Fresnel’s Mirrors Fresnel’s mirrors

Last updated แก้ไขล่าสุด

How do two mirrors set at a small angle turn one point source into two virtual sources, and why is the central fringe bright? กระจกสองแผ่นที่เอียงทำมุมกันเล็กน้อยทำให้แหล่งกำเนิดแสงจุดเดียวกลายเป็น virtual source สองจุดได้อย่างไร และทำไม fringe ที่กึ่งกลางจึงสว่าง

1Introductionบทนำ

If light from a single point source falls on two plane mirrors placed edge to edge at a small angle, do fringes form on a screen, and are they the same as the fringes of Lloyd’s mirror?
Fresnel’s mirrors is an experiment in which light from a point source (S) reflects from two plane mirrors, M1 and M2, which meet at point O and are tilted at a small angle \(\theta\) to each other. The images of S in the two mirrors act as two virtual sources, S1 and S2. Because both parts of the light come from the same source, they combine coherently (the meaning of coherent is explained on the page Two-Beam Interference) and form fringes on the screen in the region of wave superposition. This is the same idea as in Young’s Double-Slit Experiment and Lloyd’s Mirror [1].

ถ้าส่องแสงจาก point source จุดเดียวไปที่กระจกระนาบสองแผ่นที่วางต่อกันและเอียงทำมุมกันเล็กน้อย บนฉากจะเกิด fringe ได้หรือไม่ และ fringe ที่เกิดขึ้นเหมือนกับของ Lloyd’s mirror หรือไม่
Fresnel’s mirrors คือการทดลองที่ให้แสงจาก point source (S) สะท้อนที่กระจกระนาบสองแผ่น M1 และ M2 ซึ่งต่อกันที่จุด O และเอียงทำมุมกันเป็นมุมเล็ก \(\theta\) ทำให้ S มีภาพในกระจกเป็น virtual source S1 และ S2 แสงทั้งสองส่วนมาจากแหล่งเดียวกันจึงรวมกันแบบ coherent (ความหมายของ coherent อธิบายไว้ในหน้า Two-Beam Interference) และเกิด fringe บนฉากในบริเวณที่แสงจากกระจกสองแผ่นซ้อนกัน ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับ Young’s Double-Slit Experiment และ Lloyd’s Mirror [1]

Fresnel’s mirrors differs from Lloyd’s mirror in two ways. First, both parts of the light are reflected light; the direct light from S is blocked so that it cannot reach the screen [1]. Second, the distance between the two virtual sources (\(a\)) is not set directly but depends on the angle \(\theta\) between the mirrors and on the distance \(d\) from S to O.

สิ่งที่ต่างจาก Lloyd’s mirror มี 2 ประการ ประการที่ 1 คือแสงทั้งสองส่วนเป็นแสงสะท้อน ส่วนแสงตรงจาก S ถูกกั้นไว้ไม่ให้ไปถึงฉาก [1] ประการที่ 2 คือระยะห่างระหว่าง virtual source ทั้งสอง (\(a\)) ไม่ได้ตั้งโดยตรง แต่ขึ้นกับมุม \(\theta\) ระหว่างกระจกและระยะ \(d\) จาก S ถึง O

This page has an interactive visualization that shows, in 2-D, the paths of the light from S that reflects from the two mirrors to the screen. You can see how the fringes and the irradiance change when you change the angle between the mirrors, the distance of S and the position of the screen.

หน้านี้มี interactive visualization แสดงภาพ 2 มิติเพื่อแสดงทางเดินของแสงจาก S ที่สะท้อนจากกระจกทั้งสองไปยังฉาก คุณจะได้เห็น fringe และ irradiance ว่าเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเปลี่ยนมุมระหว่างกระจก, ระยะของ S และตำแหน่งฉาก

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Two paths to point Pแสงสองทางที่ไปถึงจุด P

Let \(s_1\) be the distance travelled by the light that reflects at point R1 on mirror M1 and then reaches point P on the screen (path (1) in Figure 1), and \(s_2\) the distance travelled by the light that reflects at point R2 on mirror M2 and then reaches P (path (2)). The path difference between the two paths is [1]

กำหนดให้ \(s_1\) เป็นระยะทางของแสงที่สะท้อนที่จุด R1 บนกระจก M1 แล้วไปถึงจุด P บนฉาก (ทาง (1) ในรูปที่ 1) และ \(s_2\) เป็นระยะทางของแสงที่สะท้อนที่จุด R2 บนกระจก M2 แล้วไปถึง P (ทาง (2)) ผลต่างระยะทาง (path difference) ของแสงสองทางคือ [1]

\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{1} \]
\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{1} \]

