Interference in Dielectric Films Interference in dielectric films

Last updated แก้ไขล่าสุด

Why does light reflected from a thin film look bright, dark or colored, and how do the optical path difference and the phase added on reflection cause this? ทำไมแสงที่สะท้อนจากฟิล์มบางจึงสว่าง มืด หรือเป็นสี และ optical path difference กับ phase ที่เพิ่มขึ้นส่งผลอย่างไร

1Introductionบทนำ

A dielectric is a material that does not conduct electricity, such as glass, water, plastic and oil. When one of these materials is coated as a very thin layer on another material, the thin layer is called a dielectric film. Such films are transparent; examples are soap films, oil slicks on water, oxide layers on metal surfaces and the lens coating known as an antireflection coating.

วัสดุที่เป็น dielectric คือวัสดุที่ไม่นำไฟฟ้า เช่น แก้ว น้ำ พลาสติก และน้ำมัน เมื่อวัสดุเหล่านี้นำไปเคลือบเป็นชั้นบางมากบนวัสดุอีกชนิดหนึ่ง เราเรียกชั้นบางๆ นี้ว่า dielectric film ซึ่งฟิล์มแบบนี้มีลักษณะโปร่งใส ตัวอย่างเช่น ฟิล์มสบู่ คราบน้ำมันบนผิวน้ำ ชั้นออกไซด์บนผิวโลหะ และชั้นเคลือบบนเลนส์ที่เรียกว่า antireflection coating

When light strikes the top surface of the film (point A in the dielectric film visualization), part of it is reflected (leaving as beam (1)) and the rest is refracted into the film, strikes the bottom surface (point B) and is reflected back up and out of the film (leaving at point C as beam (2)); the two beams are parallel. If a lens is placed to focus both beams on a screen (point P on the screen), and the film is thin enough that the path difference between the two beams is shorter than the coherence length of the light source (coherence length is explained on the Two-Beam Interference page), the two beams interfere [1] and a fringe is seen on the screen at P, as in Young’s double-slit experiment. The difference is that a double slit splits the light by passing it through two openings, whereas a thin film splits it by reflection and refraction.

เมื่อแสงตกกระทบผิวบนของฟิล์ม (จุด A ในรูป visualization dielectric film) แสงส่วนหนึ่งสะท้อน (ออกไปเป็นลำ (1)) อีกส่วนหนึ่งหักเหเข้าไปในฟิล์มไปตกกระทบผิวล่าง (จุด B) แล้วสะท้อนกลับขึ้นมาออกจากฟิล์ม (จุด C ออกไปเป็นลำ (2)) ซึ่งลำแสงทั้งสองขนานกัน ถ้านำเลนส์ไปวางเพื่อรวมแสงทั้งสองลำเพื่อโฟกัสบน screen (จุด P บน screen) ถ้าฟิล์มบางพอที่ผลต่างระยะทางของสองลำน้อยกว่า coherence length ของ light source (ความหมายของ coherence length อธิบายไว้ในหน้า Two-Beam Interference) แสงทั้งสองลำจะเกิด interference [1] และเห็นเป็น fringe บน screen ที่ตำแหน่ง P เหมือนการทดลอง Young’s Double-Slit แต่ต่างกันที่ double slit แบ่งแสงด้วยการให้แสงผ่านสองช่อง ส่วนฟิล์มบางแบ่งแสงด้วยการสะท้อนและการหักเห

The interactive visualization on this page shows a 2-D view of the light paths from the light source that strike the dielectric film and interfere, and the fringes formed on the screen at P. It also shows the case of a light source with many wavelengths (white light) by displaying the spectrum of the light at P; this spectrum can be used to analyze the film thickness.

interactive visualization ในหน้านี้แสดงภาพ 2 มิติของทางเดินแสงจาก light source ที่ตกกระทบ dielectric film แล้วเกิด interference และแสดง fringe ที่เกิดขึ้นบน screen ที่ตำแหน่ง P นอกจากนี้ยังแสดงกรณีที่ light source มีหลายความยาวคลื่น (white light) โดยแสดง spectrum ของแสงที่จุด P ซึ่ง spectrum ที่ได้สามารถนำไปวิเคราะห์ความหนาของฟิล์มได้

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Refraction and Snell’s lawการหักเหและกฎของ Snell

The refractive index (\(n\)) of a medium tells how many times slower light travels in that medium than in vacuum. When light passes from one medium into another with a different refractive index, it is refracted according to Snell’s law.

ดัชนีหักเห (\(n\)) ของตัวกลางบอกว่าแสงเดินทางในตัวกลางนั้นช้ากว่าในสุญญากาศกี่เท่า เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางหนึ่งเข้าไปในอีกตัวกลางหนึ่งที่มีดัชนีหักเหต่างกัน แสงจะหักเหตามกฎของ Snell

\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \tag{1} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \tag{1} \end{align*} \]

where \(\theta_i\) is the angle of incidence, \(\theta_t\) is the angle of the light refracted into the film, \(n_0\) is the refractive index of the medium above, and \(n_f\) is the refractive index of the film. If \(n_f\) is greater than \(n_0\), the light in the film bends toward the normal (\(\theta_t < \theta_i\)).

เมื่อ \(\theta_i\) คือมุมตกกระทบ \(\theta_t\) คือมุมของแสงที่หักเหเข้าไปในฟิล์ม \(n_0\) คือดัชนีหักเหของตัวกลางด้านบน และ \(n_f\) คือดัชนีหักเหของฟิล์ม ถ้า \(n_f\) มากกว่า \(n_0\) แสงในฟิล์มจะเบนเข้าหาเส้นปกติ (\(\theta_t < \theta_i\))

Optical path difference of the two beamsoptical path difference ของแสงสองลำ

Consider light that passes from air into the film and travels more slowly in the film than in the medium above. Comparing the path of the light reflected from the top surface of the film (beam (1)) with that of the light refracted and then reflected from the bottom surface (beam (2)), the difference between the optical paths of the two beams is called the optical path difference (\(\Delta\)).

กรณีที่แสงเดินทางจากอากาศเข้าไปในฟิล์ม และแสงเดินทางในฟิล์มช้ากว่าในตัวกลางด้านบน เมื่อเทียบระยะทางของแสงที่สะท้อนที่ผิวบนของฟิล์ม (ลำ (1)) กับแสงที่หักเหแล้วสะท้อนจากผิวล่างของฟิล์ม (ลำ (2)) เรียกผลต่างของ optical path ของแสงสองลำว่า optical path difference (\(\Delta\))

Label the points as in Figure 1 (press the button below to see Figure 1 with the values for finding \(\Delta\)). Draw a line from C perpendicular to beam (1), meeting it at point Q. After line CQ the two beams travel in parallel to the lens, and the lens brings parallel beams to the same point, so the path difference arises only before line CQ: beam (1) travels A → Q in the medium above, while beam (2) travels A → B → C in the film.

