Fresnel’s Biprism Fresnel’s biprism

Last updated แก้ไขล่าสุด

How does a single wedge of glass turn one point source into two virtual sources without any mirrors, and how does the fringe spacing depend on the prism angle and the refractive index? แก้วรูปลิ่มชิ้นเดียวทำให้แหล่งกำเนิดแสงจุดเดียวกลายเป็น virtual source สองจุดได้อย่างไรโดยไม่ต้องใช้กระจก และระยะห่างของ fringe ขึ้นกับ prism angle และ refractive index อย่างไร

1Introductionบทนำ

In Lloyd’s Mirror and Fresnel’s Mirrors, mirrors reflect light from a single point source so that it seems to come from two virtual sources. Without any mirrors, using only a single wedge of glass, can we still get two virtual sources and fringes on a screen?
Fresnel’s biprism is a piece of glass shaped like two thin prisms joined together. One side is a flat face that faces the point source (S); the other side has two slanted faces that meet in an edge on the optical axis. Light from S that passes through the upper half of the biprism is refracted downward, toward the optical axis, and light that passes through the lower half is refracted upward. After leaving the biprism, the light therefore seems to come from two virtual sources, S1 and S2 [1]. Both parts of the light come from the same source, so they combine coherently (the meaning of coherent is explained on the page Two-Beam Interference) and form fringes on the screen in the region of wave superposition [1]. This is the same idea as in Young’s Double-Slit Experiment.

ใน Lloyd’s Mirror และ Fresnel’s Mirrors เราใช้กระจกสะท้อนแสงจาก point source จุดเดียวให้เหมือนออกมาจาก virtual source สองจุด ถ้าไม่ใช้กระจกเลย ใช้เพียงแก้วรูปลิ่มชิ้นเดียว จะได้ virtual source สองจุดและเกิด fringe บนฉากได้หรือไม่
Fresnel’s biprism คือแก้วที่มีรูปเหมือน prism บางสองชิ้นต่อกัน ด้านหนึ่งเป็นผิวเรียบหันเข้าหา point source (S) อีกด้านเป็นผิวเอียงสองผิวที่มาบรรจบกันเป็นสันตรง optical axis แสงจาก S ที่ผ่านครึ่งบนของ biprism หักเหลงเข้าหา optical axis ส่วนแสงที่ผ่านครึ่งล่างหักเหขึ้น แสงหลังออกจาก biprism จึงเหมือนออกมาจาก virtual source สองจุด S1 และ S2 [1] แสงทั้งสองส่วนมาจากแหล่งเดียวกันจึงรวมกันแบบ coherent (ความหมายของ coherent อธิบายไว้ในหน้า Two-Beam Interference) และเกิด fringe บนฉากในบริเวณที่คลื่นซ้อนกัน [1] ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับ Young’s Double-Slit Experiment

Fresnel’s biprism differs from Fresnel’s mirrors in two ways. First, the biprism changes the direction of the light by refraction, not by reflection, so there is no extra phase of \(\pi\) to take into account. Second, the distance between the two virtual sources (\(a\)) depends on the distance \(d\) from S to the biprism, on the prism angle \(\alpha\) and on the refractive index \(n\) of the glass.

สิ่งที่ต่างจาก Fresnel’s mirrors มี 2 ประการ ประการที่ 1 คือ biprism เปลี่ยนทิศแสงด้วยการหักเห (refraction) ไม่มีการสะท้อน จึงไม่มี phase เพิ่ม \(\pi\) ที่ต้องคิด ประการที่ 2 คือระยะห่างระหว่าง virtual source ทั้งสอง (\(a\)) ขึ้นกับระยะ \(d\) จาก S ถึง biprism, prism angle \(\alpha\) และ refractive index \(n\) ของแก้ว

This page has an interactive visualization that shows, in 2-D, the paths of the light from S through the biprism to the screen. You can see how the fringes and the irradiance change when you change the prism angle, the refractive index, the distance of S and the position of the screen.

หน้านี้มี interactive visualization แสดงภาพ 2 มิติเพื่อแสดงทางเดินของแสงจาก S ที่ผ่าน biprism ไปยังฉาก คุณจะได้เห็น fringe และ irradiance ว่าเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเปลี่ยน prism angle, refractive index, ระยะของ S และตำแหน่งฉาก

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Refractive index and deviation angleRefractive index และ deviation angle

The refractive index (\(n\)) of glass tells how many times more slowly light travels in the glass than in a vacuum; for example, in glass with \(n = 1.5\), light travels 1.5 times more slowly than in a vacuum. When light passes through a glass surface that is tilted to its direction of travel, the light changes direction; this is called refraction. Light passing through a prism is refracted twice, at the surface where it enters and at the surface where it leaves, and it bends toward the thicker side of the glass. The angle between the direction of the light before it enters the prism and its direction after it leaves the prism is called the deviation angle.

