกลับไปที่ 50 ทั้งคู่และเปิดไฟทั้งสองดวง
  • แผงควบคุมกราฟ: เปิดหรือปิด line profile, เส้นประ \(I_{\max}\) กับ \(I_{\min}\), เส้น \(I_1 + I_2\), ตัวเลขสเกล, เส้นกริด และกำหนดขอบเขตแกน (Fixed limits)
  • Results: \(I_{\max}\), \(I_{\min}\) และ visibility (ถ้าปิดไฟทั้งสองดวง visibility แสดงเป็น “—”)

Try Card B in the following order.

ลองใช้งานการ์ด B ตามลำดับดังนี้

  1. At the initial values (\(I_1 = I_2 = 50\)), are the dark bands in the image completely dark? Is the lowest value of the line profile equal to \(I_{\min}\) in Results?
  2. Press the preset \(I_1 = 10\), \(I_2 = 90\), then \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\). How do the dark bands change in the image and in the graph? What is the visibility?
  3. Switch beam 1 off (the bulb turns white). Are there still fringes in the image? What is the visibility? Then increase \(I_2\): does the image get brighter?
  1. ที่ค่าเริ่มต้น (\(I_1 = I_2 = 50\)) แถบมืดในภาพมืดสนิทหรือไม่ ค่าต่ำสุดของ line profile เท่ากับ \(I_{\min}\) ใน Results หรือไม่
  2. กดค่าตั้งต้น \(I_1 = 10\), \(I_2 = 90\) แล้ว \(I_1 = 1\), \(I_2 = 100\) แถบมืดในภาพและในกราฟเปลี่ยนไปอย่างไร visibility เป็นเท่าไร
  3. ปิดลำแสงที่ 1 (หลอดไฟเป็นสีขาว) ภาพยังมี fringe หรือไม่ visibility เป็นเท่าไร แล้วเพิ่ม \(I_2\) ภาพสว่างขึ้นหรือไม่

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: two plane waves of the same frequency, with parallel electric fields, that are mutually coherent.
  • In Card B, \(\Delta\) changes evenly from pixel to pixel. Why \(\Delta\) depends on position is explained on page 03, Young’s double-slit.
  • Each pixel value is \(I\) at the centre of the pixel, not an average over the pixel area.
  • The brightness of the colours in the Card B image is not proportional to \(I\); read the actual values from the line-profile graph or the colour bar.
  • ขอบเขต: คลื่นระนาบสองลำที่มีความถี่เดียวกัน สนามไฟฟ้าขนานกัน และเป็นแบบ mutually coherent
  • การ์ด B ให้ \(\Delta\) เปลี่ยนตามตำแหน่ง pixel อย่างสม่ำเสมอ ที่มาของ \(\Delta\) ตามตำแหน่งอธิบายในหน้า 03 Young’s double-slit
  • ค่าของแต่ละ pixel คือ \(I\) ที่กึ่งกลาง pixel ไม่ได้เฉลี่ยทั่วพื้นที่ pixel
  • ความสว่างของสีในภาพการ์ด B ไม่เป็นสัดส่วนตรงกับ \(I\) ค่าจริงอ่านได้จากกราฟ line profile หรือแถบสี
Fringe Visibility — interactive visualization Visibility ของ fringe — interactive visualization
A Irradiance at P and visibilityirradiance ที่จุด P และ visibility

Fixed values (mutually coherent)ค่าคงที่ (mutually coherent)

λ = 600 nm
s1 = 0
ϕ1 = ϕ2 = 0
Figure 1 — Irradiance against phase difference Adapted from [1], Fig. 2a. รูปที่ 1 — irradiance เทียบกับผลต่าง phase ดัดแปลงจาก [1], Fig. 2a

Resultsผลลัพธ์

I at P (W/m²)I ที่ P (W/m²) 6.901×10−2
Imax (W/m²) 8.494×10−2
Imin (W/m²) 2.124×10−2
visibility 0.600
B Fringes on the detector and the line profilefringe บน detector และ line profile

Beam on / offเปิด / ปิดลำแสง

Presets (10−3 W/m²)ค่าตั้งต้น (10−3 W/m²)

Figure 2 — Detector image and the line profile รูปที่ 2 — ภาพจาก detector และ line profile

Resultsผลลัพธ์

Imax (W/m²) 2.000×10−1
Imin (W/m²) 0
visibility 1.000

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 167–169.