Fringes of Equal Thickness Fringes of equal thickness

Last updated แก้ไขล่าสุด

Why does a film of uneven thickness show evenly spaced dark and bright bands (single-colour light) or different colours (white light), and how does each band tell the film thickness? ทำไมฟิล์มที่หนาไม่เท่ากันจึงเห็นเป็นแถบมืดสว่างที่ห่างเท่ากัน (แสงสีเดียว) หรือเป็นสีต่างๆ (white light) และแต่ละแถบบอกความหนาของฟิล์มได้อย่างไร

1Introductionบทนำ

Have you ever noticed why we see rainbow colours when oil floats on water, why each spot has a different colour, and why the colours change when we look from another angle? The reason is that the oil layer is not equally thick everywhere [1], so the light at each angle and each wavelength interferes differently by the time it reaches the eye.

คุณเคยสังเกตไหมว่าทำไมเราเห็นสีรุ้งเกิดขึ้นเมื่อน้ำมันลอยอยู่บนน้ำ และแต่ละตำแหน่งมีสีไม่เหมือนกัน และเปลี่ยนเมื่อเรามองจากมุมอื่น สาเหตุคือชั้นน้ำมันหนาไม่เท่ากันทุกจุด [1] แล้วเกิด interference ของแสงแต่ละมุม และแต่ละความยาวคลื่นเปลี่ยนไปเมื่อมาถึงตา

The Interference in Dielectric Films page explains that light reflected from the top and bottom surfaces of a thin film can interfere, and that the result depends on the optical path difference, which depends on the film thickness and the angle of the light. That page uses a film of the same thickness everywhere; this page shows the case where the thickness varies. If the direction of the light is fixed, points of equal thickness are equally bright or dark, so each fringe follows a line of equal thickness. These are called fringes of equal thickness [1].

หน้า Interference in dielectric films อธิบายว่าแสงที่สะท้อนจากผิวบนและผิวล่างของฟิล์มบางเกิด interference กันได้ และผลที่ได้ขึ้นกับ optical path difference ซึ่งขึ้นกับความหนาของฟิล์มและมุมของแสง หน้านั้นใช้ฟิล์มที่หนาเท่ากันทุกจุด หน้านี้แสดงกรณีที่ฟิล์มหนาไม่เท่ากัน ถ้าทิศของแสงคงที่ จุดที่หนาเท่ากันจะสว่างหรือมืดเหมือนกัน fringe แต่ละเส้นจึงเป็นแนวของจุดที่หนาเท่ากัน เรียกว่า fringes of equal thickness [1]

Thickness differences of only a few nanometres cannot be seen by eye, but the interactive visualizations on this page draw the thickness larger so that the light paths can be seen. They show two cases: Visualization A, a wedge-shaped layer of air between two microscope slides in monochromatic light (light of a single wavelength), and Visualization B, white light reflected from an oil slick on water.

ความหนาที่ต่างกันเพียงระดับ nm มองด้วยตาไม่เห็น แต่ใน interactive visualization ในหน้านี้วาดความหนาให้ใหญ่ขึ้นเพื่อให้เห็นทางเดินแสง และแสดง 2 กรณี คือ visualization A ชั้นอากาศรูปลิ่มระหว่างแผ่นสไลด์ (microscope slide) สองแผ่นที่ใช้แสง monochromatic (แสงที่มีความยาวคลื่นเดียว) และ visualization B แสดงแสงสะท้อนของ white light ที่ผิวคราบน้ำมันบนผิวน้ำ

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Optical path difference and the phase added on reflectionoptical path difference และ phase ที่เพิ่มจากการสะท้อน

Light striking the film splits into two beams: beam (1) is reflected at the top surface of the film, and beam (2) is refracted into the film and reflected at the bottom surface. When light passes from a medium of refractive index \(n_0\) into a film of refractive index \(n_f\), it is refracted according to Snell’s law (the refractive index tells how many times slower light travels in a medium than in vacuum).