refractive index (\(n\)) ของแก้วบอกว่าแสงเดินทางในแก้วช้ากว่าในสุญญากาศกี่เท่า เช่น แก้วที่มี \(n = 1.5\) แสงเดินทางช้ากว่าในสุญญากาศ 1.5 เท่า เมื่อแสงผ่านผิวแก้วที่เอียงทำมุมกับทิศของแสง แสงจะเปลี่ยนทิศ เรียกว่าการหักเห (refraction) แสงที่ผ่าน prism หักเหสองครั้ง คือที่ผิวที่แสงเข้าและผิวที่แสงออก และเบนเข้าหาด้านที่แก้วหนากว่า มุมระหว่างทิศของแสงก่อนเข้า prism กับทิศหลังออกจาก prism เรียกว่า deviation angle

The smallest deviation angle occurs when the light passes through the prism symmetrically (the angle at which the light enters equals the angle at which it leaves); this angle is called the minimum deviation. In a real biprism, the prism angle (\(\alpha\)) (Figure 1) is very small, about 1°, and the deviation angle at minimum deviation is [1]

deviation angle ที่น้อยที่สุดเกิดเมื่อแสงผ่าน prism แบบสมมาตร (มุมที่แสงเข้าเท่ากับมุมที่แสงออก) เรียกมุมนี้ว่า minimum deviation ใน biprism จริง prism angle (\(\alpha\)) (รูปที่ 1) มีค่าเล็กมาก ประมาณ 1° และ deviation angle ที่ minimum deviation คือ [1]

\[ \delta_m = \alpha(n - 1) \tag{1} \]
\[ \delta_m = \alpha(n - 1) \tag{1} \]

Here \(\alpha\) is in rad. When \(\alpha\) is small (about 1°) [1], each ray from S that passes through the biprism is bent by an angle that differs only slightly from \(\delta_m\). This page therefore assumes that every ray is bent by the same angle \(\delta_m\), whatever the angle at which the light from S strikes the biprism.

เมื่อ \(\alpha\) มีหน่วยเป็น rad ในกรณีที่ \(\alpha\) เล็กๆ (ประมาณ 1°) [1] แสงจาก S ที่ผ่าน biprism แต่ละเส้นจะเบนเป็นมุมต่างจาก \(\delta_m\) ไม่มาก หน้านี้จึงกำหนดให้แสงทุกเส้นเบนเป็นมุม \(\delta_m\) เท่ากัน ไม่ว่าแสงจาก S จะตกกระทบ biprism ที่มุมเท่าใดก็ตาม

Distance a between S1 and S2ระยะ \(a\) ระหว่าง S1 กับ S2

Label the points as in Figure 1 (press the button below to see Figure 1 with the values for finding \(a\)): A is the point where the light from S reaches the flat face of the upper half of the prism, B is the point where the optical axis crosses the flat face, and C is the point on the vertical line through S at the same height as A. The ray SA makes an angle \(\theta\) with the optical axis, and A is a height \(h\) above the optical axis. The right triangle ASB, with SB = \(d\) and AB = \(h\), gives

กำหนดตำแหน่งดังรูปที่ 1 (กดปุ่มด้านล่างเพื่อดูรูปที่ 1 พร้อมค่าสำหรับหาระยะ \(a\)) เมื่อ A คือจุดที่แสงจาก S ไปถึงผิวเรียบครึ่งบนของ prism ส่วน B คือจุดที่ optical axis ตัดผิวเรียบ และ C คือจุดบนแนวตั้งที่ผ่าน S ที่สูงเท่ากับ A แสง SA ทำมุม \(\theta\) กับ optical axis และ A อยู่สูงจาก optical axis เป็นระยะ \(h\) พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ASB ซึ่งมี SB = \(d\) และ AB = \(h\) จะได้

\[ \begin{aligned} \tan\theta &= \frac{h}{d} \\ h &= d\tan\theta \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \tan\theta &= \frac{h}{d} \\ h &= d\tan\theta \end{aligned} \]

After passing through the biprism, the light bends down toward the optical axis by the angle \(\delta_m\). If the outgoing ray is extended back to the left (the dashed line in Figure 1), it reaches S1, so the angle between AS and AS1 is \(\delta_m\). The line AC is parallel to the optical axis, so the angle between AC and AS is \(\theta\) (equal to the angle at which the ray leaves S), and the angle between AC and AS1 is \(\delta_m - \theta\). The right triangle S1AC, with AC = \(d\) and S1C = \(a/2 - h\), gives

หลังผ่าน biprism แสงเบนลงเข้าหา optical axis เป็นมุม \(\delta_m\) ถ้าลากเส้นของแสงที่ออกมาย้อนกลับไปทางซ้าย (เส้นประในรูปที่ 1) เส้นนี้จะไปถึง S1 มุมระหว่าง AS กับ AS1 จึงเท่ากับ \(\delta_m\) ส่วนเส้น AC ขนานกับ optical axis ทำให้มุมระหว่าง AC กับ AS เท่ากับ \(\theta\) (เท่ากับมุมที่ออกจาก S) แล้วมุมระหว่าง AC กับ AS1 จึงเท่ากับ \(\delta_m - \theta\) พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก S1AC ซึ่งมี AC = \(d\) และ S1C = \(a/2 - h\) จะได้

\[ \tan(\delta_m - \theta) = \frac{a/2 - h}{d} \]
\[ \tan(\delta_m - \theta) = \frac{a/2 - h}{d} \]