S1 is the image of S in mirror M1: it lies on the line drawn from S perpendicular to the line of M1, on the other side of the mirror line and as far from it as S. Every point on the line of M1, including R1, is therefore the same distance from S and from S1 (SR1 = S1R1), and the light reflected from R1 to P lies on the straight line drawn from S1 through R1, just like the virtual source on the Lloyd’s mirror page. For the same reason, S2 is the image of S in mirror M2. This gives

S1 คือภาพของ S ในกระจก M1: อยู่บนเส้นที่ลากจาก S ตั้งฉากกับแนวของ M1 และอยู่อีกด้านหนึ่งของแนวกระจกห่างเท่ากับ S ทุกจุดบนแนวของ M1 รวมทั้ง R1 จึงห่างจาก S และ S1 เท่ากัน (SR1 = S1R1) และแสงสะท้อนจาก R1 ไป P อยู่บนเส้นตรงเดียวกับเส้นที่ลากจาก S1 ผ่าน R1 เหมือนกับ virtual source ในหน้า Lloyd’s mirror ส่วน S2 คือภาพของ S ในกระจก M2 ด้วยเหตุผลเดียวกัน จึงได้

\[ \begin{aligned} s_1 &= \text{SR}_1 + \text{R}_1\text{P} = \text{S}_1\text{R}_1 + \text{R}_1\text{P} = \text{S}_1\text{P} \\ s_2 &= \text{SR}_2 + \text{R}_2\text{P} = \text{S}_2\text{R}_2 + \text{R}_2\text{P} = \text{S}_2\text{P} \end{aligned} \tag{2} \]
\[ \begin{aligned} s_1 &= \text{SR}_1 + \text{R}_1\text{P} = \text{S}_1\text{R}_1 + \text{R}_1\text{P} = \text{S}_1\text{P} \\ s_2 &= \text{SR}_2 + \text{R}_2\text{P} = \text{S}_2\text{R}_2 + \text{R}_2\text{P} = \text{S}_2\text{P} \end{aligned} \tag{2} \]

\(s_1\) and \(s_2\) are therefore the straight-line distances from the virtual sources S1 and S2 to P. Finding the path difference is then the same as for the double slit: two points, S1 and S2, a distance \(a\) apart, send light to point P.

\(s_1\) และ \(s_2\) จึงเท่ากับระยะตรงจาก virtual source S1 และ S2 ถึง P การหาผลต่างระยะทางจึงเหมือนกับ double slit คือมีสองจุด S1 และ S2 ห่างกัน \(a\) ส่งแสงไปยังจุด P

Distance a between S1 and S2ระยะ \(a\) ระหว่าง S1 กับ S2

O lies on the lines of both mirrors. For the same reason that SR1 = S1R1, point O is the same distance from S, S1 and S2: OS = OS1 = OS2 = \(d\). The three points therefore lie on a circle of radius \(d\) centred at O (the dashed arc in Figure 1). Let \(\alpha\) be the angle between OS and the line of M1. The image S1 lies on the other side of the mirror line at the same angle \(\alpha\), so the angle SOS1 is \(2\alpha\). The line of M2, extended beyond O, makes an angle \(\theta\) with the line of M1, so the angle between OS and this line is \(\alpha + \theta\), and the angle SOS2 is \(2(\alpha + \theta)\). The angle between OS1 and OS2 is therefore

O อยู่บนแนวของกระจกทั้งสองแผ่น ด้วยเหตุผลเดียวกับ SR1 = S1R1 จุด O จึงห่างจาก S, S1 และ S2 เท่ากัน คือ OS = OS1 = OS2 = \(d\) จุดทั้งสามจึงอยู่บนวงกลมรัศมี \(d\) ที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง (เส้นประโค้งในรูปที่ 1) ถ้าให้ \(\alpha\) เป็นมุมระหว่าง OS กับแนวของ M1 ภาพ S1 จะอยู่อีกด้านของแนวกระจกที่มุม \(\alpha\) เท่ากัน มุม SOS1 จึงเท่ากับ \(2\alpha\) แนวของ M2 ที่ต่อเลย O ออกไปทำมุม \(\theta\) กับแนวของ M1 มุมระหว่าง OS กับแนวนี้จึงเท่ากับ \(\alpha + \theta\) และมุม SOS2 เท่ากับ \(2(\alpha + \theta)\) จึงได้มุมระหว่าง OS1 กับ OS2 เป็น

\[ \begin{aligned} \angle\text{S}_1\text{OS}_2 &= \angle\text{SOS}_2 - \angle\text{SOS}_1 \\ &= 2(\alpha + \theta) - 2\alpha \\ &= 2\theta \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \angle\text{S}_1\text{OS}_2 &= \angle\text{SOS}_2 - \angle\text{SOS}_1 \\ &= 2(\alpha + \theta) - 2\alpha \\ &= 2\theta \end{aligned} \]