กำหนดตำแหน่งดังรูปที่ 1 (กดปุ่มด้านล่างเพื่อดูรูปที่ 1 พร้อมค่าสำหรับหา \(\Delta\)) เมื่อลากเส้นจาก C ไปตั้งฉากกับลำ (1) ที่จุด Q หลังจากเส้น CQ ลำทั้งสองเดินทางขนานกันไปถึงเลนส์ และเลนส์รวมลำแสงขนานไปที่จุดเดียวกัน ผลต่างระยะทางเกิดเฉพาะการเดินทางของแสงก่อนเส้น CQ โดยที่ลำ (1) เดินทางจาก A → Q ในตัวกลางด้านบน ในขณะที่ลำ (2) เดินทาง A → B → C ในฟิล์ม

Let the film thickness be \(t\) and let the light refracted in the film make an angle \(\theta_t\) with the normal. Considering the angle \(\theta_t\) gives

กำหนดให้ฟิล์มหนา \(t\) และแสงหักเหในฟิล์มทำมุม \(\theta_t\) กับเส้นปกติ เมื่อพิจารณาที่มุม \(\theta_t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\cos\theta_t} &= \frac{t}{AB} \\ \mathllap{AB} &= \frac{t}{\cos\theta_t} \\ \mathllap{AB = BC} &= \frac{t}{\cos\theta_t} \tag{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\cos\theta_t} &= \frac{t}{AB} \\ \mathllap{AB} &= \frac{t}{\cos\theta_t} \\ \mathllap{AB = BC} &= \frac{t}{\cos\theta_t} \tag{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\tan\theta_t} &= \frac{AC/2}{t} \\ \mathllap{AC} &= 2t\tan\theta_t \tag{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\tan\theta_t} &= \frac{AC/2}{t} \\ \mathllap{AC} &= 2t\tan\theta_t \tag{3} \end{align*} \]

Angle ACQ equals \(\theta_i\). From the right triangle AQC,

มุม ACQ เท่ากับ \(\theta_i\) จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AQC จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\sin\theta_i} &= \frac{AQ}{AC} \\ \mathllap{AQ} &= AC\sin\theta_i \\ \mathllap{AQ} &= 2t\tan\theta_t\sin\theta_i \tag{4} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\sin\theta_i} &= \frac{AQ}{AC} \\ \mathllap{AQ} &= AC\sin\theta_i \\ \mathllap{AQ} &= 2t\tan\theta_t\sin\theta_i \tag{4} \end{align*} \]

The optical path length (OPL) of each beam equals the refractive index of the medium times the distance the light travels in that medium:

optical path length (OPL) ของแต่ละลำเท่ากับดัชนีหักเหของตัวกลางคูณระยะทางที่แสงเดินทางในตัวกลางนั้น เขียนสมการได้เป็น

\[ \begin{align*} \mathllap{\text{OPL}_{ABC}} &= n_f(AB + BC) \\ \mathllap{\text{OPL}_{AQ}} &= n_0(AQ) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\text{OPL}_{ABC}} &= n_f(AB + BC) \\ \mathllap{\text{OPL}_{AQ}} &= n_0(AQ) \end{align*} \]

The optical path difference between \({\text{OPL}_{ABC}}\) and \({\text{OPL}_{AQ}}\) is

optical path difference ของ \({\text{OPL}_{ABC}}\) กับ \({\text{OPL}_{AQ}}\) เป็น

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \text{OPL}_{ABC} - \text{OPL}_{AQ} \\ \mathllap{\Delta} &= n_f(AB + BC) - n_0(AQ) \tag{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \text{OPL}_{ABC} - \text{OPL}_{AQ} \\ \mathllap{\Delta} &= n_f(AB + BC) - n_0(AQ) \tag{5} \end{align*} \]

Substituting Eqs. (1)–(4) into Eq. (5) gives

แทนค่าสมการ (1)–(4) ลงในสมการ (5) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= n_f\left(\frac{t}{\cos\theta_t} + \frac{t}{\cos\theta_t}\right) - n_0\left(2t\tan\theta_t\sin\theta_i\right) \\ &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t} - 2t\tan\theta_t\,(n_0\sin\theta_i) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= n_f\left(\frac{t}{\cos\theta_t} + \frac{t}{\cos\theta_t}\right) - n_0\left(2t\tan\theta_t\sin\theta_i\right) \\ &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t} - 2t\tan\theta_t\,(n_0\sin\theta_i) \end{align*} \]

From Snell’s law, substituting \(n_0\sin\theta_i = n_f\sin\theta_t\) gives

จากกฎของ Snell แทน \(n_0\sin\theta_i = n_f\sin\theta_t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t} - 2t\,\frac{\sin\theta_t}{\cos\theta_t}\,(n_f\sin\theta_t) \\ &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t}\left(1 - \sin^2\theta_t\right) \tag{6} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t} - 2t\,\frac{\sin\theta_t}{\cos\theta_t}\,(n_f\sin\theta_t) \\ &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t}\left(1 - \sin^2\theta_t\right) \tag{6} \end{align*} \]

Since \(\sin^2\theta_t + \cos^2\theta_t = 1\), substituting \(\cos^2\theta_t = 1 - \sin^2\theta_t\) into Eq. (6) gives

จาก \(\sin^2\theta_t + \cos^2\theta_t = 1\) แทนค่า \(\cos^2\theta_t = 1 - \sin^2\theta_t\) ลงในสมการ (6) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t}\cos^2\theta_t \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= \frac{2n_f t}{\cos\theta_t}\cos^2\theta_t \end{align*} \]

So the optical path difference of the two beams is [1]

ดังนั้น optical path difference ของแสงสองลำคือ [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= 2n_f t\cos\theta_t \tag{7} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta} &= 2n_f t\cos\theta_t \tag{7} \end{align*} \]

This page calls \(\Delta\) from Eq. (7) \(\Delta_p\) (the optical path difference due to the path).
At normal incidence (\(\theta_i = \theta_t = 0\)), \(\Delta_p = 2n_f t\).

หน้านี้เรียก \(\Delta\) จากสมการ (7) ว่า \(\Delta_p\) (optical path difference ที่มาจากเส้นทาง)
ในกรณีที่แสงตกกระทบตั้งฉาก (\(\theta_i = \theta_t = 0\)) จะได้ \(\Delta_p = 2n_f t\)

Phase shift on reflectionphase ที่เพิ่มจากการสะท้อน

Besides the change in path when light reflects in the film, reflection at the top and bottom surfaces of the film can also change the phase of the light. When light reflects at an interface while traveling from a medium of lower refractive index toward one of higher refractive index, the reflected light gains a phase of \(\pi\); when it travels from higher toward lower refractive index, the reflected light gains no phase [1]. Beam (1) reflects at A (from \(n_0\) toward \(n_f\)) and gains \(\pi\) because \(n_0\) is always smaller than \(n_f\), while beam (2) reflects at B (from \(n_f\) toward \(n_s\), where \(n_s\) is the refractive index of the substrate), and its phase changes as follows:

นอกจากเส้นทางการเดินของแสงเปลี่ยนไปเมื่อสะท้อนในผิวฟิล์มแล้ว การสะท้อนที่ผิวบนและผิวล่างของฟิล์มก็ทำให้ phase ของแสงเปลี่ยนได้เช่นกัน เมื่อแสงสะท้อนที่ผิวรอยต่อโดยเดินทางจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำไปหาตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูง แสงสะท้อนจะมี phase เพิ่ม \(\pi\) และเมื่อแสงเดินทางจากดัชนีหักเหสูงไปหาดัชนีหักเหต่ำ แสงสะท้อนไม่มี phase เพิ่ม [1] แสงลำ (1) สะท้อนที่ A (จาก \(n_0\) ไปหา \(n_f\)) ทำให้ phase เพิ่ม \(\pi\) เพราะ \(n_0\) น้อยกว่า \(n_f\) เสมอ ส่วนแสงลำ (2) สะท้อนที่ B (จาก \(n_f\) ไปหา \(n_s\) เมื่อ \(n_s\) คือดัชนีหักเหของ substrate) phase จะเปลี่ยนดังนี้