Substituting \(h = d\tan\theta\) from triangle ASB and rearranging step by step gives

แทน \(h = d\tan\theta\) จากสามเหลี่ยม ASB แล้วจัดรูปทีละขั้นได้

\[ \begin{aligned} d\tan(\delta_m - \theta) &= \frac{a}{2} - d\tan\theta \\ \frac{a}{2} &= d\tan(\delta_m - \theta) + d\tan\theta \\ a &= 2d\left[\tan(\delta_m - \theta) + \tan\theta\right] \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d\tan(\delta_m - \theta) &= \frac{a}{2} - d\tan\theta \\ \frac{a}{2} &= d\tan(\delta_m - \theta) + d\tan\theta \\ a &= 2d\left[\tan(\delta_m - \theta) + \tan\theta\right] \end{aligned} \]

When \(\theta\) and \(\delta_m - \theta\) are very small (in rad), the approximations \(\tan\theta \cong \theta\) and \(\tan(\delta_m - \theta) \cong \delta_m - \theta\) can be used. Substituting \(\delta_m\) from Eq. (1) then gives [1]

เมื่อ \(\theta\) และ \(\delta_m - \theta\) มีค่าน้อยมาก (หน่วย rad) ใช้การประมาณ \(\tan\theta \cong \theta\) และ \(\tan(\delta_m - \theta) \cong \delta_m - \theta\) แล้วแทน \(\delta_m\) จากสมการ (1) จะได้ [1]

\[ \begin{aligned} a &\cong 2d\left[(\delta_m - \theta) + \theta\right] \\ &= 2d\delta_m \\ &= 2d\alpha(n - 1) \end{aligned} \tag{2} \]
\[ \begin{aligned} a &\cong 2d\left[(\delta_m - \theta) + \theta\right] \\ &= 2d\delta_m \\ &= 2d\alpha(n - 1) \end{aligned} \tag{2} \]

Equation (2) shows that \(a\) does not depend on \(\theta\). Whatever the height \(h\) at which the light reaches the flat face, every ray that passes through the upper half traces back to the same point, S1, which is a distance \(a/2 = d\delta_m\) above S. If point A is higher than S1 (\(\theta > \delta_m\)), point C lies above S1 and the angle at A becomes \(\theta - \delta_m\); substituting this angle and rearranging again gives the same Eq. (2).

จากสมการ (2) จะเห็นว่า \(a\) ไม่ขึ้นกับ \(\theta\) ดังนั้นแสงไปถึงผิวเรียบที่ความสูง \(h\) เท่าไรก็ตาม แสงทุกเส้นที่ผ่านครึ่งบนจะย้อนกลับไปพบกันที่จุดเดียว คือ S1 ซึ่งอยู่เหนือ S เป็นระยะ \(a/2 = d\delta_m\) ถ้าจุด A อยู่สูงกว่า S1 (\(\theta > \delta_m\)) ส่งผลให้จุด C อยู่เหนือ S1 แล้วมุมที่ A เปลี่ยนเป็น \(\theta - \delta_m\) เมื่อแทนค่ามุมที่ A และจัดสมการใหม่ จะได้สมการ (2) เหมือนกัน

Two paths to point Pแสงสองทางที่ไปถึงจุด P

The light that passes through the upper half and reaches point P on the screen (path (1) in Figure 1) leaves the biprism as if it came from S1, along the straight line S1P. The light that passes through the lower half (path (2)) seems to come from S2, along the straight line S2P. The upper and lower halves of the biprism are the same (symmetric), so S1 and S2 start with the same phase. Let \(s_1\) = S1P and \(s_2\) = S2P. The path difference between the two paths is [1]

แสงที่ผ่านครึ่งบนแล้วไปถึงจุด P บนฉาก (ทาง (1) ในรูปที่ 1) เดินทางออกจาก biprism เหมือนออกมาจาก S1 ตามเส้นตรง S1P ส่วนแสงที่ผ่านครึ่งล่าง (ทาง (2)) เหมือนออกมาจาก S2 ตามเส้นตรง S2P ครึ่งบนและครึ่งล่างของ biprism เหมือนกัน (สมมาตร) S1 และ S2 จึงเริ่มต้นด้วย phase เท่ากัน กำหนดให้ \(s_1\) = S1P และ \(s_2\) = S2P ผลต่างระยะทาง (path difference) ของแสงสองทางคือ [1]

\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{3} \]
\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{3} \]

Finding the path difference is therefore the same as for the double slit: two points, S1 and S2, a distance \(a\) apart, send light to point P.