The angle \(2\theta\) does not depend on \(\alpha\), that is, it does not depend on where S is. Triangle S1OS2 has sides OS1 = OS2 = \(d\), so the line that bisects the angle \(2\theta\) is perpendicular to S1S2 at its midpoint and splits the triangle into two right triangles, each with an angle \(\theta\) at O. Half of \(a\) is therefore \(d\sin\theta\), and when \(\theta\) is small (in rad), the small-angle approximation \(\sin\theta \cong \theta\) gives [1]

มุม \(2\theta\) ไม่ขึ้นกับ \(\alpha\) คือไม่ขึ้นกับว่า S อยู่ตรงไหน สามเหลี่ยม S1OS2 มีด้าน OS1 = OS2 = \(d\) เส้นที่แบ่งมุม \(2\theta\) ครึ่งหนึ่งจึงตั้งฉากกับ S1S2 ที่จุดกึ่งกลาง แบ่งสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีมุมที่ O เท่ากับ \(\theta\) จึงได้ครึ่งหนึ่งของ \(a\) เท่ากับ \(d\sin\theta\) และเมื่อ \(\theta\) เล็ก (หน่วย rad) ใช้การประมาณมุมเล็ก \(\sin\theta \cong \theta\) จะได้ [1]

\[ \begin{aligned} a &= 2d\sin\theta \\ &\cong d(2\theta) \end{aligned} \tag{3} \]
\[ \begin{aligned} a &= 2d\sin\theta \\ &\cong d(2\theta) \end{aligned} \tag{3} \]

The line drawn from the midpoint of S1S2 through O to the screen is the optical axis of this experiment. The screen is perpendicular to this line, at a distance \(D\) from O. The midpoint of S1S2 is a distance \(d\cos\theta\) from O, so the distance \(s\) from the virtual sources to the screen, measured along the optical axis, is given by Eq. (4), and when \(\theta\) is small (\(\cos\theta \cong 1\)) it is approximately \(d + D\) [1]

เส้นที่ลากจากจุดกึ่งกลางของ S1S2 ผ่าน O ไปถึงฉากเป็น optical axis ของการทดลองนี้ ฉากตั้งฉากกับเส้นนี้และอยู่ห่างจาก O เป็นระยะ \(D\) จุดกึ่งกลางของ S1S2 อยู่ห่างจาก O เป็นระยะ \(d\cos\theta\) ระยะ \(s\) จาก virtual source ถึงฉาก วัดตาม optical axis จึงเป็นดังสมการ (4) และเมื่อ \(\theta\) เล็ก (\(\cos\theta \cong 1\)) จะประมาณได้เป็น \(d + D\) [1]

\[ \begin{aligned} s &= d\cos\theta + D \\ &\cong d + D \end{aligned} \tag{4} \]
\[ \begin{aligned} s &= d\cos\theta + D \\ &\cong d + D \end{aligned} \tag{4} \]

Path differenceผลต่างระยะทาง

Let \(y\) be the height of P on the screen, measured from the optical axis. Along the optical axis, S1 and S2 are a distance \(s\) from the screen, and they lie a distance \(a/2\) above and below the optical axis. Using the Pythagorean theorem as on the page Lloyd’s Mirror, with \(L\) replaced by \(s\), gives

กำหนดให้ \(y\) คือความสูงของ P บนฉากวัดจาก optical axis ระยะตามแนว optical axis จาก S1 และ S2 ถึงฉากเท่ากับ \(s\) และ S1, S2 อยู่เหนือและใต้ optical axis เป็นระยะ \(a/2\) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเหมือนในหน้า Lloyd’s Mirror โดยแทน \(L\) ด้วย \(s\) จะได้

\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{s^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ s_2 &= \sqrt{s^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{s^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ s_2 &= \sqrt{s^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]

Substituting \(s_1\) and \(s_2\) into Eq. (1) gives

แทน \(s_1\) และ \(s_2\) ในสมการ (1) จะได้

\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{s^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{s^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{5} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{s^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{s^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{5} \]

When \(s\) is much larger than \(a\), the lines S1P and S2P are almost parallel. When P is also close to the optical axis (\(y \ll s\)), the same small-angle approximation as on the page Young’s Double-Slit Experiment can be used, with \(L\) replaced by \(s\). Substituting \(a\) and \(s\) from Eqs. (3) and (4) then gives

เมื่อ \(s\) มากกว่า \(a\) มาก เส้น S1P กับ S2P เกือบขนานกัน และเมื่อ P อยู่ใกล้ optical axis (\(y \ll s\)) ใช้การประมาณมุมเล็กแบบเดียวกับในหน้า Young’s Double-Slit Experiment โดยแทน \(L\) ด้วย \(s\) แล้วแทน \(a\) และ \(s\) จากสมการ (3) และ (4) จะได้

\[ \begin{aligned} \Delta &\cong \frac{ay}{s} \\ &\cong \frac{2d\theta\, y}{d + D} \end{aligned} \tag{6} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &\cong \frac{ay}{s} \\ &\cong \frac{2d\theta\, y}{d + D} \end{aligned} \tag{6} \]