แสงที่ตกกระทบฟิล์มแยกเป็นสองลำ ลำ (1) สะท้อนที่ผิวบนของฟิล์ม ลำ (2) หักเหเข้าไปในฟิล์มแล้วสะท้อนที่ผิวล่าง เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเห \(n_0\) เข้าไปในฟิล์มที่มีดัชนีหักเห \(n_f\) แสงหักเหตามกฎของ Snell (ดัชนีหักเหบอกว่าแสงเดินทางในตัวกลางนั้นช้ากว่าในสุญญากาศกี่เท่า)

\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \tag{1} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \tag{1} \end{align*} \]

where \(\theta_i\) is the angle of incidence and \(\theta_t\) is the angle of the light in the film (both measured from the normal). Where the film is \(t\) thick, beam (2) travels farther in the film than beam (1); this gives the optical path difference due to the path [1]

เมื่อ \(\theta_i\) คือมุมตกกระทบ และ \(\theta_t\) คือมุมของแสงในฟิล์ม (วัดจากเส้นปกติทั้งคู่) ที่ตำแหน่งที่ฟิล์มหนา \(t\) ลำ (2) เดินทางในฟิล์มเพิ่มจากลำ (1) คิดเป็น optical path difference จากเส้นทาง [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \tag{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \tag{2} \end{align*} \]

The derivation of Eq. (2) is explained step by step on the Interference in Dielectric Films page (Eqs. (1)–(7) of that page), or see [1], Eq. (35).

ที่มาของสมการ (2) อธิบายทีละขั้นในหน้า Interference in dielectric films (สมการ (1)–(7) ของหน้านั้น) หรืออ่านได้ที่ [1], Eq. (35)

Besides the path, reflection can also add phase. Reflection from the side of lower refractive index to higher (external reflection) adds a phase of \(\pi\), while reflection from higher to lower (internal reflection) adds none. If the two beams are reflected in different ways, the difference caused by reflection is equivalent to a path of \(\Delta_r = \lambda/2\); if they are reflected in the same way, \(\Delta_r = 0\) [1].

นอกจากเส้นทางแล้ว การสะท้อนยังเพิ่ม phase ได้ด้วย การสะท้อนจากด้านที่ดัชนีหักเหต่ำไปสูง (external reflection) เพิ่ม phase \(\pi\) ส่วนการสะท้อนจากด้านที่ดัชนีหักเหสูงไปต่ำ (internal reflection) ไม่เพิ่ม ถ้าสองลำสะท้อนต่างชนิดกัน ผลต่างที่เกิดจากการสะท้อนเทียบเท่าระยะทาง \(\Delta_r = \lambda/2\) ถ้าสะท้อนชนิดเดียวกัน \(\Delta_r = 0\) [1]

Bright and dark fringesเงื่อนไขของ fringe สว่างและมืด

At normal incidence, \(\cos\theta_t = 1\), and the conditions for bright and dark fringes are [1]

เมื่อแสงตกกระทบตั้งฉากกับฟิล์ม \(\cos\theta_t = 1\) เงื่อนไขของ fringe สว่างและมืดเป็น [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(bright)} \\ \mathllap{2n_f t + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(dark)} \tag{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(bright)} \\ \mathllap{2n_f t + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(dark)} \tag{3} \end{align*} \]

where \(m\) is the order (0, 1, 2, …). This page lets the angle of incidence be changed, so using \(\Delta_p\) from Eq. (2) in place of \(2n_f t\) gives conditions that hold at any angle [1], Eqs. (35)–(37)

เมื่อ \(m\) คือ order (0, 1, 2, …) หน้านี้ให้ปรับมุมตกกระทบได้ จึงใช้ \(\Delta_p\) จากสมการ (2) แทน \(2n_f t\) ได้เงื่อนไขที่ใช้ได้ทุกมุม [1], Eqs. (35)–(37)

\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(bright)} \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(dark)} \tag{4} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(bright)} \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(dark)} \tag{4} \end{align*} \]

If the direction of the light is fixed (\(\theta_t\) constant), the only thing that changes from one point to another is \(t\), so points of equal thickness lie on the same fringe.

ถ้าทิศของแสงคงที่ (\(\theta_t\) คงที่) สิ่งเดียวที่เปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งคือ \(t\) จุดที่หนาเท่ากันจึงอยู่บน fringe เส้นเดียวกัน

Air wedge between two microscope slides (Visualization A)ลิ่มอากาศระหว่างแผ่นสไลด์สองแผ่น (visualization A)

Visualization A has a beam splitter, a lens and a screen that stay in place. When \(\theta_i\) is increased, the plane of the light source tilts, so the light reflected down by the beam splitter strikes the wedge at angle \(\theta_i\), and the light reflected from the wedge leaves on the other side of the normal at the same angle.