การหาผลต่างระยะทางจึงเหมือนกับ double slit คือมีสองจุด S1 และ S2 ห่างกัน \(a\) ส่งแสงไปยังจุด P

Path differenceผลต่างระยะทาง

Let \(s\) be the distance from the flat face of the biprism to the screen, and \(y\) the height of P on the screen, measured from the optical axis. Along the optical axis, S1 and S2 are a distance \(d + s\) from the screen, and they lie a distance \(a/2\) above and below the optical axis. Using the Pythagorean theorem as on the page Fresnel’s Mirrors, with \(s\) of that page replaced by \(d + s\), gives

กำหนดให้ \(s\) คือระยะจากผิวเรียบของ biprism ถึงฉาก และ \(y\) คือความสูงของ P บนฉากวัดจาก optical axis ระยะตามแนว optical axis จาก S1 และ S2 ถึงฉากเท่ากับ \(d + s\) และ S1, S2 อยู่เหนือและใต้ optical axis เป็นระยะ \(a/2\) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเหมือนในหน้า Fresnel’s Mirrors โดยแทน \(s\) ของหน้านั้นด้วย \(d + s\) จะได้

\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ s_2 &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ s_2 &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]

Substituting \(s_1\) and \(s_2\) into Eq. (3) gives

แทน \(s_1\) และ \(s_2\) ในสมการ (3) จะได้

\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{(d + s)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{4} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{(d + s)^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{(d + s)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{4} \]

When \(d + s\) is much larger than \(a\) and P is close to the optical axis (\(y \ll d + s\)), the same small-angle approximation as on the page Young’s Double-Slit Experiment can be used, with \(L\) replaced by \(d + s\). This gives

เมื่อ \(d + s\) มากกว่า \(a\) มากๆ และ P อยู่ใกล้ optical axis (\(y \ll d + s\)) ใช้การประมาณมุมเล็กแบบเดียวกับในหน้า Young’s Double-Slit Experiment โดยแทน \(L\) ด้วย \(d + s\) จะได้

\[ \Delta \cong \frac{ay}{d + s} \tag{5} \]
\[ \Delta \cong \frac{ay}{d + s} \tag{5} \]

Irradiance at PIrradiance ที่ P

Both paths pass through the biprism without any reflection, so there is no extra phase of \(\pi\) as in Lloyd’s Mirror. The irradiance at P is therefore given by the same equation as for Young’s experiment [1]

แสงทั้งสองทางผ่าน biprism โดยไม่มีการสะท้อน จึงไม่มี phase เพิ่ม \(\pi\) แบบใน Lloyd’s Mirror irradiance ที่ P จึงเป็นสมการเดียวกับของ Young [1]

\[ I = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \tag{6} \]
\[ I = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \tag{6} \]

Here \(I_0\) is the irradiance at P when light arrives along only one path.

เมื่อ \(I_0\) คือ irradiance ที่ P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียว

Positions of the bright and dark fringesตำแหน่งของ fringe สว่างและ fringe มืด

A bright fringe occurs where \(\cos^2\) equals 1, that is, where the angle in the brackets of Eq. (6) is a whole-number multiple of \(\pi\). Substituting \(\Delta\) from Eq. (5), solving for \(y\) and then substituting \(a\) from Eq. (2), step by step, gives

fringe สว่างเกิดเมื่อ \(\cos^2\) เท่ากับ 1 คือมุมในวงเล็บของสมการ (6) เป็นจำนวนเต็มเท่าของ \(\pi\) แทน \(\Delta\) จากสมการ (5) จัดรูปหา \(y\) แล้วแทน \(a\) จากสมการ (2) ทีละขั้นได้ดังนี้

\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{d + s} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda(d + s)}{a} \\ &= \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{d + s} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda(d + s)}{a} \\ &= \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)} \end{aligned} \]

The positions of the bright fringes are therefore [1]

ตำแหน่งของ fringe สว่างจึงเขียนเป็น [1]

\[ y_m = \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{7} \]
\[ y_m = \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{7} \]

\(y_m\) is the position of the bright fringe of order m, measured from the optical axis. \(m\) can be positive or negative because fringes form both above and below the optical axis. On the optical axis (\(y_0 = 0\)) the two paths have the same length (\(\Delta = 0\)) and the fringe is bright, as in Fresnel’s mirrors. A dark fringe occurs where the angle in the brackets is a whole number plus one half times \(\pi\); rearranging in the same way gives

\(y_m\) คือตำแหน่งของ fringe สว่าง order m วัดจาก optical axis โดยที่ \(m\) เป็นได้ทั้งบวกและลบเพราะ fringe เกิดทั้งด้านบนและด้านล่างของ optical axis ที่ optical axis (\(y_0 = 0\)) แสงสองทางเดินทางไกลเท่ากัน (\(\Delta = 0\)) และเป็น fringe สว่างเหมือน Fresnel’s mirrors ส่วน fringe มืดเกิดเมื่อมุมในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มบวกครึ่งเท่าของ \(\pi\) จัดรูปแบบเดียวกันได้

\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{8} \]
\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{8} \]

The spacing between neighbouring fringes is \(\lambda(d + s)/(2d\alpha(n - 1))\). With glass of larger \(n\), or with a biprism of larger \(\alpha\), S1 and S2 are farther apart and the fringes are closer together. Equations (5), (7) and (8) hold only when \(y \ll d + s\).