Irradiance at P when S1 and S2 both have an extra phase of πIrradiance ที่ P เมื่อ S1 และ S2 มี phase เพิ่ม \(\pi\) ทั้งคู่

Light travelling in air that reflects from the glass surface of a mirror gains an extra phase of \(\pi\) [1], which has the same effect as making the light travel an extra half wavelength (\(\lambda/2\)). In Lloyd’s mirror only one path is reflected, so this extra phase shifts the fringes by half a fringe spacing. In Fresnel’s mirrors, however, the light on each path reflects once, so S1 and S2 both gain the same extra phase \(\pi\). Replacing \(s_1\) by \(s_1 + \lambda/2\) and \(s_2\) by \(s_2 + \lambda/2\) in Eq. (1), the added parts cancel completely, and the irradiance at P is given by the same equation as for Young’s experiment [1]

แสงที่เดินทางในอากาศแล้วสะท้อนที่ผิวแก้วของกระจกมี phase เพิ่มขึ้น \(\pi\) [1] ซึ่งให้ผลเหมือนแสงเดินทางไกลขึ้นอีกครึ่งความยาวคลื่น (\(\lambda/2\)) ใน Lloyd’s mirror มีแสงสะท้อนเพียงทางเดียว phase ที่เพิ่มจึงทำให้ fringe เลื่อนไปครึ่งช่วง แต่ใน Fresnel’s mirrors แสงทั้งสองทางสะท้อนคนละหนึ่งครั้ง S1 และ S2 จึงมี phase เพิ่ม \(\pi\) เท่ากัน แทน \(s_1\) ด้วย \(s_1 + \lambda/2\) และ \(s_2\) ด้วย \(s_2 + \lambda/2\) ในสมการ (1) ส่วนที่เพิ่มหักล้างกันหมด irradiance ที่ P จึงเป็นสมการเดียวกับของ Young [1]

\[ \begin{aligned} I &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\left[(s_2 + \lambda/2) - (s_1 + \lambda/2)\right]}{\lambda}\right) \\ &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \end{aligned} \tag{7} \]
\[ \begin{aligned} I &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\left[(s_2 + \lambda/2) - (s_1 + \lambda/2)\right]}{\lambda}\right) \\ &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \end{aligned} \tag{7} \]

Here \(I_0\) is the irradiance at P when light arrives along only one path.

เมื่อ \(I_0\) คือ irradiance ที่ P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียว

Positions of the bright and dark fringesตำแหน่งของ fringe สว่างและ fringe มืด

A bright fringe occurs where \(\cos^2\) equals 1, that is, where the angle in the brackets of Eq. (7) is a whole-number multiple of \(\pi\). Substituting \(\Delta\) from Eq. (6) and solving for \(y\) step by step gives

fringe สว่างเกิดเมื่อ \(\cos^2\) เท่ากับ 1 คือมุมในวงเล็บของสมการ (7) เป็นจำนวนเต็มเท่าของ \(\pi\) แทน \(\Delta\) จากสมการ (6) แล้วจัดรูปหา \(y\) ทีละขั้นได้ดังนี้

\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{2d\theta\, y}{s} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda s}{2d\theta} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{2d\theta\, y}{s} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda s}{2d\theta} \end{aligned} \]

The positions of the bright fringes are therefore [1]

ตำแหน่งของ fringe สว่างจึงเขียนเป็น [1]

\[ y_m = m\,\frac{\lambda s}{2d\theta}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{8} \]
\[ y_m = m\,\frac{\lambda s}{2d\theta}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{8} \]

\(y_m\) is the position of the bright fringe of order m, measured from the optical axis. Fringes form both above and below the optical axis, so \(m\) can be positive or negative. On the optical axis (\(y_0 = 0\)) the two paths have the same length (\(\Delta = 0\)) and the fringe is bright, unlike Lloyd’s mirror, where the fringe at \(\Delta = 0\) is dark. A dark fringe occurs where the angle in the brackets is a whole number plus one half times \(\pi\); rearranging in the same way gives

\(y_m\) คือตำแหน่งของ fringe สว่าง order m วัดจาก optical axis fringe เกิดได้ทั้งด้านบนและด้านล่างของ optical axis \(m\) จึงเป็นได้ทั้งบวกและลบ ที่ optical axis (\(y_0 = 0\)) แสงสองทางเดินทางไกลเท่ากัน (\(\Delta = 0\)) และเป็น fringe สว่าง ต่างจาก Lloyd’s mirror ที่ fringe ตรง \(\Delta = 0\) มืด fringe มืดเกิดเมื่อมุมในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มบวกครึ่งเท่าของ \(\pi\) จัดรูปแบบเดียวกันได้

\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda s}{2d\theta}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{9} \]
\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda s}{2d\theta}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{9} \]

The spacing between neighbouring fringes is \(\lambda s/(2d\theta)\). When the angle \(\theta\) between the mirrors becomes smaller, S1 and S2 move closer together and the fringes spread farther apart. Equations (6), (8) and (9) hold only when \(\theta\) is small and \(y \ll s\).