When two microscope slides are laid one on the other, touching along one edge and held apart at the other edge by a thin spacer of thickness \(d\), such as a hair, the layer of air between them is wedge-shaped [1]. Let \(x\) be the distance from the edge where the slides touch and \(L\) the distance from that edge to the spacer. From similar triangles, the thickness of the air layer at \(x\) is

visualization A มี beam splitter, เลนส์ และ screen ที่อยู่กับที่ เมื่อเพิ่ม \(\theta_i\) ระนาบของ light source จะเอียง แสงที่ beam splitter สะท้อนลงมาจึงตกกระทบลิ่มที่มุม \(\theta_i\) และแสงที่สะท้อนจากลิ่มเอียงออกไปอีกด้านของเส้นปกติด้วยมุมเดียวกัน

เมื่อนำแผ่นสไลด์สองแผ่นมาวางซ้อนกัน ให้ขอบหนึ่งแตะกัน อีกขอบหนึ่งมี spacer บางๆ เช่น เส้นผม หนา \(d\) คั่นไว้ ชั้นอากาศระหว่างแผ่นจึงเป็นรูปลิ่ม [1] ให้ \(x\) คือระยะจากขอบที่แตะกัน และ \(L\) คือระยะจากขอบที่แตะกันถึง spacer จากสามเหลี่ยมคล้าย ความหนาของชั้นอากาศที่ \(x\) คือ

\[ \begin{align*} \mathllap{\frac{t}{x}} &= \frac{d}{L} \\ \mathllap{t} &= \frac{d}{L}\,x \tag{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\frac{t}{x}} &= \frac{d}{L} \\ \mathllap{t} &= \frac{d}{L}\,x \tag{5} \end{align*} \]

Beam (1) is reflected at the top surface of the air layer (from glass to air, an internal reflection) and beam (2) at the bottom surface (from air to glass, an external reflection), so \(\Delta_r = \lambda/2\) [1]. The film is air, \(n_f = 1\), and the two surfaces of the top slide are nearly parallel; applying Eq. (1) at the top and bottom surfaces of the slide shows that the angle \(\theta_t\) in the air layer equals the angle of incidence \(\theta_i\) in air.

ลำ (1) สะท้อนที่ผิวบนของชั้นอากาศ (จากแก้วไปอากาศ เป็น internal reflection) ลำ (2) สะท้อนที่ผิวล่าง (จากอากาศไปแก้ว เป็น external reflection) จึงได้ \(\Delta_r = \lambda/2\) [1] ฟิล์มคืออากาศ \(n_f = 1\) และผิวทั้งสองของแผ่นสไลด์แผ่นบนเกือบขนานกัน เมื่อใช้สมการ (1) ที่ผิวบนและผิวล่างของแผ่นสไลด์ จะได้มุมในชั้นอากาศ \(\theta_t\) เท่ากับมุมตกกระทบในอากาศ \(\theta_i\)

Substituting \(\Delta_r = \lambda/2\) into the dark-fringe condition of Eq. (4), and then \(t\) from Eq. (5), gives the positions of the dark fringes

แทน \(\Delta_r = \lambda/2\) ในเงื่อนไข fringe มืดของสมการ (4) แล้วแทน \(t\) จากสมการ (5) ได้ตำแหน่งของ fringe มืด

\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \frac{\lambda}{2}} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f\,\frac{d}{L}\,x_m\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{x_m} &= \frac{m\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{6} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \frac{\lambda}{2}} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f\,\frac{d}{L}\,x_m\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{x_m} &= \frac{m\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{6} \end{align*} \]

At the edge where the slides touch (\(x = 0\), \(m = 0\)) there is a dark fringe, because with \(t = 0\) only \(\Delta_r = \lambda/2\) remains. As \(t\) increases linearly with \(x\), the order \(m\) rises by 1 at a time, so dark and bright fringes alternate at equal spacing [1].

ที่ขอบที่แผ่นสไลด์แตะกัน (\(x = 0\), \(m = 0\)) เป็น fringe มืด เพราะ \(t = 0\) เหลือเพียง \(\Delta_r = \lambda/2\) เมื่อ \(t\) เพิ่มขึ้นเชิงเส้นตาม \(x\) order \(m\) เพิ่มทีละ 1 fringe มืดและสว่างจึงสลับกันที่ระยะห่างเท่ากัน [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= x_{m+1} - x_m \\ &= \frac{\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \tag{7} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= x_{m+1} - x_m \\ &= \frac{\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \tag{7} \end{align*} \]

Example: \(\lambda\) = 600 nm, \(d\) = 2 µm, \(L\) = 50 mm, \(n_f = 1\), normal incidence (\(\theta_t = 0^\circ\)). Find the fringe spacing \(\Delta x\) and the position \(x\) of \(m = 3\).