ระยะห่างระหว่าง fringe ที่อยู่ติดกันเท่ากับ \(\lambda(d + s)/(2d\alpha(n - 1))\) เมื่อใช้แก้วที่มี \(n\) มากขึ้น หรือ biprism ที่มี \(\alpha\) มากขึ้น S1 กับ S2 ห่างกันมากขึ้นและ fringe ชิดกันมากขึ้น สมการ (5), (7) และ (8) ใช้ได้เมื่อ \(y \ll d + s\)

Region of wave superpositionบริเวณที่คลื่นซ้อนกัน

Fringes form only on the part of the screen that the light from the upper half and the light from the lower half reach together [1]. Take the lower edge of the beam from the upper half as the line drawn from S1 through the point where the optical axis crosses the flat face of the biprism; this line reaches the screen at \(y = -s\delta_m\). In the same way, the upper edge of the beam from the lower half reaches the screen at \(y = s\delta_m\). If the biprism is tall enough, the region of wave superposition on the screen is therefore

fringe เกิดเฉพาะบริเวณบนฉากที่แสงจากครึ่งบนและครึ่งล่างไปถึงพร้อมกัน [1] เมื่อกำหนดให้ขอบล่างของลำแสงจากครึ่งบนคือเส้นที่ลากจาก S1 ผ่านจุดที่ optical axis ตัดผิวเรียบของ biprism ไปถึงฉากที่ \(y = -s\delta_m\) ในทำนองเดียวกัน ขอบบนของลำแสงจากครึ่งล่างไปถึงฉากที่ \(y = s\delta_m\) ถ้า biprism สูงพอ บริเวณที่คลื่นซ้อนกันบนฉากจึงอยู่ระหว่าง

\[ \begin{aligned} -s\delta_m \le y &\le s\delta_m \end{aligned} \tag{9} \]
\[ \begin{aligned} -s\delta_m \le y &\le s\delta_m \end{aligned} \tag{9} \]

Outside this region the screen receives light from only one half (\(I = I_0\)) or no light at all.

นอกบริเวณนี้มีแสงจากครึ่งเดียว (\(I = I_0\)) หรือไม่มีแสงเลย

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(\delta_m\)(1), (2), (9)Deviation angle at minimum deviation of each half of the biprismdeviation angle ที่ minimum deviation ของแต่ละครึ่งของ biprismrad
\(\alpha\)(1), (2), (7), (8)Prism angle: the angle between the flat face and the slanted face of each half of the biprismprism angle: มุมระหว่างผิวเรียบกับผิวเอียงของแต่ละครึ่งของ biprismrad
\(n\)(1), (2), (7), (8)Refractive index of the glass of the biprismrefractive index ของแก้วที่ทำ biprism–
\(d\)(2), (4), (7), (8)Distance from S to the flat face of the biprismระยะจาก S ถึงผิวเรียบของ biprismm
\(a\)(2), (4), (5)Distance between S1 and S2ระยะห่างระหว่าง S1 กับ S2m
\(s_1\)(3), (4)Distance from S1 to point P (path (1), through the upper half)ระยะจาก S1 ถึงจุด P (ทาง (1) ผ่านครึ่งบน)m
\(s_2\)(3), (4)Distance from S2 to point P (path (2), through the lower half)ระยะจาก S2 ถึงจุด P (ทาง (2) ผ่านครึ่งล่าง)m
\(\Delta\)(3)–(6)Path differenceผลต่างระยะทาง (path difference)m
\(s\)(4), (5), (7)–(9)Distance from the flat face of the biprism to the screen, measured along the optical axisระยะจากผิวเรียบของ biprism ถึงฉาก วัดตาม optical axism
\(y\)(4), (5), (8), (9)Height of point P on the screen, measured from the optical axisความสูงของจุด P บนฉาก วัดจาก optical axism
\(I\)(6)Irradiance at point Pirradiance ที่จุด PW/m²
\(I_0\)(6)Irradiance at point P when light arrives along only one pathirradiance ที่จุด P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียวW/m²
\(\lambda\)(6)–(8)Wavelengthความยาวคลื่นm
\(m\)(7), (8)Order (m) of the fringe: 0, ±1, ±2, …order (m) ของ fringe: 0, ±1, ±2, …–
\(y_m\)(7)Position of the bright fringe of order m, measured from the optical axisตำแหน่งของ fringe สว่าง order m วัดจาก optical axism

\(h\) and \(\theta\) are used only to derive Eq. (2) (the height of point A above the optical axis and the angle between the ray SA and the optical axis).