ระยะห่างระหว่าง fringe ที่อยู่ติดกันเท่ากับ \(\lambda s/(2d\theta)\) เมื่อมุม \(\theta\) ระหว่างกระจกเล็กลง S1 กับ S2 เข้าใกล้กันและ fringe ห่างกันมากขึ้น สมการ (6), (8) และ (9) ใช้ได้เมื่อ \(\theta\) เล็กและ \(y \ll s\)

Region of wave superpositionบริเวณที่แสงจากกระจกสองแผ่นซ้อนกัน

Fringes form only where the light from M1 and the light from M2 arrive together [1]. The light from M1 appears to come from S1 through mirror M1, and one edge of this beam is the line drawn from S1 through O. In the same way, one edge of the beam from M2 is the line drawn from S2 through O. These two lines make an angle \(\theta\) with the optical axis on opposite sides (half of the angle \(2\theta\)). If the mirrors are long enough, the region of wave superposition on the screen is therefore

fringe เกิดเฉพาะบริเวณที่แสงจาก M1 และ M2 ไปถึงพร้อมกัน [1] แสงจาก M1 เหมือนออกมาจาก S1 ผ่านกระจก M1 ขอบด้านหนึ่งของลำแสงนี้คือเส้นที่ลากจาก S1 ผ่าน O ในทำนองเดียวกัน ขอบด้านหนึ่งของลำแสงจาก M2 คือเส้นที่ลากจาก S2 ผ่าน O เส้นทั้งสองทำมุม \(\theta\) กับ optical axis คนละด้าน (ครึ่งหนึ่งของมุม \(2\theta\)) ถ้ากระจกยาวพอ บริเวณที่ลำแสงซ้อนกันบนฉากจึงอยู่ระหว่าง

\[ \begin{aligned} -D\tan\theta \le y &\le D\tan\theta \end{aligned} \tag{10} \]
\[ \begin{aligned} -D\tan\theta \le y &\le D\tan\theta \end{aligned} \tag{10} \]

Outside this region the screen receives light from only one mirror (\(I = I_0\)) or no light at all, because the direct light from S is blocked.

นอกบริเวณนี้มีแสงจากกระจกแผ่นเดียว (\(I = I_0\)) หรือไม่มีแสงเลย เพราะแสงตรงจาก S ถูกกั้นไว้

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(s_1\)(1), (2), (5), (7)Path length from S to point P via reflection at R1 on mirror M1 (S1P)ระยะทางจาก S ถึงจุด P โดยสะท้อนที่จุด R1 บนกระจก M1 (S1P)m
\(s_2\)(1), (2), (5), (7)Path length from S to point P via reflection at R2 on mirror M2 (S2P)ระยะทางจาก S ถึงจุด P โดยสะท้อนที่จุด R2 บนกระจก M2 (S2P)m
\(\Delta\)(1), (5)–(7)Path differenceผลต่างระยะทาง (path difference)m
\(d\)(3), (4), (6), (8), (9)Distance from S to O (where the two mirrors meet), equal to the distance from O to S1 and to S2ระยะจาก S ถึง O (จุดที่กระจกสองแผ่นต่อกัน) เท่ากับระยะจาก O ถึง S1 และ S2m
\(\theta\)(3), (4), (6), (8)–(10)Angle between mirrors M1 and M2มุมระหว่างกระจก M1 กับ M2rad
\(\alpha\)–Angle between OS and the line of M1 (used only to find the angle \(2\theta\))มุมระหว่าง OS กับแนวของ M1 (ใช้หามุม \(2\theta\) เท่านั้น)rad
\(a\)(3), (5), (6)Distance between S1 and S2ระยะห่างระหว่าง S1 กับ S2m
\(D\)(4), (6), (10)Distance from O to the screen, measured along the optical axisระยะจาก O ถึงฉาก วัดตาม optical axism
\(s\)(4)–(6), (8), (9)Distance from the virtual sources to the screen, measured along the optical axisระยะจาก virtual source ถึงฉาก วัดตาม optical axism
\(y\)(5), (6), (9), (10)Height of point P on the screen, measured from the optical axisความสูงของจุด P บนฉาก วัดจาก optical axism
\(I\)(7)Irradiance at point Pirradiance ที่จุด PW/m²
\(I_0\)(7)Irradiance at point P when light arrives along only one pathirradiance ที่จุด P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียวW/m²
\(\lambda\)(7)–(9)Wavelengthความยาวคลื่นm
\(m\)(8), (9)Order (m) of the fringe: 0, ±1, ±2, …order (m) ของ fringe: 0, ±1, ±2, …–
\(y_m\)(8)Position of the bright fringe of order m, measured from the optical axisตำแหน่งของ fringe สว่าง order m วัดจาก optical axism