ตัวอย่าง: \(\lambda\) = 600 nm, \(d\) = 2 µm, \(L\) = 50 mm, \(n_f = 1\), แสงตกกระทบตั้งฉาก (\(\theta_t = 0^\circ\)) หาระยะห่างระหว่างริ้ว \(\Delta x\) และที่ \(m = 3\) เกิดที่ระยะ \(x\) ใด

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= \frac{\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \\ &= \frac{(6\times10^{-7}\ \text{m})(5\times10^{-2}\ \text{m})}{(2)(1)(2\times10^{-6}\ \text{m})(\cos 0^\circ)} \\ &= 7.5\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 7.5\ \text{mm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= \frac{\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \\ &= \frac{(6\times10^{-7}\ \text{m})(5\times10^{-2}\ \text{m})}{(2)(1)(2\times10^{-6}\ \text{m})(\cos 0^\circ)} \\ &= 7.5\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 7.5\ \text{mm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{x_3} &= \frac{(3)\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \\ &= (3)(7.5\times10^{-3}\ \text{m}) \\ &= 2.25\times10^{-2}\ \text{m} \\ &= 22.5\ \text{mm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{x_3} &= \frac{(3)\lambda L}{2n_f d\cos\theta_t} \\ &= (3)(7.5\times10^{-3}\ \text{m}) \\ &= 2.25\times10^{-2}\ \text{m} \\ &= 22.5\ \text{mm} \end{align*} \]

On a wedge 50 mm long with a fringe spacing of 7.5 mm, there are dark fringes \(m\) = 0 to 6, 7 in total (50/7.5=6.67). Dark fringe \(m = 3\) is at \(x\) = 22.5 mm and the next bright fringe is at \(x\) = 26.25 mm. The starting position of P in Visualization A (\(x\) = 24.2 mm) lies between these two, so it is between bright and dark. If \(\theta_i\) is increased to 10°, \(\cos\theta_t\) = 0.98 and the fringe spacing on the wedge grows to 7.62 mm.

บนลิ่มยาว 50 mm ระยะห่างระหว่างริ้วคือ 7.5 mm จึงมี fringe มืด \(m\) = 0 ถึง 6 รวม 7 เส้น (50/7.5=6.67) fringe มืด \(m = 3\) อยู่ที่ \(x\) = 22.5 mm และ fringe สว่างถัดไปอยู่ที่ \(x\) = 26.25 mm ตำแหน่งเริ่มต้นของ P ใน visualization A (\(x\) = 24.2 mm) อยู่ระหว่างสองเส้นนี้ จึงอยู่ระหว่างสว่างกับมืด ถ้าเพิ่ม \(\theta_i\) เป็น 10° ค่า \(\cos\theta_t\) = 0.98 ระยะห่าง fringe บนลิ่มเพิ่มเป็น 7.62 mm

Oil slick on water in white light (Visualization B)คราบน้ำมันบนผิวน้ำกับ white light (visualization B)

White light from an extended source, such as the sky, falls on an oil layer of uneven thickness. Both the thickness and the angle of incidence, which differ from point to point, decide which wavelengths undergo constructive interference [1]. In Visualization B, oil (\(n_f\) = 1.45) lies on water (\(n_s\) = 1.33) with air (\(n_0\) = 1.00) above. Beam (1) is reflected from air to oil (external reflection) and beam (2) from oil to water (internal reflection), so \(\Delta_r = \lambda/2\). Substituting into the bright-fringe condition of Eq. (4) gives the reinforced wavelengths

white light จาก extended source เช่น ท้องฟ้า ตกกระทบชั้นน้ำมันที่หนาไม่สม่ำเสมอ ทั้งความหนาและมุมตกกระทบที่ต่างกันในแต่ละจุดกำหนดว่าความยาวคลื่นใดเกิด interference แบบเสริม [1] ใน visualization B น้ำมัน \(n_f\) = 1.45 อยู่บนน้ำ \(n_s\) = 1.33 ด้านบนเป็นอากาศ \(n_0\) = 1.00 ลำ (1) สะท้อนจากอากาศไปน้ำมัน (external reflection) ลำ (2) สะท้อนจากน้ำมันไปน้ำ (internal reflection) จึงได้ \(\Delta_r = \lambda/2\) แทนในเงื่อนไข fringe สว่างของสมการ (4) ได้ความยาวคลื่นที่เสริม

\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \frac{\lambda}{2}} &= m\lambda \\ \mathllap{\lambda_m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m - \tfrac{1}{2}}, \quad m = 1, 2, 3, \ldots \tag{8} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \frac{\lambda}{2}} &= m\lambda \\ \mathllap{\lambda_m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m - \tfrac{1}{2}}, \quad m = 1, 2, 3, \ldots \tag{8} \end{align*} \]

In Visualization B the lens is \(s\) = 25 mm above the film. Light from a point \(x\) on the film that passes through the centre of the lens makes an angle \(\theta_i\) with the normal, where \(\tan\theta_i = x/s\). The light reaching that point comes from the sky in exactly the direction that reflects into the lens (the arrows from the light source in Figure 2). Points farther from the centre therefore use larger angles; for example, at the starting position of P (\(x\) = −6 mm), \(\theta_i\) = 13.50° and \(\theta_t\) = 9.26° from Eq. (1). Even if the film had the same thickness everywhere, the colour would change slightly with position.