\(h\) และ \(\theta\) ใช้เฉพาะตอนหาสมการ (2) (ความสูงของจุด A จาก optical axis และมุมของแสง SA กับ optical axis)

Worked example — fringe positionsตัวอย่างการคำนวณ — ตำแหน่งของ fringe

A biprism is made of glass with \(n = 1.50\) and has a prism angle \(\alpha = 0.020\) rad (about 1.15°). A point source a distance \(d = 0.200\) m from the flat face of the biprism emits light of wavelength \(\lambda = 600\) nm, and the screen is a distance \(s = 0.800\) m from the biprism. Find \(\delta_m\), the distance \(a\) between S1 and S2, the position \(y_1\) of the bright fringe, and the width of the region where fringes form.

biprism ทำจากแก้วที่มี \(n = 1.50\) และมี prism angle \(\alpha = 0.020\) rad (ประมาณ 1.15°) point source อยู่ห่างจากผิวเรียบของ biprism เป็นระยะ \(d = 0.200\) m ให้แสงความยาวคลื่น \(\lambda = 600\) nm และฉากอยู่ห่างจาก biprism เป็นระยะ \(s = 0.800\) m หา \(\delta_m\), ระยะห่าง \(a\) ระหว่าง S1 กับ S2, ตำแหน่ง \(y_1\) ของ fringe สว่าง และความกว้างของบริเวณที่เกิด fringe

\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \delta_m &= \alpha(n - 1) \\ &= (2.0\times10^{-2})(1.50 - 1) \\ &= 1.00\times10^{-2}\ \text{rad} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \delta_m &= \alpha(n - 1) \\ &= (2.0\times10^{-2})(1.50 - 1) \\ &= 1.00\times10^{-2}\ \text{rad} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &= 2d\delta_m \\ &= (2)(0.200\ \text{m})(1.00\times10^{-2}) \\ &= 4.00\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 4.00\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &= 2d\delta_m \\ &= (2)(0.200\ \text{m})(1.00\times10^{-2}) \\ &= 4.00\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 4.00\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)} \\ &= \frac{(1)(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(0.200\ \text{m} + 0.800\ \text{m})}{4.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{6.00\times10^{-7}\ \text{m}^2}{4.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 1.50\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.150\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= \frac{m\lambda(d + s)}{2d\alpha(n - 1)} \\ &= \frac{(1)(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(0.200\ \text{m} + 0.800\ \text{m})}{4.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{6.00\times10^{-7}\ \text{m}^2}{4.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 1.50\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.150\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2s\delta_m &= (2)(0.800\ \text{m})(1.00\times10^{-2}) \\ &= 1.60\times10^{-2}\ \text{m} \\ &= 16.0\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2s\delta_m &= (2)(0.800\ \text{m})(1.00\times10^{-2}) \\ &= 1.60\times10^{-2}\ \text{m} \\ &= 16.0\ \text{mm} \end{aligned} \]

The biprism bends the light by only 0.0100 rad (about 0.57°), yet S1 and S2 are 4.00 mm apart. The bright fringe \(y_1\) is 0.150 mm from the optical axis, which is also the spacing between fringes. The region where fringes form is 16.0 mm wide (\(y\) from −8.00 mm to 8.00 mm, from Eq. (9)), so it holds 107 bright fringes, \(y_{-53}\) to \(y_{53}\). These positions are very small compared with \(d + s\) (1.00 m), so the condition \(y \ll d + s\) holds and Eq. (7) can be used.

biprism เบนแสงเพียง 0.0100 rad (ประมาณ 0.57°) แต่ทำให้ S1 กับ S2 ห่างกัน 4.00 mm fringe สว่าง \(y_1\) อยู่ห่างจาก optical axis 0.150 mm ซึ่งเท่ากับระยะห่างระหว่าง fringe บริเวณที่เกิด fringe กว้าง 16.0 mm (\(y\) ตั้งแต่ −8.00 mm ถึง 8.00 mm จากสมการ (9)) จึงมี fringe สว่าง \(y_{-53}\) ถึง \(y_{53}\) รวม 107 แถบ ตำแหน่งเหล่านี้เล็กมากเมื่อเทียบกับ \(d + s\) (1.00 m) จึงเข้าเงื่อนไข \(y \ll d + s\) และใช้สมการ (7) ได้

3How to use the Fresnel’s biprism visualizationวิธีใช้ visualization Fresnel’s biprism