  • Case 1: \(n_0 < n_f > n_s\): the phase gains \(\pi\) at the top surface and stays the same at the bottom surface, so the phase difference due to reflection is \(\pi\), which is equivalent to an extra path difference of half a wavelength. This path difference due to the phase is written \(\Delta_r = \lambda/2\) [1]
  • Case 2: \(n_0 < n_f < n_s\) (the phase gains \(\pi\) at both surfaces) or \(n_0 > n_f > n_s\) (the phase is unchanged at both surfaces), so the phase difference due to reflection is 0 and \(\Delta_r = 0\) [1]
  • กรณีที่ 1: \(n_0 < n_f > n_s\) ที่ผิวบน phase เพิ่ม \(\pi\) ส่วนผิวล่าง phase เท่าเดิม ดังนั้นผลต่าง phase ที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากับ \(\pi\) ซึ่งเทียบเท่ากับผลต่างระยะทางเพิ่มขึ้นครึ่งความยาวคลื่น แทนผลต่างระยะทางที่เกิดจาก phase นี้ด้วย \(\Delta_r = \lambda/2\) [1]
  • กรณีที่ 2: \(n_0 < n_f < n_s\) ที่ผิวบนและล่าง phase เพิ่ม \(\pi\) หรือ \(n_0 > n_f > n_s\) ที่ผิวบนและล่าง phase คงเดิม ดังนั้นผลต่าง phase ที่เกิดจากการสะท้อนเป็น 0 จึงได้ \(\Delta_r = 0\) [1]

Conditions for constructive and destructive interferenceเงื่อนไขการเกิด constructive interference และ destructive interference

Adding the optical path difference due to the path (\(\Delta_p\)) and the equivalent difference due to reflection (\(\Delta_r\)) gives the conditions for constructive and destructive interference at P [1]:

เมื่อรวม optical path difference จากเส้นทาง (\(\Delta_p\)) กับผลต่างที่เทียบเท่าจากการสะท้อน (\(\Delta_r\)) จะได้เงื่อนไขของ interference แบบเสริม (constructive interference) และ interference แบบหักล้าง (destructive interference) ที่จุด P ดังนี้ [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(constructive interference)} \tag{8} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \quad \text{(constructive interference)} \tag{8} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(destructive interference)} \tag{9} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad \text{(destructive interference)} \tag{9} \end{align*} \]

where \(m = 0, 1, 2, \ldots\) is the order and \(\lambda\) is the wavelength in vacuum. The phase difference (\(\delta\)) of the two beams at P is the path difference divided by the wavelength and multiplied by \(2\pi\), as on the Two-Beam Interference page:

เมื่อ \(m = 0, 1, 2, \ldots\) คือ order (m) และ \(\lambda\) คือความยาวคลื่นในสุญญากาศ ผลต่าง phase (\(\delta\)) ของแสงสองลำที่จุด P หาได้จากผลต่างระยะทางหารด้วยความยาวคลื่นแล้วคูณ \(2\pi\) แบบเดียวกับในหน้า Two-Beam Interference เขียนสมการได้เป็น

\[ \begin{align*} \mathllap{\delta} &= \frac{2\pi}{\lambda}\left(\Delta_p + \Delta_r\right) \tag{10} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\delta} &= \frac{2\pi}{\lambda}\left(\Delta_p + \Delta_r\right) \tag{10} \end{align*} \]

The brightness of each beam depends on the fraction of light reflected at surfaces A and B. This visualization computes that fraction from the reflection coefficient \(r = (1 - n)/(1 + n)\), where \(n\) is the refractive index of the medium the light strikes divided by the refractive index of the medium the light is in. When \(n_f = n_s\), \(n = 1\); substituting this into the reflection coefficient gives \(r = 0\). So when \(n_f = n_s\) there is no reflecting surface at B and no beam (2).

ความสว่างของแต่ละลำขึ้นกับสัดส่วนของแสงที่สะท้อนที่ผิว A และผิว B ซึ่ง visualization นี้คิดสัดส่วนของแสงที่สะท้อนจาก reflection coefficient \(r = (1 - n)/(1 + n)\) เมื่อ \(n\) คือดัชนีหักเหของตัวกลางที่แสงไปกระทบหารด้วยดัชนีหักเหของตัวกลางที่แสงอยู่ ในกรณีที่ \(n_f = n_s\) จะมีค่า \(n = 1\) เมื่อแทนค่านี้ในสมการ reflection coefficient จะได้ \(r = 0\) ดังนั้นกรณีที่ \(n_f = n_s\) จึงไม่มีผิวสะท้อนที่ B และไม่มีแสงลำ (2)

Fringes on the screenfringe บน screen

If light strikes the film at only one angle, the lens brings it to a single point on the screen. A real light source, however, has a size, and each point on it sends light to the film at many angles. Of the light from these different points, only pairs of beams from the same point interfere [1]. Because the lens brings parallel beams to the same point on the screen, each point on the screen receives light that struck the film at the same angle and therefore has the same condition for being bright or dark. Fringes like these are called fringes of equal inclination [1].

ถ้าแสงตกกระทบฟิล์มเพียงมุมเดียว เลนส์จะรวมแสงไปที่จุดเดียวบน screen แต่ light source จริงมีขนาด และแต่ละจุดบน light source ส่งแสงมาที่ฟิล์มหลายมุม แสงจากจุดที่ต่างกันนี้มีเพียงลำแสงคู่ที่มาจากจุดเดียวกันเท่านั้นที่เกิด interference [1] เมื่อใช้เลนส์รวมลำแสงที่ขนานกันไปที่จุดเดียวกันบน screen ทุกจุดบน screen จึงรับแสงที่ตกกระทบฟิล์มด้วยมุมเดียวกัน และมีเงื่อนไขการเกิดตำแหน่งสว่างหรือมืดเดียวกัน เรียก fringe แบบนี้ว่า fringes of equal inclination [1]

In the visualization, the beams incident at \(\theta_i\) meet at P = 0 (the focus of the lens). The beams that meet at position \(y\) on the screen struck the film at angle \(\theta\), which is found from the distance \(f\) between the lens and the screen:

ใน visualization ลำที่ตกกระทบด้วยมุม \(\theta_i\) ไปรวมที่ P = 0 (จุดที่เลนส์ focus) ลำที่ไปรวมที่ตำแหน่ง \(y\) บน screen ตกกระทบฟิล์มด้วยมุม \(\theta\) ซึ่งหาได้จากระยะ \(f\) ระหว่างเลนส์กับ screen

\[ \begin{align*} \mathllap{\tan(\theta - \theta_i)} &= \frac{y}{f} \tag{11} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\tan(\theta - \theta_i)} &= \frac{y}{f} \tag{11} \end{align*} \]

Moving P away from 0 changes the angle \(\theta\), which changes \(\theta_t\) and \(\Delta_p\) in Eq. (7), so the fringes on the screen are alternating bright and dark bands (for a light source with a single wavelength).