ใน visualization B เลนส์อยู่เหนือฟิล์ม \(s\) = 25 mm แสงจากจุด \(x\) บนฟิล์มที่ผ่านกลางเลนส์ทำมุม \(\theta_i\) กับเส้นปกติ โดย \(\tan\theta_i = x/s\) แสงที่ไปถึงจุดนั้นมาจากท้องฟ้าในทิศที่สะท้อนเข้าเลนส์พอดี (ลูกศรจาก light source ในรูปที่ 2) จุดที่อยู่ห่างจากกึ่งกลางมากขึ้นจึงใช้มุมมากขึ้น เช่น ที่ตำแหน่งเริ่มต้นของ P (\(x\) = −6 mm) \(\theta_i\) = 13.50° และ \(\theta_t\) = 9.26° ตามสมการ (1) แม้ฟิล์มจะหนาเท่ากันทุกจุด สีก็เปลี่ยนไปเล็กน้อยตามตำแหน่ง

Example: oil \(t\) = 112 nm thick at the centre of the film (\(\theta_t = 0^\circ\)). Calculate the optical path difference (\(\Delta_p\)) and the wavelengths of constructive interference of orders 1 and 2.

ตัวอย่าง: น้ำมันหนา \(t\) = 112 nm ที่กลางฟิล์ม (\(\theta_t = 0^\circ\)) คำนวณหา optical path difference (\(\Delta_p\)), ความยาวคลื่นที่เกิด interference แบบเสริมลำดับที่ 1 และ 2

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \\ &= (2)(1.45)(1.12\times10^{-7}\ \text{m})(\cos 0^\circ) \\ &= 3.248\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \\ &= (2)(1.45)(1.12\times10^{-7}\ \text{m})(\cos 0^\circ) \\ &= 3.248\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_1} &= \frac{3.248\times10^{-7}\ \text{m}}{1 - \tfrac{1}{2}} \\ &= 6.496\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 649.6\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_1} &= \frac{3.248\times10^{-7}\ \text{m}}{1 - \tfrac{1}{2}} \\ &= 6.496\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 649.6\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_2} &= \frac{3.248\times10^{-7}\ \text{m}}{2 - \tfrac{1}{2}} \\ &= 2.165\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 216.5\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_2} &= \frac{3.248\times10^{-7}\ \text{m}}{2 - \tfrac{1}{2}} \\ &= 2.165\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 216.5\ \text{nm} \end{align*} \]

In the visible range (380–780 nm) only 649.6 nm is reinforced, while 216.5 nm lies outside the range, so this region looks red, standing out from the other wavelengths. If the oil is 5 µm thick, as many as 19 wavelengths in the visible range are reinforced; colours of about equal strength add up to what we see as white. Looking over the whole oil slick, we therefore see white, rainbow colours, or no colour at all in some places.

ในช่วงที่มองเห็น (380–780 nm) มีเพียง 649.6 nm ที่เสริม ส่วน 216.5 nm อยู่นอกช่วง บริเวณนี้จึงเห็นเป็นสีแดงโดดเด่นกว่าความยาวคลื่นอื่น ถ้าน้ำมันหนาขึ้นเป็น 5 µm จะมีความยาวคลื่นที่เสริมในช่วงที่มองเห็นถึง 19 ค่า สีต่างๆ ที่มีขนาดเท่าๆ กันรวมกันจนเรามองเห็นเป็นสีขาว เมื่อมองทั้งบริเวณที่มีผิวน้ำมันจึงเห็นเป็นสีขาว สีรุ้ง หรือไม่เห็นสีเลยในบางตำแหน่ง