  • Adjustable values: \(\lambda\) = 380 to 700 nm, \(d\) = 5 to 40 µm, \(\alpha\) = 2 to 30°, \(n\) = 1.30 to 1.90, \(s\) = 20 to 120 µm, \(y\) = −50 to 50 µm. If you type a value outside the range, the page uses the nearest value in the range and shows a note under the box.
  • The page sets the height of the biprism (each half is at least 0.6\(d\) tall and tall enough for the beam from each half to reach beyond the region of wave superposition), and the screen is long enough to catch all the light. A lightly shaded area is the beam from one half only; a more darkly shaded area is the region of wave superposition.
  • The solid lines are the paths of the light from S to the flat face of the biprism and on to P. The dashed lines run back from the point where the light bends to S1 or S2. The angle \(\delta_m\) is shown on path (1), between the original direction of the light (dotted line) and its direction after the biprism.
  • Graph to the right of the screen: \(I\) against the height \(y\) on the screen. The left dashed line is \(I = 0\) and the right dashed line is \(I = 4I_0\). Where light arrives from only one half, \(I = I_0\) (0.25 of \(4I_0\)). The dot on the graph is the value at P, and the dotted lines are the positions \(y_m\) from Eq. (7) inside the region of wave superposition.
  • Moving point P: click point P or the screen and drag along the screen.
  • Results: \(\delta_m\) from Eq. (1) (in °), \(a\) from Eq. (2), \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (from Eq. (4) or (5), as selected), \(I/(4I_0)\) from Eq. (6), the light reaching P and a status label: constructive interference when within \(0.05\lambda\) of the brightest condition, destructive interference when within \(0.05\lambda\) of the darkest condition, between bright and dark otherwise, and no interference when light arrives from only one half.
  • ค่าที่ปรับได้: \(\lambda\) = 380 ถึง 700 nm, \(d\) = 5 ถึง 40 µm, \(\alpha\) = 2 ถึง 30°, \(n\) = 1.30 ถึง 1.90, \(s\) = 20 ถึง 120 µm, \(y\) = −50 ถึง 50 µm ; ถ้าพิมพ์ค่านอกช่วง หน้านี้ใช้ค่าที่ใกล้ที่สุดในช่วงและแสดงหมายเหตุใต้ช่อง
  • ความสูงของ biprism หน้านี้ตั้งให้เอง (แต่ละครึ่งสูงอย่างน้อย 0.6\(d\) และสูงพอให้ลำแสงจากแต่ละครึ่งเลยบริเวณที่คลื่นซ้อนกันออกไป) และฉากยาวพอรับแสงทั้งหมด บริเวณที่แรเงาจางคือลำแสงจากครึ่งเดียว บริเวณที่แรเงาเข้มขึ้นคือบริเวณที่คลื่นซ้อนกัน
  • เส้นทึบคือทางเดินของแสงจาก S ไปผิวเรียบของ biprism แล้วไปถึง P เส้นประคือเส้นที่ย้อนจากจุดที่แสงเบนไปหา S1 หรือ S2 มุม \(\delta_m\) แสดงที่ทาง (1) ระหว่างทิศเดิมของแสง (เส้นจุด) กับทิศหลังผ่าน biprism
  • กราฟทางขวาของฉาก: แสดง \(I\) ตามความสูง \(y\) บนฉาก เส้นประซ้ายคือ \(I = 0\) เส้นประขวาคือ \(I = 4I_0\) บริเวณที่มีแสงจากครึ่งเดียว \(I = I_0\) (0.25 ของ \(4I_0\)) จุดบนกราฟคือค่าที่ P เส้นจุดคือตำแหน่ง \(y_m\) จากสมการ (7) ในบริเวณที่คลื่นซ้อนกัน
  • การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลงตามฉาก
  • Results: \(\delta_m\) จากสมการ (1) (หน่วย °), \(a\) จากสมการ (2), \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (จากสมการ (4) หรือ (5) ตามที่เลือก), \(I/(4I_0)\) จากสมการ (6), แสงที่ไปถึง P และป้ายสถานะ: interference แบบเสริมเมื่ออยู่ห่างจากสว่างที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), แบบหักล้างเมื่ออยู่ห่างจากมืดที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), นอกนั้นอยู่ระหว่างสว่างกับมืด และไม่เกิด interference เมื่อมีแสงจากครึ่งเดียว

Try the visualization in the following order.

ลองใช้งาน visualization ตามลำดับดังนี้

  1. At the start, P is at \(y\) = −6 µm, near the line \(y_{-1}\). What does the status label say? Then drag P to the optical axis (\(y\) = 0). What is \(\Delta\)? Is P bright or dark, and how does this differ from Lloyd’s mirror?
  2. Drag P up until it leaves the darkly shaded area. Which half of the biprism does the light reaching P come from, and what is \(I/(4I_0)\)? Does the edge of the region with fringes match \(s\delta_m\) from Eq. (9)?
  3. Press Reset, then increase \(n\) from 1.50 to 1.80. How much do \(\delta_m\) and \(a\) change? How do S1 and S2 move? How do the fringe spacing and the number of bright fringes on the screen change? Then try reducing \(\alpha\) instead.
  4. Press Reset. At the start, “\(\Delta\) used in the calculation” is Eq. (5). Do the bright fringes on the graph match every \(y_m\) line? Then switch to Eq. (4). How do the bright fringes far from the optical axis change?
  1. ตอนเริ่มต้น P อยู่ที่ \(y\) = −6 µm ใกล้เส้น \(y_{-1}\) ป้ายสถานะเป็นอย่างไร แล้วลาก P ไปที่ optical axis (\(y\) = 0) \(\Delta\) มีค่าเท่าไร P สว่างหรือมืด ต่างจาก Lloyd’s mirror อย่างไร
  2. ลาก P ขึ้นไปจนพ้นบริเวณที่แรเงาเข้ม แสงที่ไปถึง P มาจากครึ่งใดของ biprism \(I/(4I_0)\) เท่าไร ขอบของบริเวณที่เกิด fringe ตรงกับ \(s\delta_m\) จากสมการ (9) หรือไม่
  3. กดปุ่มรีเซ็ต แล้วเพิ่ม \(n\) จาก 1.50 เป็น 1.80 \(\delta_m\) และ \(a\) เปลี่ยนไปเท่าไร S1 กับ S2 เลื่อนอย่างไร ระยะห่างระหว่าง fringe และจำนวน fringe สว่างบนฉากเปลี่ยนไปอย่างไร แล้วลองลด \(\alpha\) แทน
  4. กดปุ่มรีเซ็ต ตอนเริ่มต้น “\(\Delta\) ที่ใช้คำนวณ” เป็นสมการ (5) fringe สว่างบนกราฟตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้นหรือไม่ แล้วลองเปลี่ยนเป็นสมการ (4) fringe สว่างที่อยู่ไกลจาก optical axis เปลี่ยนไปอย่างไร