Worked example — fringe positionsตัวอย่างการคำนวณ — ตำแหน่งของ fringe

Two mirrors are set at an angle \(\theta = 0.0020\) rad (about 0.11°) to each other. A point source a distance \(d = 0.200\) m from O emits light of wavelength \(\lambda = 600\) nm, and the screen is a distance \(D = 1.00\) m from O. Find the distance \(a\) between S1 and S2, the position \(y_1\) of the bright fringe, and the width of the region where fringes form.

กระจกสองแผ่นทำมุมกัน \(\theta = 0.0020\) rad (ประมาณ 0.11°) point source อยู่ห่างจาก O เป็นระยะ \(d = 0.200\) m ให้แสงความยาวคลื่น \(\lambda = 600\) nm และฉากอยู่ห่างจาก O เป็นระยะ \(D = 1.00\) m หาระยะห่าง \(a\) ระหว่าง S1 กับ S2, ตำแหน่ง \(y_1\) ของ fringe สว่าง และความกว้างของบริเวณที่เกิด fringe

\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &\cong d(2\theta) \\ &= (0.200\ \text{m})(2)(2.0\times10^{-3}) \\ &= 8.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.800\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &\cong d(2\theta) \\ &= (0.200\ \text{m})(2)(2.0\times10^{-3}) \\ &= 8.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.800\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s &\cong d + D \\ &= 0.200\ \text{m} + 1.00\ \text{m} \\ &= 1.20\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s &\cong d + D \\ &= 0.200\ \text{m} + 1.00\ \text{m} \\ &= 1.20\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= m\,\frac{\lambda s}{2d\theta} \\ &= (1)\frac{(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(1.20\ \text{m})}{8.00\times10^{-4}\ \text{m}} \\ &= \frac{7.20\times10^{-7}\ \text{m}^2}{8.00\times10^{-4}\ \text{m}} \\ &= 9.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.900\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= m\,\frac{\lambda s}{2d\theta} \\ &= (1)\frac{(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(1.20\ \text{m})}{8.00\times10^{-4}\ \text{m}} \\ &= \frac{7.20\times10^{-7}\ \text{m}^2}{8.00\times10^{-4}\ \text{m}} \\ &= 9.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.900\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2D\theta &= (2)(1.00\ \text{m})(2.0\times10^{-3}) \\ &= 4.00\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 4.00\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2D\theta &= (2)(1.00\ \text{m})(2.0\times10^{-3}) \\ &= 4.00\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 4.00\ \text{mm} \end{aligned} \]

S1 and S2 are only 0.800 mm apart, even though S is 0.200 m from O. The bright fringe \(y_1\) is 0.900 mm from the optical axis, which is also the spacing between fringes. The region where fringes form is about 4.00 mm wide (\(y\) from −2.00 mm to 2.00 mm, from Eq. (10)), so it holds 5 bright fringes, \(y_{-2}\) to \(y_2\). These positions are very small compared with \(s\) (1.20 m), so the condition \(y \ll s\) holds and Eq. (8) can be used.

S1 กับ S2 ห่างกันเพียง 0.800 mm ทั้งที่ S อยู่ห่างจาก O ถึง 0.200 m ส่วน fringe สว่าง \(y_1\) อยู่ห่างจาก optical axis 0.900 mm ซึ่งเท่ากับระยะห่างระหว่าง fringe บริเวณที่เกิด fringe กว้างประมาณ 4.00 mm (\(y\) ตั้งแต่ −2.00 mm ถึง 2.00 mm จากสมการ (10)) จึงมี fringe สว่าง \(y_{-2}\) ถึง \(y_2\) รวม 5 แถบ ตำแหน่งเหล่านี้เล็กมากเมื่อเทียบกับ \(s\) (1.20 m) จึงเข้าเงื่อนไข \(y \ll s\) และใช้สมการ (8) ได้

3How to use the Fresnel’s mirrors visualizationวิธีใช้ visualization Fresnel’s mirrors