เมื่อเลื่อน P ออกจากจุด 0 มุม \(\theta\) เปลี่ยน ทำให้ \(\theta_t\) และ \(\Delta_p\) ในสมการ (7) เปลี่ยน fringe บน screen จึงเป็นแถบสว่างสลับมืด (light source มีความยาวคลื่นเดียว)

Dark spectrum with white lightdark spectrum เมื่อใช้ white light

White light contains every wavelength from 380–780 nm. At P, \(\Delta_p\) is the same for all wavelengths, but the wavelengths that satisfy Eq. (9) are dark, so a spectrometer measuring the light at P shows dark lines in the spectrum (a dark spectrum). Rearranging Eq. (9) for \(\lambda\):

white light มีทุกความยาวคลื่นในช่วง 380–780 nm ที่จุด P ค่า \(\Delta_p\) เท่ากันทุกความยาวคลื่น แต่ความยาวคลื่นที่เข้าเงื่อนไขสมการ (9) จะมืด เมื่อวัดแสงที่ P ด้วย spectrometer จึงเห็นเส้นมืดใน spectrum (dark spectrum) จัดรูปสมการ (9) หา \(\lambda\) ได้ดังนี้

Case 1: \(\Delta_r = \lambda/2\), from Eq. (9)

กรณี 1: \(\Delta_r = \lambda/2\) จากสมการ (9)

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \tfrac{\lambda}{2}} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{\Delta_p + \tfrac{\lambda}{2}} &= \lambda m + \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{\Delta_p} &= \lambda m + \tfrac{\lambda}{2} - \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{\Delta_p} &= \lambda m \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \tfrac{\lambda}{2}} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{\Delta_p + \tfrac{\lambda}{2}} &= \lambda m + \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{\Delta_p} &= \lambda m + \tfrac{\lambda}{2} - \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{\Delta_p} &= \lambda m \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m} \end{align*} \]

Using \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) gives

จาก \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m}, \quad m = 1, 2, \ldots \tag{12} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m}, \quad m = 1, 2, \ldots \tag{12} \end{align*} \]

Case 2: \(\Delta_r = 0\), from Eq. (9)

กรณี 2: \(\Delta_r = 0\) จากสมการ (9)

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + 0} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m + \tfrac{1}{2}} \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m + \tfrac{1}{2}}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{13} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + 0} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m + \tfrac{1}{2}} \\ \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m + \tfrac{1}{2}}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{13} \end{align*} \]

Equations (12) and (13), for \(\Delta_r = \lambda/2\) and \(\Delta_r = 0\), show that \(\lambda\) decreases as \(m\) increases in both cases, so \(\lambda_m > \lambda_{m+1}\). Consider the spacing between dark lines (\(\lambda_m - \lambda_{m+1}\)):

สมการ (12) และ (13) กรณีที่ \(\Delta_r = \lambda/2\) และ \(\Delta_r = 0\) จะเห็นว่าเมื่อ \(m\) มากขึ้น \(\lambda\) ลดลงทั้ง 2 กรณี ดังนั้น \(\lambda_m > \lambda_{m+1}\) เมื่อพิจารณาระยะห่างระหว่าง dark line (\(\lambda_m - \lambda_{m+1}\))

Case 1: \(\Delta_r = \lambda/2\)

กรณี 1: \(\Delta_r = \lambda/2\)

\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_m - \lambda_{m+1}} &= \frac{\Delta_p}{m} - \frac{\Delta_p}{m + 1} \\ &= \frac{\Delta_p(m + 1) - \Delta_p m}{m(m + 1)} \\ &= \frac{\Delta_p(m + 1 - m)}{m(m + 1)} \\ \mathllap{\Delta\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m(m + 1)} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_m - \lambda_{m+1}} &= \frac{\Delta_p}{m} - \frac{\Delta_p}{m + 1} \\ &= \frac{\Delta_p(m + 1) - \Delta_p m}{m(m + 1)} \\ &= \frac{\Delta_p(m + 1 - m)}{m(m + 1)} \\ \mathllap{\Delta\lambda} &= \frac{\Delta_p}{m(m + 1)} \end{align*} \]

Using \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) gives

จาก \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m(m + 1)} \tag{14} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m(m + 1)} \tag{14} \end{align*} \]

For \(\theta_t = 0^\circ\) and a film with \(n_f = 1.5\) in air, \(\Delta\lambda\) is calculated as follows:

ในกรณีที่ \(\theta_t = 0^\circ\) ฟิล์ม \(n_f = 1.5\) อยู่ในอากาศ คำนวณ \(\Delta\lambda\) ได้ดังต่อไปนี้

For \(t\) = 0.1 µm

เมื่อ \(t\) = 0.1 µm

\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{1}} &= \frac{(2)(1.5)(0.1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{1} \\ &= 0.3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{1}} &= \frac{(2)(1.5)(0.1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{1} \\ &= 0.3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{2}} &= \frac{(2)(1.5)(0.1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{2} \\ &= 0.15\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{2}} &= \frac{(2)(1.5)(0.1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{2} \\ &= 0.15\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{1,2}} &= \lambda_{1} - \lambda_{2} \\ &= 0.3\ \text{µm} - 0.15\ \text{µm} \\ &= \boxed{0.15\ \text{µm}} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{1,2}} &= \lambda_{1} - \lambda_{2} \\ &= 0.3\ \text{µm} - 0.15\ \text{µm} \\ &= \boxed{0.15\ \text{µm}} \end{align*} \]

For \(t\) = 1 µm

เมื่อ \(t\) = 1 µm

\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{1}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{1} \\ &= 3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{1}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{1} \\ &= 3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{2}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{2} \\ &= 1.5\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{2}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{2} \\ &= 1.5\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{1,2}} &= \lambda_{1} - \lambda_{2} \\ &= 3\ \text{µm} - 1.5\ \text{µm} \\ &= \boxed{1.5\ \text{µm}} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{1,2}} &= \lambda_{1} - \lambda_{2} \\ &= 3\ \text{µm} - 1.5\ \text{µm} \\ &= \boxed{1.5\ \text{µm}} \end{align*} \]

For \(t\) = 1 µm (m = 10, 11)

เมื่อ \(t\) = 1 µm (m = 10, 11)

\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{10}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{10} \\ &= 0.3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{10}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{10} \\ &= 0.3\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{11}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{11} \\ &\approx 0.27\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_{11}} &= \frac{(2)(1.5)(1\ \text{µm})(\cos 0^\circ)}{11} \\ &\approx 0.27\ \text{µm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{10,11}} &= \lambda_{10} - \lambda_{11} \\ &= 0.3\ \text{µm} - 0.27\ \text{µm} \\ &= \boxed{0.03\ \text{µm}} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta\lambda_{10,11}} &= \lambda_{10} - \lambda_{11} \\ &= 0.3\ \text{µm} - 0.27\ \text{µm} \\ &= \boxed{0.03\ \text{µm}} \end{align*} \]

The calculation of \(\Delta\lambda\) shows that a 0.1 µm film has its first dark line (m = 1) at 300 nm and the next one (m = 2) at 150 nm, so \(\Delta\lambda\) is 150 nm. When the film is 1.0 µm thick, the first dark line (m = 1) is at 3000 nm and the next one (m = 2) at 1500 nm, so \(\Delta\lambda\) is 1500 nm. As the film gets thicker, \(\Delta\lambda\) grows for the same order but shrinks for dark lines at similar wavelengths, so the dark lines move closer together as the film gets thicker.

If the spacing between dark lines or bright lines can be measured, the film thickness can be calculated from the destructive or constructive interference condition. This section rearranges the equations for the thickness, starting from the destructive condition.