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: the model of [1] is used, in which every ray leaving the biprism travels as if it came from S1 or S2, as given by Eq. (2); the light from the two halves has the same irradiance at P (\(I_0\)); light reflected at the glass surfaces is ignored; the size of S is not taken into account; the brightness on the screen does not fall off with distance; diffraction of light is not included; and only light that passes through the biprism reaches the screen.
  • In the visualization, \(\alpha\) is tens of degrees and \(d + s\) is only about 100 µm so that the figure and several fringes fit in one view, whereas a real biprism has \(\alpha\) of about 1° [1]. \(\delta_m\) in the visualization is therefore calculated from Eq. (1), following the model. With Eq. (4), the brightness on the screen is calculated with the exact \(\Delta\) from the positions of S1 and S2, so the \(y_m\) lines from Eq. (7) match the bright fringes only near the optical axis. With Eq. (5), the bright fringes match every \(y_m\) line, but the \(\Delta\) used is an approximation.
  • ขอบเขต: ใช้โมเดลของ [1] คือแสงทุกเส้นหลังผ่าน biprism เดินทางเหมือนออกมาจาก S1 หรือ S2 ตามสมการ (2), แสงจากสองครึ่งมี irradiance ที่ P เท่ากัน (\(I_0\)), ไม่คิดแสงที่สะท้อนที่ผิวแก้ว, ไม่ได้คิดขนาดของ S, ความสว่างบนฉากไม่ลดลงตามระยะทาง, ไม่ได้คิดเรื่องการเลี้ยวเบนของแสง และมีเฉพาะแสงที่ผ่าน biprism ที่ไปถึงฉาก
  • ใน visualization \(\alpha\) มีค่าหลายสิบองศาและ \(d + s\) มีค่าเพียงประมาณ 100 µm เพื่อให้เห็นรูปและ fringe หลายแถบในรูปเดียว ส่วน biprism จริงมี \(\alpha\) ประมาณ 1° [1] ค่า \(\delta_m\) ใน visualization จึงคำนวณจากสมการ (1) ตามโมเดล เมื่อเลือกสมการ (4) ความสว่างบนฉากคำนวณด้วย \(\Delta\) จริงจากตำแหน่ง S1, S2 เส้น \(y_m\) จากสมการ (7) จึงตรงกับ fringe สว่างเฉพาะบริเวณใกล้ optical axis ถ้าเลือกสมการ (5) fringe สว่างจะตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้น แต่ \(\Delta\) ที่ใช้เป็นค่าประมาณ
Fresnel’s Biprism — interactive visualization Fresnel’s biprism — interactive visualization
A Fresnel’s biprism in 2-DFresnel’s biprism แบบ 2 มิติ

Δ used in the calculationΔ ที่ใช้คำนวณ

Figure 1 — Light from S passing through the two halves of the biprism to point P (adapted from [1], Fig. 9) รูปที่ 1 — แสงจาก S ที่ผ่านสองครึ่งของ biprism ไปถึงจุด P (ดัดแปลงจาก [1], Fig. 9)

Moving point P: click point P or the screen and drag up or down.การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลง

Scale: d, s, a, y, s₁, s₂ and Δ in µm
wavelength of the drawn waves : λ set = 3 : 1 (Results use λ set)สเกล: d, s, a, y, s₁, s₂ และ Δ หน่วย µm
ความยาวคลื่นของเส้นคลื่นในรูป : λ ที่ตั้ง = 3 : 1 (ผลลัพธ์ใช้ λ ที่ตั้ง)

Resultsผลลัพธ์

δm, Eq. (1) (°)δm สมการ (1) (°) 12.00
a = S1S2 (µm) 8.378
s1 = S1P (µm) 100.518
s2 = S2P (µm) 100.016
Δ, Eq. (5) (µm)Δ สมการ (5) (µm) −0.503
I/(4I0), Eq. (6)I/(4I0) สมการ (6) 1.000
Light reaching Pแสงที่ไปถึง P Upper half + lower halfครึ่งบน + ครึ่งล่าง
Constructive (bright)interference แบบเสริม (สว่าง)

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, p. 175.