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(n_0\)(1)Refractive index of the medium above the filmดัชนีหักเหของตัวกลางด้านบนฟิล์ม–
\(n_f\)(1)–(8)Refractive index of the film (Visualization A: air 1.00, Visualization B: oil 1.45)ดัชนีหักเหของฟิล์ม (visualization A: อากาศ 1.00, visualization B: น้ำมัน 1.45)–
\(n_s\)–Refractive index of the medium below the film (decides \(\Delta_r\))ดัชนีหักเหของตัวกลางด้านล่างฟิล์ม (ใช้ตัดสิน \(\Delta_r\))–
\(\theta_i\)(1)Angle of incidence, measured from the normalมุมตกกระทบ วัดจากเส้นปกติrad
\(\theta_t\)(1), (2), (4), (6)–(8)Angle of the light in the film, measured from the normalมุมของแสงในฟิล์ม วัดจากเส้นปกติrad
\(t\)(2)–(5), (8)Film thickness at that positionความหนาของฟิล์มที่ตำแหน่งนั้นm
\(\Delta_p\)(2)Optical path difference of the two beams due to the pathoptical path difference ของแสงสองลำที่มาจากเส้นทางm
\(\Delta_r\)(3), (4)Path difference equivalent to the phase added on reflection (0 or \(\lambda/2\))ผลต่างระยะทางที่เทียบเท่ากับ phase ที่เพิ่มจากการสะท้อน (0 หรือ \(\lambda/2\))m
\(\lambda\)(3), (4), (6)–(8)Wavelength in vacuumความยาวคลื่นในสุญญากาศm
\(m\)(3), (4), (6), (8)Order: 0, 1, 2, …order: 0, 1, 2, …–
\(x\)(5)Distance from the edge where the slides touchระยะจากขอบที่แผ่นสไลด์แตะกันm
\(d\)(5)–(7)Spacer thickness (thickness of the air layer at the spacer)ความหนาของ spacer (ความหนาของชั้นอากาศที่ spacer)m
\(L\)(5)–(7)Distance from the edge where the slides touch to the spacerระยะจากขอบที่แผ่นสไลด์แตะกันถึง spacerm
\(x_m\)(6), (7)Position of the dark fringe of order \(m\)ตำแหน่งของ fringe มืด order \(m\)m
\(\Delta x\)(7)Spacing between two adjacent dark fringesระยะห่างระหว่าง fringe มืดสองเส้นที่อยู่ติดกันm
\(\lambda_m\)(8)Wavelength of constructive interference of order \(m\)ความยาวคลื่นที่เกิด interference แบบเสริมใน order \(m\)m

3How to use the visualizationsวิธีใช้ visualization

Visualization A: air wedgevisualization A: ลิ่มอากาศ

  • Constants: \(L\) = 50 mm, glass slides (refractive index 1.52), air film \(n_f = 1\), beam splitter fixed at 45°, wedge 3 focal lengths from the lens and screen 1.5 focal lengths from the lens
  • Adjustable values:
    \(\lambda\) = 400 to 700 nm (600 nm),
    \(\theta_i\) = 0 to 10° (0°),
    \(d\) = 2 to 10 µm (2 µm),
    position of P: \(x\) = 0 to 50 mm (24.2 mm)
  • On the screen: the band shows the brightness of each point and the curve above P is \(I/I_{max}\); the faint area from a point on the wedge (under P) to the lens and on to P is the light from that one point that the lens brings together
  • Upper-left frame “Image on the screen”: the image on the screen seen face-on; the image is inverted, so the edge \(t = 0\) is on the right; drag the lower-right corner of the frame to resize it
  • ค่าคงที่: \(L\) = 50 mm, แผ่นสไลด์เป็นแก้ว (ดัชนีหักเห 1.52), ฟิล์มเป็นอากาศ \(n_f = 1\), beam splitter เอียง 45° อยู่กับที่, ลิ่มห่างจากเลนส์ 3 เท่าของความยาวโฟกัส และ screen ห่างจากเลนส์ 1.5 เท่าของความยาวโฟกัส
  • ค่าที่ปรับได้:
    \(\lambda\) = 400 ถึง 700 nm (600 nm),
    \(\theta_i\) = 0 ถึง 10° (0°),
    \(d\) = 2 ถึง 10 µm (2 µm),
    ตำแหน่ง P: \(x\) = 0 ถึง 50 mm (24.2 mm)
  • บน screen: แถบคือความสว่างของแต่ละจุด เส้นเหนือตัว P คือ \(I/I_{max}\) ; บริเวณสีจางจากจุดบนลิ่ม (ใต้ P) ไปยังเลนส์แล้วรวมที่ P คือแสงจากจุดเดียวกันที่เลนส์รวมไว้
  • กรอบมุมบนซ้าย "ภาพบน screen": ภาพบน screen เมื่อมองตรง ภาพกลับด้านจึงเห็นขอบ \(t = 0\) อยู่ทางขวา ; ลากมุมล่างขวาของกรอบเพื่อปรับขนาด