ตัวอย่างการคำนวณ \(\Delta\lambda\) จะเห็นว่าที่ฟิล์มหนา 0.1 µm มี dark line เส้นแรก (m = 1) ที่ 300 nm และเส้นถัดไป (m = 2) ที่ 150 nm มี \(\Delta\lambda\) เป็น 150 nm เมื่อฟิล์มหนาขึ้นเป็น 1.0 µm มี dark line เส้นแรก (m = 1) ที่ 3000 nm และเส้นถัดไป (m = 2) ที่ 1500 nm มี \(\Delta\lambda\) เป็น 1500 nm จะเห็นว่าเมื่อฟิล์มหนาขึ้น \(\Delta\lambda\) มากขึ้นที่ order เดียวกัน แต่ \(\Delta\lambda\) น้อยลงที่ความยาวคลื่นใกล้เคียงกัน จึงสรุปได้ว่า dark line จะชิดกันมากขึ้นเมื่อฟิล์มหนาขึ้น

เมื่อเราสามารถวัดระยะห่างระหว่าง dark line หรือ bright line ได้ เราสามารถคำนวณหาค่าความหนาฟิล์มได้ โดยใช้สมการ destructive หรือ constructive interference ซึ่งในหัวข้อนี้จะจัดรูปสมการคำนวณความหนาโดยเริ่มจากสมการ destructive

From Eq. (9), case 1 with \(\Delta_r = \lambda/2\), and substituting \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\):

จากสมการ (9) กรณี 1 \(\Delta_r = \lambda/2\) และแทน \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \cancel{\tfrac{\lambda}{2}}} &= m\lambda + \cancel{\tfrac{\lambda}{2}} \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \cancel{\tfrac{\lambda}{2}}} &= m\lambda + \cancel{\tfrac{\lambda}{2}} \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t} &= m\lambda \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \end{align*} \]

Setting \(\lambda_m = \lambda_1\), the dark line of order \(m\), gives

แทน \(\lambda_m = \lambda_1\) ซึ่งเป็น dark line order \(m\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \end{align*} \]

and setting \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\), the dark line of order \(m + n\) (\(n\) orders beyond \(\lambda_1\)), gives

และแทน \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) ซึ่งเป็น dark line order \(m + n\) (ถัดจาก \(\lambda_1\) ไป \(n\) order) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} \end{align*} \]

Writing the difference in order between these two dark lines as \(\Delta m\) and solving for \(t\):

แทนผลต่าง order ของ dark line สองเส้นนี้ด้วย \(\Delta m\) แล้วจัดรูปหา \(t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \tag{15} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \tag{15} \end{align*} \]

The equation for \(t\) still contains \(\theta_t\), the angle inside the film, which cannot be measured directly, so it is replaced by the angle of incidence \(\theta_i\) using Snell’s law (Eq. (1)), taking the film to be in air (\(n_0 = 1\)):

สมการของ \(t\) ยังมี \(\theta_t\) ซึ่งเป็นมุมในฟิล์มที่วัดโดยตรงไม่ได้ จึงเปลี่ยนเป็นมุมตกกระทบ \(\theta_i\) ด้วยกฎของ Snell (สมการ (1)) เมื่อกำหนดให้ฟิล์มอยู่ในอากาศ (\(n_0 = 1\)) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \\ \mathllap{\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \\ \mathllap{\sin\theta_t} &= \frac{\sin\theta_i}{n_f} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{n_0\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \\ \mathllap{\sin\theta_i} &= n_f\sin\theta_t \\ \mathllap{\sin\theta_t} &= \frac{\sin\theta_i}{n_f} \end{align*} \]

Since \(\sin^2\theta_t + \cos^2\theta_t = 1\),

จาก \(\sin^2\theta_t + \cos^2\theta_t = 1\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\cos^2\theta_t} &= 1 - \sin^2\theta_t \\ &= 1 - \left(\frac{\sin\theta_i}{n_f}\right)^2 \\ &= \frac{n_f^2 - \sin^2\theta_i}{n_f^2} \\ \mathllap{\cos\theta_t} &= \sqrt{\frac{n_f^2 - \sin^2\theta_i}{n_f^2}} \\ \mathllap{\cos\theta_t} &= \frac{1}{n_f}\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\cos^2\theta_t} &= 1 - \sin^2\theta_t \\ &= 1 - \left(\frac{\sin\theta_i}{n_f}\right)^2 \\ &= \frac{n_f^2 - \sin^2\theta_i}{n_f^2} \\ \mathllap{\cos\theta_t} &= \sqrt{\frac{n_f^2 - \sin^2\theta_i}{n_f^2}} \\ \mathllap{\cos\theta_t} &= \frac{1}{n_f}\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i} \end{align*} \]

Substituting \(\cos\theta_t\) into Eq. (15) gives the film-thickness equation [2]

แทน \(\cos\theta_t\) ลงในสมการ (15) จะได้สมการคำนวณความหนาฟิล์ม [2]

\[ \begin{align*} \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\left(\frac{1}{n_f}\right)\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i}}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \\ \mathllap{t} &= \left(\frac{\Delta m}{2\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i}}\right)\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \quad (\lambda_1 > \lambda_2) \tag{16} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\left(\frac{1}{n_f}\right)\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i}}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \\ \mathllap{t} &= \left(\frac{\Delta m}{2\sqrt{n_f^2 - \sin^2\theta_i}}\right)\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \quad (\lambda_1 > \lambda_2) \tag{16} \end{align*} \]

Equation (16) calculates the film thickness from the spectrum of the reflected light [2]: with \(n_f\) and \(\theta_i\) known, choose two dark lines at \(\lambda_1\) and \(\lambda_2\) and count how many orders apart they are (\(\Delta m\)). For example, a film with \(n_f = 1.5\) and thickness 1 µm at \(\theta_i = 0^\circ\) has dark lines at 300 nm (m = 10) and about 272.7 nm (m = 11); substituting \(\Delta m = 1\) into Eq. (16) gives \(t = 1\) µm, which matches the film thickness in the earlier example.

Rearranging the bright-line equation for case 1 (\(\Delta_r = \lambda/2\)), or the bright-line or dark-line equation for case 2 (\(\Delta_r = 0\)), gives the same Eq. (16).

สมการ (16) ใช้คำนวณความหนาฟิล์มจาก spectrum ของแสงสะท้อน [2] เมื่อรู้ \(n_f\) และ \(\theta_i\) แล้ว เลือก dark line สองเส้นที่ \(\lambda_1\) และ \(\lambda_2\) แล้วนับว่าสองเส้นนี้ห่างกันกี่ order (\(\Delta m\)) เช่น ฟิล์ม \(n_f = 1.5\) หนา 1 µm ที่ \(\theta_i = 0^\circ\) มี dark line ที่ 300 nm (m = 10) และประมาณ 272.7 nm (m = 11) แทน \(\Delta m = 1\) ในสมการ (16) จะได้ \(t = 1\) µm ตรงกับความหนาของฟิล์มในตัวอย่างก่อนหน้า

กรณี 1 (\(\Delta_r = \lambda/2\)) เมื่อจัดรูปสมการ bright line หรือกรณี 2 (\(\Delta_r = 0\)) เมื่อจัดรูปสมการ bright line หรือ dark line ก็จะได้สมการ (16) เหมือนกัน

Case 1 (\(\Delta_r = \lambda/2\)), bright lineกรณี 1 (\(\Delta_r = \lambda/2\)) bright line

From Eq. (8), substituting \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) and \(\Delta_r = \lambda/2\) and solving for \(m\):

จากสมการ (8) แทน \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) และ \(\Delta_r = \lambda/2\) แล้วจัดรูปหา \(m\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \tfrac{\lambda}{2}} &= m\lambda \\ \mathllap{m\lambda} &= 2n_f t\cos\theta_t + \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} + \tfrac{1}{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + \tfrac{\lambda}{2}} &= m\lambda \\ \mathllap{m\lambda} &= 2n_f t\cos\theta_t + \tfrac{\lambda}{2} \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} + \tfrac{1}{2} \end{align*} \]

Setting \(\lambda_m = \lambda_1\) (bright line of order \(m\)) and \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (bright line of order \(m + n\)) gives