  • Adjustable values: \(\lambda\) = 380 to 700 nm, \(d\) = 5 to 30 µm, \(\theta\) = 2 to 15°, \(D\) = 10 to 60 µm, \(y\) = −20 to 20 µm. If you type a value outside the range, the page uses the nearest value in the range and shows a note under the box.
  • The page sets the lengths of both mirrors so that the beam from each mirror reaches a little beyond the region of wave superposition. A lightly shaded area is the beam from one mirror only; a more darkly shaded area is the region of wave superposition. The direct light from S is blocked, so it is not drawn.
  • Graph to the right of the screen: \(I\) against the height \(y\) on the screen. The left dashed line is \(I = 0\) and the right dashed line is \(I = 4I_0\). Where light arrives from only one mirror, \(I = I_0\) (0.25 of \(4I_0\)). The dot on the graph is the value at P, and the dotted lines are the positions \(y_m\) from Eq. (8) inside the region of wave superposition.
  • Moving point P: click point P or the screen and drag along the screen.
  • Results: \(a\) = S1S2 (from \(2d\sin\theta\)), \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (from Eq. (5) or (6), as selected), \(I/(4I_0)\) from Eq. (7), the light reaching P and a status label: constructive interference when within \(0.05\lambda\) of the brightest condition, destructive interference when within \(0.05\lambda\) of the darkest condition, between bright and dark otherwise, and no interference when light arrives from only one mirror.
  • ค่าที่ปรับได้: \(\lambda\) = 380 ถึง 700 nm, \(d\) = 5 ถึง 30 µm, \(\theta\) = 2 ถึง 15°, \(D\) = 10 ถึง 60 µm, \(y\) = −20 ถึง 20 µm ; ถ้าพิมพ์ค่านอกช่วง หน้านี้ใช้ค่าที่ใกล้ที่สุดในช่วงและแสดงหมายเหตุใต้ช่อง
  • ความยาวกระจกทั้งสองแผ่นหน้านี้ตั้งให้เอง ให้ลำแสงจากกระจกแต่ละแผ่นเลยบริเวณที่ซ้อนกันออกไปเล็กน้อย บริเวณที่แรเงาจางคือลำแสงจากกระจกแผ่นเดียว บริเวณที่แรเงาเข้มขึ้นคือบริเวณที่ลำแสงทั้งสองซ้อนกัน แสงตรงจาก S ถูกกั้นไว้ จึงไม่ได้วาด
  • กราฟทางขวาของฉาก: แสดง \(I\) ตามความสูง \(y\) บนฉาก เส้นประซ้ายคือ \(I = 0\) เส้นประขวาคือ \(I = 4I_0\) บริเวณที่มีแสงจากกระจกแผ่นเดียว \(I = I_0\) (0.25 ของ \(4I_0\)) จุดบนกราฟคือค่าที่ P เส้นจุดคือตำแหน่ง \(y_m\) จากสมการ (8) ในบริเวณที่ลำแสงซ้อนกัน
  • การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลงตามฉาก
  • Results: \(a\) = S1S2 (จาก \(2d\sin\theta\)), \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (จากสมการ (5) หรือ (6) ตามที่เลือก), \(I/(4I_0)\) จากสมการ (7), แสงที่ไปถึง P และป้ายสถานะ: interference แบบเสริมเมื่ออยู่ห่างจากสว่างที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), แบบหักล้างเมื่ออยู่ห่างจากมืดที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), นอกนั้นอยู่ระหว่างสว่างกับมืด และไม่เกิด interference เมื่อมีแสงจากกระจกแผ่นเดียว

Try the visualization in the following order.

ลองใช้งาน visualization ตามลำดับดังนี้

  1. At the start, P is at \(y\) = −6.39 µm, near the line \(y_{-3}\). What does the status label say? Then drag P to the optical axis (\(y\) = 0). What is \(\Delta\)? Is P bright or dark, and how does this differ from M′ in Lloyd’s mirror?
  2. Drag P up until it leaves the darkly shaded area. Which mirror does the light reaching P come from, and what is \(I/(4I_0)\)? Does the edge of the region with fringes match \(D\tan\theta\) from Eq. (10)?
  3. Press Reset, then reduce \(\theta\) from 15° to 6°. How do S1 and S2 move? How do the fringe spacing and the number of bright fringes on the screen change?
  4. Press Reset. At the start, “\(\Delta\) used in the calculation” is Eq. (6). Do the bright fringes on the graph match every \(y_m\) line? Then switch to Eq. (5). How do the bright fringes far from the optical axis change?
  1. ตอนเริ่มต้น P อยู่ที่ \(y\) = −6.39 µm ใกล้เส้น \(y_{-3}\) ป้ายสถานะเป็นอย่างไร แล้วลาก P ไปที่ optical axis (\(y\) = 0) \(\Delta\) มีค่าเท่าไร P สว่างหรือมืด ต่างจาก M′ ของ Lloyd’s mirror อย่างไร
  2. ลาก P ขึ้นไปจนพ้นบริเวณที่แรเงาเข้ม แสงที่ไปถึง P มาจากกระจกแผ่นใด \(I/(4I_0)\) เท่าไร ขอบของบริเวณที่เกิด fringe ตรงกับ \(D\tan\theta\) จากสมการ (10) หรือไม่
  3. กดปุ่มรีเซ็ต แล้วลด \(\theta\) จาก 15° เป็น 6° S1 กับ S2 เลื่อนอย่างไร ระยะห่างระหว่าง fringe และจำนวน fringe สว่างบนฉากเปลี่ยนไปอย่างไร
  4. กดปุ่มรีเซ็ต ตอนเริ่มต้น “\(\Delta\) ที่ใช้คำนวณ” เป็นสมการ (6) fringe สว่างบนกราฟตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้นหรือไม่ แล้วลองเปลี่ยนเป็นสมการ (5) fringe สว่างที่อยู่ไกลจาก optical axis เปลี่ยนไปอย่างไร