Visualization B: oil slick on watervisualization B: คราบน้ำมันบนผิวน้ำ

  • Constants: \(n_0\) = 1.00, \(n_f\) = 1.45, \(n_s\) = 1.33, film 30 mm wide (\(x\) = −15 to 15 mm), lens \(s\) = 25 mm above the centre of the film (2 focal lengths) and screen 25 mm above the lens, white light 380–780 nm
  • Adjustable values:
    mean thickness = 0 to 5000 nm (300 nm),
    change of thickness (±) = 0 to 1000 nm (150 nm),
    position of P: \(x\) = −15 to 15 mm (−6 mm)
  • The “New film shape” button changes the surface shape of the oil slick; case-study buttons: Red (112 nm), Thick film (5000 nm), Very thin film (10 nm), each with the same thickness everywhere; the Reset button restores all starting values, including the starting film shape
  • ค่าคงที่: \(n_0\) = 1.00, \(n_f\) = 1.45, \(n_s\) = 1.33, ฟิล์มกว้าง 30 mm (\(x\) = −15 ถึง 15 mm), เลนส์อยู่เหนือกลางฟิล์มสูง \(s\) = 25 mm (2 เท่าของความยาวโฟกัส) และ screen อยู่เหนือเลนส์ 25 mm, white light 380–780 nm
  • ค่าที่ปรับได้:
    ความหนาเฉลี่ย = 0 ถึง 5000 nm (300 nm),
    ความหนาที่เปลี่ยนไป (±) = 0 ถึง 1000 nm (150 nm),
    ตำแหน่ง P: \(x\) = −15 ถึง 15 mm (−6 mm)
  • ปุ่ม "สุ่มรูปฟิล์มใหม่" เปลี่ยนรูปผิวของคราบน้ำมัน ; ปุ่มกรณีศึกษา: สีแดง (112 nm), ฟิล์มหนา (5000 nm), ฟิล์มบางมาก (10 nm) ทั้งสามกรณีหนาเท่ากันทุกจุด ; ปุ่มรีเซ็ตคืนค่าเริ่มต้นทั้งหมดรวมทั้งรูปผิวฟิล์มเริ่มต้น

Try the visualizations in this order:

ลองใช้งาน visualization ตามลำดับดังนี้

  1. In Visualization A, P starts between bright and dark. Drag P to the nearest dark fringe: what are \(x\) and the order? Then drag it to \(x = 0\): why is the edge where the slides touch dark? (See Eq. (4) with \(t = 0\).)
  2. Increase \(d\) from 2 µm to 10 µm: how do the size of the spacer, the fringe spacing and the number of dark fringes change?
  3. Increase \(\theta_i\) from 0° to 10°: which parts of Figure 1 turn and which stay in place, and how does \(\Delta x\) on the wedge change? Compare with Eq. (7).
  4. In Visualization B, press Red, then drag P from the centre of the film to the edge: how do the colour and \(\theta_i\) change?
  5. Press Thick film and then Very thin film: what is the colour at P, and how many wavelengths are reinforced?
  6. Press Reset, then drag P across points of different colours: how does \(t\) at P change?
  1. visualization A ตอนเริ่มต้น P อยู่ระหว่างสว่างกับมืด ลากจุด P ไปที่ fringe มืดที่ใกล้ที่สุด \(x\) เท่าไร order เท่าไร แล้วลากไปที่ \(x = 0\) ทำไมขอบที่แผ่นสไลด์แตะกันจึงมืด (ดูสมการ (4) เมื่อ \(t = 0\))
  2. เพิ่ม \(d\) จาก 2 µm เป็น 10 µm ขนาดของ spacer ระยะห่าง fringe และจำนวน fringe มืดเปลี่ยนอย่างไร
  3. เพิ่ม \(\theta_i\) จาก 0° เป็น 10° ส่วนใดในรูปที่ 1 หมุน ส่วนใดอยู่กับที่ และ \(\Delta x\) บนลิ่มเปลี่ยนอย่างไร เทียบกับสมการ (7)
  4. visualization B กดปุ่มสีแดง แล้วลาก P จากกลางฟิล์มไปที่ขอบ สีและ \(\theta_i\) เปลี่ยนอย่างไร
  5. กดปุ่มฟิล์มหนา และฟิล์มบางมาก สีที่ P เป็นอย่างไร มีความยาวคลื่นที่เสริมกี่ค่า
  6. รีเซ็ต แล้วลาก P ไปตามจุดที่สีต่างกัน \(t\) ที่ P เปลี่ยนอย่างไร