แทน \(\lambda_m = \lambda_1\) (bright line order \(m\)) และ \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (bright line order \(m + n\)) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} + \tfrac{1}{2} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} + \tfrac{1}{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} + \tfrac{1}{2} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} + \tfrac{1}{2} \end{align*} \]

Write the equation for \(\Delta m\) and solve for \(t\):

ตั้งสมการหา \(\Delta m\) แล้วจัดรูปหา \(t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} + \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) - \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} + \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} + \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) - \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} + \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]

Case 2 (\(\Delta_r = 0\)), bright lineกรณี 2 (\(\Delta_r = 0\)) bright line

From Eq. (8), substituting \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) and \(\Delta_r = 0\) and solving for \(m\):

จากสมการ (8) แทน \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) และ \(\Delta_r = 0\) แล้วจัดรูปหา \(m\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + 0} &= m\lambda \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= m\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + 0} &= m\lambda \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \end{align*} \]

Setting \(\lambda_m = \lambda_1\) (bright line of order \(m\)) and \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (bright line of order \(m + n\)) gives

แทน \(\lambda_m = \lambda_1\) (bright line order \(m\)) และ \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (bright line order \(m + n\)) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} \end{align*} \]

Write the equation for \(\Delta m\) and solve for \(t\):

ตั้งสมการหา \(\Delta m\) แล้วจัดรูปหา \(t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]

Case 2 (\(\Delta_r = 0\)), dark lineกรณี 2 (\(\Delta_r = 0\)) dark line

From Eq. (9), substituting \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) and \(\Delta_r = 0\) and solving for \(m\):

จากสมการ (9) แทน \(\Delta_p = 2n_f t\cos\theta_t\) และ \(\Delta_r = 0\) แล้วจัดรูปหา \(m\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + 0} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{m + \tfrac{1}{2}} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} - \tfrac{1}{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{2n_f t\cos\theta_t + 0} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \mathllap{m + \tfrac{1}{2}} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} \\ \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda} - \tfrac{1}{2} \end{align*} \]

Setting \(\lambda_m = \lambda_1\) (dark line of order \(m\)) and \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (dark line of order \(m + n\)) gives

แทน \(\lambda_m = \lambda_1\) (dark line order \(m\)) และ \(\lambda_{m+n} = \lambda_2\) (dark line order \(m + n\)) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} - \tfrac{1}{2} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \tfrac{1}{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{m} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} - \tfrac{1}{2} \\ \mathllap{m + n} &= \frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \tfrac{1}{2} \end{align*} \]

Write the equation for \(\Delta m\) and solve for \(t\):

ตั้งสมการหา \(\Delta m\) แล้วจัดรูปหา \(t\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) - \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} - \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= (m + n) - m \\ &= \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_2} - \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) - \left(\frac{2n_f t\cos\theta_t}{\lambda_1} - \cancel{\tfrac{1}{2}}\right) \\ \mathllap{\Delta m} &= 2n_f t\cos\theta_t\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \\ \mathllap{t} &= \frac{\Delta m}{2n_f\cos\theta_t}\left(\frac{1}{\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}}\right) \end{align*} \]

All three cases give the same equation for \(t\) as Eq. (15); substituting \(\cos\theta_t\) as above then gives Eq. (16).

ทั้ง 3 กรณีได้สมการของ \(t\) เหมือนสมการ (15) เมื่อแทน \(\cos\theta_t\) แบบเดียวกับข้างต้นก็จะได้สมการ (16)

Condition for seeing dark linesเงื่อนไขการเกิด dark line

A spectrometer cannot separate wavelengths that differ by less than its spectral resolution (\(\Delta\lambda_d\)). If the dark lines are closer together than \(\Delta\lambda_d\), the spectrometer averages the dark and bright parts together and the dark lines are not seen. The dark lines are still seen when \(\lambda^2/\Delta_p > \Delta\lambda_d\), or

spectrometer แยกความยาวคลื่นที่ต่างกันน้อยกว่า spectral resolution (\(\Delta\lambda_d\)) ของตัวเองไม่ได้ ถ้า dark line ชิดกันกว่า \(\Delta\lambda_d\) spectrometer จะเฉลี่ยส่วนมืดกับส่วนสว่างรวมกันและไม่เห็น dark line เงื่อนไขที่ยังเห็น dark line คือ \(\lambda^2/\Delta_p > \Delta\lambda_d\) หรือ

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &< \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda_d} = l_t \tag{17} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &< \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda_d} = l_t \tag{17} \end{align*} \]

\(l_t = \lambda^2/\Delta\lambda_d\) is the coherence length of the narrow band \(\Delta\lambda_d\) that the spectrometer receives at each position (compare the coherence length on the Two-Beam Interference page). \(l_t\) increases as \(\lambda\) gets longer, so the dark lines on the red side can still be seen after those on the blue side can no longer be resolved. The color on the screen, where the eye or a camera receives all wavelengths at once, is calculated in the visualization by adding the light of all wavelengths; it fades to white as the film gets thicker.

\(l_t = \lambda^2/\Delta\lambda_d\) คือ coherence length ของแสงช่วงแคบ \(\Delta\lambda_d\) ที่ spectrometer รับในแต่ละตำแหน่ง (เปรียบเทียบกับ coherence length ในหน้า Two-Beam Interference) \(l_t\) มากขึ้นเมื่อ \(\lambda\) ยาวขึ้น dark line ด้านแสงสีแดงจึงยังเห็นได้เมื่อด้านแสงสีน้ำเงินแยกไม่ออกแล้ว ส่วนสีบน screen ที่ตาหรือกล้องรับทุกความยาวคลื่นพร้อมกัน visualization คำนวณจากการรวมแสงทุกความยาวคลื่น ซึ่งจะจางเป็นสีขาวเมื่อฟิล์มหนาขึ้น