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: the light from the two mirrors has the same irradiance at P (\(I_0\)), the mirrors reflect all the light, the size of S is not taken into account, the brightness on the screen does not fall off with distance, diffraction of light is not included, and the direct light from S does not reach the screen.
  • In the visualization, \(\theta\) is several degrees and \(s\) is only a few tens of µm so that several fringes fit in one figure, so the conditions \(\theta\) small and \(y \ll s\) do not hold. With Eq. (5), the brightness on the screen is calculated with the exact \(\Delta\) from \(a = 2d\sin\theta\) and \(s = d\cos\theta + D\), so the \(y_m\) lines from Eq. (8), which use \(2d\theta\) and \(d + D\), match the bright fringes only near the optical axis. With Eq. (6), the bright fringes match every \(y_m\) line, but the \(\Delta\) used is an approximation.
  • ขอบเขต: แสงจากกระจกทั้งสองแผ่นมี irradiance ที่ P เท่ากัน (\(I_0\)) กระจกสะท้อนแสงทั้งหมด ไม่ได้คิดขนาดของ S ความสว่างบนฉากไม่ลดลงตามระยะทาง ไม่ได้คิดเรื่องการเลี้ยวเบนของแสง และแสงตรงจาก S ไม่ไปถึงฉาก
  • ใน visualization มุม \(\theta\) มีค่าหลายองศาและ \(s\) มีค่าเพียงไม่กี่สิบ µm เพื่อให้เห็น fringe หลายแถบในรูปเดียว จึงไม่เป็นไปตาม \(\theta\) เล็กและ \(y \ll s\) เมื่อเลือกสมการ (5) ความสว่างบนฉากคำนวณด้วย \(\Delta\) จริงจาก \(a = 2d\sin\theta\) และ \(s = d\cos\theta + D\) เส้น \(y_m\) จากสมการ (8) ซึ่งใช้ \(2d\theta\) และ \(d + D\) จึงตรงกับ fringe สว่างเฉพาะบริเวณใกล้ optical axis ถ้าเลือกสมการ (6) fringe สว่างจะตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้น แต่ \(\Delta\) ที่ใช้เป็นค่าประมาณ
Fresnel’s Mirrors — interactive visualization Fresnel’s mirrors — interactive visualization
A Fresnel’s mirrors in 2-DFresnel’s mirrors แบบ 2 มิติ

Δ used in the calculationΔ ที่ใช้คำนวณ

Figure 1 — Light from S reflected by the two mirrors to point P (adapted from [1], Fig. 8) รูปที่ 1 — แสงจาก S ที่สะท้อนจากกระจกสองแผ่นไปถึงจุด P (ดัดแปลงจาก [1], Fig. 8)

Moving point P: click point P or the screen and drag up or down.การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลง

S is at 25° above the line of M1 (fixed)S ทำมุม 25° กับแนวของ M1 (คงที่)

Scale: d, D, a, y, s₁, s₂ and Δ in µm
wavelength of the drawn waves : λ set = 3 : 1 (Results use λ set)สเกล: d, D, a, y, s₁, s₂ และ Δ หน่วย µm
ความยาวคลื่นของเส้นคลื่นในรูป : λ ที่ตั้ง = 3 : 1 (ผลลัพธ์ใช้ λ ที่ตั้ง)

Resultsผลลัพธ์

a = S1S2 (µm) 14.494
s1 = S1P (µm) 62.063
s2 = S2P (µm) 60.552
Δ, Eq. (6) (µm)Δ สมการ (6) (µm) −1.523
I/(4I0), Eq. (7)I/(4I0) สมการ (7) 0.979
Light reaching Pแสงที่ไปถึง P From M1 + from M2จาก M1 + จาก M2
Constructive (bright)interference แบบเสริม (สว่าง)

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 174–175.