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: only the first two beams are used (top and bottom surfaces of the film), light reflected from the outer surfaces of the slides is not included, the lens is thin, and the brightness of each beam uses the normal-incidence reflection at every angle
  • Visualization A assumes that the light reaches every point of the wedge at the same angle \(\theta_i\), and allows \(\theta_i\) only from 0 to 10° because the beam splitter stays in place; Visualization B uses the angle of the light through the centre of the lens and ignores the lens blocking light from the sky
  • The film thickness, lens distances and sizes in the figures are not to scale; the values in Results are always calculated from the values set
  • ขอบเขต: ใช้แสงเพียงสองลำแรก (ผิวบนและผิวล่างของฟิล์ม) ไม่รวมแสงที่สะท้อนจากผิวนอกของแผ่นสไลด์, ใช้เลนส์บาง, ความสว่างของแต่ละลำใช้ค่าการสะท้อนของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากทุกมุม
  • visualization A ถือว่าแสงที่ตกกระทบทุกจุดของลิ่มมีมุม \(\theta_i\) เท่ากัน และให้ปรับ \(\theta_i\) ได้เพียง 0 ถึง 10° เพราะ beam splitter อยู่กับที่ ; visualization B ใช้มุมของแสงที่ผ่านกลางเลนส์ และไม่คิดว่าเลนส์บังแสงจากท้องฟ้า
  • ความหนาของฟิล์ม ระยะเลนส์ และขนาดในรูปไม่ได้สเกลจริง ค่าใน Results คำนวณจากค่าที่ตั้งจริงเสมอ
Fringes of Equal Thickness — interactive visualization Fringes of equal thickness — interactive visualization
A Air wedge (monochromatic light)ลิ่มอากาศ (แสง monochromatic)
Figure 1 — Fringes of an air wedge imaged on a screen (adapted from [1], Fig. 15) รูปที่ 1 — fringe ของลิ่มอากาศที่เลนส์สร้างภาพบน screen (ดัดแปลงจาก [1], Fig. 15)

Moving point P: drag along the screen, or click the image in the upper-left frame; drag the lower-right corner of the frame to resize it.การควบคุมจุด P: ลากไปตาม screen หรือคลิกที่ภาพในกรอบมุมบนซ้าย ; ลากมุมล่างขวาของกรอบเพื่อปรับขนาด

Faint shaded area: the light from one point of the wedge (under P) that the lens brings together at P.พื้นสีจาง: แสงจากจุดเดียวบนลิ่ม (ใต้ P) ที่เลนส์รวมไปที่ P

Not to scale: the wedge thickness and the distances are drawn for viewing; Results use the values set.ไม่ได้สเกลจริง: ความหนาลิ่มและระยะต่างๆ วาดเพื่อให้ดูง่าย ผลลัพธ์ใช้ค่าที่ตั้งจริง

Results (at P)ผลลัพธ์ (ที่จุด P)

Between bright and darkอยู่ระหว่างสว่างกับมืด
x (mm)x (mm) 24.20
t, Eq. (5) (nm)t สมการ (5) (nm) 968.0
Δp, Eq. (2) (nm)Δp สมการ (2) (nm) 1936.0
I/Imax 0.427
Fringe spacing Δx, Eq. (7) (mm)ระยะห่าง fringe Δx สมการ (7) (mm) 7.5000
Dark fringes on the wedgeจำนวน fringe มืดบนลิ่ม 7
B Oil slick on water (white light)คราบน้ำมันบนผิวน้ำ (white light)

Case studiesกรณีศึกษา

Figure 2 — Colours of an oil slick imaged on a screen (adapted from [1], Fig. 16) รูปที่ 2 — สีของคราบน้ำมันที่เลนส์สร้างภาพบน screen (ดัดแปลงจาก [1], Fig. 16)

Moving point P: drag along the screen, or click the image in the upper-right frame; drag the lower-right corner of the frame down to enlarge it.การควบคุมจุด P: ลากไปตาม screen หรือคลิกที่ภาพบน screen ในกรอบมุมบนขวา ; ลากมุมล่างขวาของกรอบลงเพื่อขยายกรอบ

Not to scale: the film thickness is drawn larger; Results use the values set.ไม่ได้สเกลจริง: ความหนาฟิล์มวาดใหญ่ขึ้น ผลลัพธ์ใช้ค่าที่ตั้งจริง

Results (at P)ผลลัพธ์ (ที่จุด P)

x (mm)x (mm) −6.0
t (nm)t (nm) 280.8
θi (°)θi (°) 13.50
θt, Eq. (1) (°)θt สมการ (1) (°) 9.26
Δp, Eq. (2) (nm)Δp สมการ (2) (nm) 803.7
Reinforced λ, Eq. (8)λ ที่เสริม สมการ (8) 535.8 nm (m = 2)
Colour at Pสีที่ P

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 178–181.