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(n_0\)(1), (5)Refractive index of the medium above the filmดัชนีหักเหของตัวกลางด้านบนฟิล์ม–
\(n_f\)(1), (5)–(7), (12)–(16)Refractive index of the filmดัชนีหักเหของฟิล์ม–
\(n_s\)–Refractive index of the substrate (decides \(\Delta_r\))ดัชนีหักเหของ substrate (ใช้ตัดสิน \(\Delta_r\))–
\(\theta_i\)(1), (4), (11), (16)Angle of incidence, measured from the normal (in the visualization, the angle of the beams that meet at P = 0)มุมตกกระทบ วัดจากเส้นปกติ (ใน visualization คือมุมของลำที่ไปรวมที่ P = 0)rad
\(\theta_t\)(1)–(4), (6), (7), (12)–(15)Angle of refraction in the film, measured from the normalมุมหักเหในฟิล์ม วัดจากเส้นปกติrad
\(t\)(2)–(4), (6), (7), (12)–(16)Film thicknessความหนาของฟิล์มm
AB, BC, AC, AQ(2)–(5)Distances between points in Figure 1ระยะระหว่างจุดในรูปที่ 1m
\(\text{OPL}_{ABC}\), \(\text{OPL}_{AQ}\)(5)Optical path length of beam (2) from A to B to C and of beam (1) from A to Qoptical path length ของลำ (2) จาก A ไป B ไป C และของลำ (1) จาก A ไป Qm
\(\Delta\), \(\Delta_p\)(5)–(10), (17)Optical path difference of the two beams due to the pathoptical path difference ของแสงสองลำที่มาจากเส้นทางm
\(\Delta_r\)(8)–(10)Path difference equivalent to the phase added on reflection (0 or \(\lambda/2\))ผลต่างระยะทางที่เทียบเท่ากับ phase ที่เพิ่มจากการสะท้อน (0 หรือ \(\lambda/2\))m
\(\lambda\)(8)–(10), (12), (13), (17)Wavelength in vacuumความยาวคลื่นในสุญญากาศm
\(\lambda_m\), \(\lambda_{m+1}\)(14)Wavelengths of the dark lines of order \(m\) and order \(m + 1\)ความยาวคลื่นของ dark line order \(m\) และ order \(m + 1\)m
\(\Delta\lambda\)(14)Spacing between two adjacent dark lines (\(\lambda_m - \lambda_{m+1}\))ระยะห่างระหว่าง dark line สองเส้นที่อยู่ติดกัน (\(\lambda_m - \lambda_{m+1}\))m
\(\lambda_1\), \(\lambda_2\)(15), (16)Wavelengths of the two dark lines used to calculate the thickness (\(\lambda_1 > \lambda_2\))ความยาวคลื่นของ dark line สองเส้นที่ใช้คำนวณความหนา (\(\lambda_1 > \lambda_2\))m
\(\Delta m\)(15), (16)Number of orders between the dark lines at \(\lambda_1\) and \(\lambda_2\)จำนวน order ที่ dark line ที่ \(\lambda_1\) และ \(\lambda_2\) ห่างกัน–
\(m\)(8), (9), (12)–(14)Order: 0, 1, 2, …order (m): 0, 1, 2, …–
\(\delta\)(10)Phase difference of the two beams at Pผลต่าง phase ของแสงสองลำที่จุด Prad
\(\theta\)(11)Angle of incidence of the beams that the lens brings to position \(y\)มุมตกกระทบของลำที่เลนส์รวมไปที่ตำแหน่ง \(y\)rad
\(y\)(11)Position of P on the screen, measured from the lens focus (P = 0)ตำแหน่ง P บน screen วัดจากจุดที่เลนส์ focus (P = 0)m
\(f\)(11)Distance from the lens to the screenระยะจากเลนส์ถึง screenm
\(\Delta\lambda_d\)(17)Spectral resolution of the spectrometerspectral resolution ของ spectrometerm
\(l_t\)(17)Coherence lengthcoherence lengthm

Worked exampleตัวอย่างการคำนวณ

A film with refractive index \(n_f = 1.5\) and thickness \(t = 0.5\) µm has air above and below it (\(n_0 = n_s = 1\)), and light is incident at \(\theta_i = 30^\circ\). Find \(\Delta_p\), the phase difference for light of wavelength 600 nm, and the dark spectrum for white light.

ฟิล์มดัชนีหักเห \(n_f = 1.5\) หนา \(t = 0.5\) µm อยู่ในอากาศทั้งด้านบนและด้านล่าง (\(n_0 = n_s = 1\)) แสงตกกระทบที่มุม \(\theta_i = 30^\circ\) หา \(\Delta_p\), ผลต่าง phase เมื่อใช้แสงความยาวคลื่น 600 nm และ dark spectrum เมื่อใช้ white light

\[ \begin{align*} \mathllap{t} &= 0.5\ \text{µm} \\ &= 5.0\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{t} &= 0.5\ \text{µm} \\ &= 5.0\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\sin\theta_t} &= \frac{n_0\sin\theta_i}{n_f} \\ &= \frac{(1)\sin 30^\circ}{1.5} \\ &= 0.3333 \\ \mathllap{\theta_t} &= 19.47^\circ \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\sin\theta_t} &= \frac{n_0\sin\theta_i}{n_f} \\ &= \frac{(1)\sin 30^\circ}{1.5} \\ &= 0.3333 \\ \mathllap{\theta_t} &= 19.47^\circ \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \\ &= (2)(1.5)(5.0\times10^{-7}\ \text{m})(0.9428) \\ &= 1.4142\times10^{-6}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p} &= 2n_f t\cos\theta_t \\ &= (2)(1.5)(5.0\times10^{-7}\ \text{m})(0.9428) \\ &= 1.4142\times10^{-6}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \\ \mathllap{\Delta_r} &= \frac{\lambda}{2} \\ &= 3.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda} &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \\ \mathllap{\Delta_r} &= \frac{\lambda}{2} \\ &= 3.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\delta} &= \frac{2\pi}{\lambda}\left(\Delta_p + \Delta_r\right) \\ &= \frac{2\pi}{6.00\times10^{-7}\ \text{m}}\left(1.4142\times10^{-6}\ \text{m} + 3.00\times10^{-7}\ \text{m}\right) \\ &= 2\pi(2.857) \\ &= 5.714\pi\ \text{rad} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\delta} &= \frac{2\pi}{\lambda}\left(\Delta_p + \Delta_r\right) \\ &= \frac{2\pi}{6.00\times10^{-7}\ \text{m}}\left(1.4142\times10^{-6}\ \text{m} + 3.00\times10^{-7}\ \text{m}\right) \\ &= 2\pi(2.857) \\ &= 5.714\pi\ \text{rad} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_2} &= \frac{\Delta_p}{2} \\ &= \frac{1.4142\times10^{-6}\ \text{m}}{2} \\ &= 7.071\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 707.1\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_2} &= \frac{\Delta_p}{2} \\ &= \frac{1.4142\times10^{-6}\ \text{m}}{2} \\ &= 7.071\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 707.1\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_3} &= \frac{\Delta_p}{3} \\ &= \frac{1.4142\times10^{-6}\ \text{m}}{3} \\ &= 4.714\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 471.4\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\lambda_3} &= \frac{\Delta_p}{3} \\ &= \frac{1.4142\times10^{-6}\ \text{m}}{3} \\ &= 4.714\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 471.4\ \text{nm} \end{align*} \]

3How to use the dielectric film visualizationวิธีใช้ visualization dielectric film

Visualization A: dielectric film in 2-Dvisualization A: dielectric film แบบ 2 มิติ

  • Constants: lens-to-screen distance \(f\) = 50 mm, the screen shows positions \(y\) = −25 to 25 mm
  • Adjustable values:
    \(\lambda\) = 380 to 780 nm (680 nm, laser),
    \(\theta_i\) = 0 to 80° (30°),
    \(t\) = 0.05 to 50 µm (10 µm),
    position of P: \(y\) = −25 to 25 mm (0.4 mm),
    \(l_t\) = 1 to 100 µm (100 µm, laser, assumed value),
    \(\Delta\lambda_d\) = 0.5 to 20 nm (1 nm, white light),
    \(n_0\) = 1.00 to 2.00 (1.00),
    \(n_f\), \(n_s\) = 1.00 to 2.50 (1.50, 1.00)
  • Light source buttons: laser or white light (380–780 nm); pressing one sets the starting values of that light source (white light: \(\theta_i\) = 45°, \(t\) = 1 µm, \(y\) = 0, \(\Delta\lambda_d\) = 1 nm)
  • Case study buttons: film in air (\(n_0 = 1\), \(n_f = 1.33\), \(n_s = 1\)) and antireflection coating on glass (\(n_0 = 1\), \(n_f = 1.38\), \(n_s = 1.5\), \(\theta_i = 0\), \(t\) = 0.1 µm, \(y = 0\))
  • The reset button restores all starting values (laser)
  • ค่าคงที่: ระยะเลนส์ถึง screen \(f\) = 50 mm, screen แสดงตำแหน่ง \(y\) = −25 ถึง 25 mm
  • ค่าที่ปรับได้:
    \(\lambda\) = 380 ถึง 780 nm (680 nm, laser),
    \(\theta_i\) = 0 ถึง 80° (30°),
    \(t\) = 0.05 ถึง 50 µm (10 µm),
    ตำแหน่ง P: \(y\) = −25 ถึง 25 mm (0.4 mm),
    \(l_t\) = 1 ถึง 100 µm (100 µm, laser, ค่าสมมติ),
    \(\Delta\lambda_d\) = 0.5 ถึง 20 nm (1 nm, white light),
    \(n_0\) = 1.00 ถึง 2.00 (1.00),
    \(n_f\), \(n_s\) = 1.00 ถึง 2.50 (1.50, 1.00)
  • ปุ่ม light source: laser หรือ white light (380–780 nm) กดแล้วตั้งค่าเริ่มต้นของ light source นั้น (white light: \(\theta_i\) = 45°, \(t\) = 1 µm, \(y\) = 0, \(\Delta\lambda_d\) = 1 nm)
  • ปุ่มกรณีศึกษา: ฟิล์มในอากาศ (\(n_0 = 1\), \(n_f = 1.33\), \(n_s = 1\)) และ antireflection coating บนแก้ว (\(n_0 = 1\), \(n_f = 1.38\), \(n_s = 1.5\), \(\theta_i = 0\), \(t\) = 0.1 µm, \(y = 0\))
  • ปุ่มรีเซ็ตคืนค่าเริ่มต้นทั้งหมด (laser)

Try the visualization in this order:

ลองใช้งาน visualization ตามลำดับดังนี้

  1. At the start, what is \((\Delta_p + \Delta_r)/\lambda\) and what does the status label say? Adjust \(t\) to make P dark: what \(t\) is needed?
  2. Drag P along the screen: how do \(\theta\) and \(\Delta_p\) change? Increase the light source to 5 points: do the beams from different points meet at the same P?
  3. Change \(n_s\) from 1 to 2.0 (\(n_0 < n_f < n_s\)): how does \(\Delta_r\) change, and does a point that was bright become dark? Then set \(n_s = n_f\): what happens to beam (2)?
  4. Reduce the laser’s \(l_t\) below \(\Delta_p\): what happens to the fringes on the screen?
  5. Choose white light and increase \(t\) a little at a time: how do the color on the screen and the number of dark lines in the “Spectrum at P” frame change? Set \(\Delta\lambda_d\) = 5 nm, \(\theta_i\) = 0, \(t\) = 20 µm: in which part of the spectrum are the dark lines still seen?
  6. Press the antireflection coating button and choose white light: which wavelength is dark, and why is the dark point not completely dark?
  1. ตอนเริ่มต้น \((\Delta_p + \Delta_r)/\lambda\) เท่าไร ป้ายสถานะเป็นอย่างไร ลองปรับ \(t\) ให้ P มืด ต้องใช้ \(t\) เท่าไร
  2. ลากจุด P ไปตาม screen \(\theta\) และ \(\Delta_p\) เปลี่ยนอย่างไร ลองเพิ่มจำนวน light source เป็น 5 จุด ลำจากจุดต่างกันไปรวมที่ P เดียวกันหรือไม่
  3. เปลี่ยน \(n_s\) จาก 1 เป็น 2.0 (\(n_0 < n_f < n_s\)) \(\Delta_r\) เปลี่ยนอย่างไร จุดที่เคยสว่างกลายเป็นมืดหรือไม่ แล้วลองตั้ง \(n_s = n_f\) ลำ (2) เป็นอย่างไร
  4. ลด \(l_t\) ของ laser ให้น้อยกว่า \(\Delta_p\) fringe บน screen เป็นอย่างไร
  5. เลือก white light แล้วเพิ่ม \(t\) ทีละน้อย สีบน screen และจำนวน dark line ในกรอบ spectrum ที่ P เปลี่ยนอย่างไร ลองตั้ง \(\Delta\lambda_d\) = 5 nm, \(\theta_i\) = 0, \(t\) = 20 µm ช่วงใดของ spectrum ที่ยังเห็น dark line
  6. กดปุ่ม antireflection coating แล้วเลือก white light ความยาวคลื่นใดมืด ทำไมจุดมืดไม่มืดสนิท

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: only the first two beams are used, light reflected many times inside the film is not included [1], the film does not absorb light and its surfaces are smooth and parallel, the refractive indices do not depend on wavelength, and the brightness of each beam uses the normal-incidence \(r\) at every angle
  • Coherence is shown only as interference occurring or not: for the laser, \(\Delta_p\) is compared with \(l_t\); for white light in the spectrometer, \(\Delta_p\) is compared with \(\lambda^2/\Delta\lambda_d\) wavelength by wavelength; the color on the screen is calculated by adding all wavelengths
  • The film thickness, lens distance and screen length in Figure 1 are not to scale; the values in Results are always calculated from the values set
  • ขอบเขต: ใช้แสงเพียงสองลำแรก ไม่รวมแสงที่สะท้อนในฟิล์มหลายครั้ง [1], ฟิล์มไม่ดูดกลืนแสง ผิวเรียบและขนานกัน, ดัชนีหักเหไม่ขึ้นกับความยาวคลื่น, ความสว่างของแต่ละลำใช้ \(r\) ของแสงที่ตกกระทบตั้งฉากทุกมุม
  • coherence แสดงเพียงเกิดหรือไม่เกิด interference: laser เทียบ \(\Delta_p\) กับ \(l_t\) ; white light ใน spectrometer เทียบ \(\Delta_p\) กับ \(\lambda^2/\Delta\lambda_d\) ทีละความยาวคลื่น ; สีบน screen คำนวณจากการรวมทุกความยาวคลื่น
  • ความหนาฟิล์ม ระยะเลนส์ และความยาว screen ในรูปที่ 1 ไม่ได้สเกลจริง ค่าใน Results คำนวณจากค่าที่ตั้งจริงเสมอ
Interference in Dielectric Films — interactive visualization Interference in dielectric films — interactive visualization
A Dielectric film in 2-Ddielectric film แบบ 2 มิติ

Light sourcelight source

Number of points on the light sourceจำนวนจุดของ light source

Case studiesกรณีศึกษา

Figure 1 — Two beams reflected from the top and bottom surfaces of the film meet at P (adapted from [1], Figs. 10 and 13) รูปที่ 1 — แสงสองลำที่สะท้อนจากผิวบนและผิวล่างของฟิล์มไปรวมกันที่ P (ดัดแปลงจาก [1], Figs. 10 และ 13)

Moving point P: click the screen and drag along it.การควบคุมจุด P: คลิกที่ screen แล้วลากไปตาม screen

Not to scale: film thickness, lens distance and screen length are drawn for viewing; Results use the values set.ไม่ได้สเกลจริง: ความหนาฟิล์ม ระยะเลนส์ และความยาว screen วาดเพื่อให้ดูง่าย ผลลัพธ์ใช้ค่าที่ตั้งจริง

Results (at P)ผลลัพธ์ (ที่จุด P)

Interferenceinterference Yes (Δp < lt)เกิด (Δp < lt)
Constructive (bright)interference แบบเสริม (สว่าง)
θ of the beams at P, Eq. (11) (°)θ ของลำที่ไปถึง P สมการ (11) (°) 30.46
θt, Eq. (1) (°)θt สมการ (1) (°) 19.75
Δp, Eq. (7) (µm)Δp สมการ (7) (µm) 28.2350
Δp + Δr (µm) 28.5750
(Δp + Δr)/λ 42.022
δ, Eq. (10)δ สมการ (10) 264.033 rad = 84.044π
I/Imax 0.995

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 175–180.
  2. Shimadzu Corporation, “Film-thickness measurement,” Shimadzu. [Online]. Available: https://www.shimadzu.com/an/service-support/technical-support/technical-information/uv-vis/uv-ap/film/index.html (accessed Oct. 24, 2026).