Lloyd’s Mirror Lloyd’s mirror

Last updated แก้ไขล่าสุด

How can one point source and one mirror produce fringes, and why is the fringe at the edge of the mirror dark? แหล่งกำเนิดแสงจุดเดียวกับกระจกหนึ่งแผ่นทำให้เกิด fringe ได้อย่างไร และทำไม fringe ที่ขอบกระจกจึงมืด

1Introductionบทนำ

Can a single point source and its own reflection combine to produce fringes, and is this the same as Young’s double-slit experiment?
Lloyd’s mirror is an experiment that takes the light from a point source (S) and uses reflection from a plane mirror MM′ to create a new point source, called the virtual source (S′). Light from both sources travels to the screen, and interference occurs on the screen. Because both parts of the light come from the same source, they combine coherently (the meaning of coherent is explained on the page Two-Beam Interference) and form fringes on the screen, the same idea as in Young’s Double-Slit Experiment. Lloyd’s mirror differs from the double slit in two ways: first, the two sources start with different phases; second, fringes can form only where the reflected light can reach.

แหล่งกำเนิดแสงเพียงจุดเดียวกับจุดสะท้อนของแหล่งกำเนิดแสงนั้น รวมกันได้ fringe หรือไม่ และเหมือนกับการทดลอง double slit ของ Young หรือไม่
Lloyd’s mirror คือการทดลองนำแสงจาก point source (S) และใช้การสะท้อนจากกระจกระนาบ MM′ เพื่อให้เกิด point source ใหม่ ซึ่ง source ที่เกิดนี้เรียกว่า virtual source (S′) เมื่อแสงทั้งสองเดินทางไปที่ฉากเหมือนกัน จึงเกิด interference บนฉาก โดยที่แสงทั้งสองส่วนนี้มาจากแหล่งเดียวกันจึงรวมกันแบบ coherent (ความหมายของ coherent อธิบายไว้ในหน้า Two-Beam Interference) และเกิด fringe บนฉาก ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับ Young’s Double-Slit Experiment สิ่งที่ต่างจาก double slit มี 2 ประการ ประการที่ 1 คือ phase เริ่มต้นของ 2 source ต่างกัน ประการที่ 2 คือบริเวณการเกิด fringe จะเกิดได้ก็ต่อเมื่อแสงสะท้อนสามารถเดินทางไปถึงได้

This page has an interactive visualization that shows, in 2-D, the paths of light from the point source and the virtual source to the screen. You can see how the fringes and the irradiance change when you move the screen, the source and the mirror.

หน้านี้มี interactive visualization แสดงภาพ 2 มิติเพื่อแสดงทางเดินของแสงจาก point source และ virtual source ไปยังฉาก คุณจะได้เห็น fringe และ irradiance ว่าเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเลื่อนตำแหน่งฉาก, ตำแหน่ง source และตำแหน่งกระจก

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Two paths to point Pแสงสองทางที่ไปถึงจุด P

Let \(s_1\) be the distance the light travels from S straight to point P on the screen, and \(s_2\) the distance travelled by the light that reflects at point R on the mirror before reaching P. The path difference between the two paths is [1]

กำหนดให้ \(s_1\) เป็นระยะทางที่แสงเดินจาก S ตรงไปยังจุด P บนฉาก และ \(s_2\) เป็นระยะทางของแสงที่สะท้อนที่จุด R บนกระจกก่อนไปถึง P ผลต่างระยะทาง (path difference) ของแสงสองทางคือ [1]

\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{1} \]
\[ \Delta = s_2 - s_1 \tag{1} \]

S′ lies directly below S on the line perpendicular to the mirror, and is as far below the mirror surface as S is above it. Every point on the mirror surface, including R, is therefore the same distance from S and from S′ (SR = S′R), and the light reflected from R to P lies on the straight line drawn from S′ through R. This gives

S′ อยู่ใต้ S ในแนวตั้งฉากกับกระจก และอยู่ห่างจากผิวกระจกเท่ากับ S จุดใดๆ บนผิวกระจก รวมทั้ง R จึงห่างจาก S และ S′ เท่ากัน (SR = S′R) และแสงสะท้อนจาก R ไป P อยู่บนเส้นตรงเดียวกับเส้นที่ลากจาก S′ ผ่าน R จึงได้

\[ \begin{aligned} s_2 &= \text{SR} + \text{RP} \\ &= \text{S}'\text{R} + \text{RP} \\ &= \text{S}'\text{P} \end{aligned} \tag{2} \]
\[ \begin{aligned} s_2 &= \text{SR} + \text{RP} \\ &= \text{S}'\text{R} + \text{RP} \\ &= \text{S}'\text{P} \end{aligned} \tag{2} \]

\(s_2\) is therefore the straight-line distance from the virtual source S′ to P. Finding the path difference is then the same as for S1 and S2 in the double slit: two points, S and S′, a distance \(a\) apart, send light to point P.

\(s_2\) จึงเท่ากับระยะจาก virtual source S′ ถึง P โดยตรง การหาผลต่างระยะทางจึงเหมือนกับ S1 และ S2 ของ double slit คือมีสองจุด S และ S′ ห่างกัน \(a\) ส่งแสงไปยังจุด P

Path differenceผลต่างระยะทาง

The distances \(s_1\) and \(s_2\) to point P are found with the Pythagorean theorem in the coordinate system of Figure 1. Let O be the point on the mirror plane halfway between S and S′, and take it as the origin (0, 0). The \(x\) axis runs along the mirror plane towards the screen, and the \(y\) axis is perpendicular to the mirror plane. \(L\) is the distance from O to the screen, and \(y\) is the height of P above the mirror plane. This gives
S at \((0,\ a/2)\)
S′ at \((0,\ -a/2)\) and
P at \((L,\ y)\), so the equations for \(s_1\) and \(s_2\) are

การหาระยะ \(s_1\) และ \(s_2\) ที่เดินทางไปถึงจุด P ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในระบบพิกัดของรูปที่ 1 โดยกำหนดให้ O เป็นจุดบนระนาบกระจกที่อยู่กึ่งกลางระหว่าง S กับ S′ และเป็นจุดกำเนิด (0, 0) แกน \(x\) อยู่ตามระนาบกระจกไปทางฉาก แกน \(y\) ตั้งฉากกับระนาบกระจก \(L\) คือระยะจาก O ถึงฉาก และ \(y\) คือความสูงของ P วัดจากระนาบกระจก จะได้
S อยู่ที่ \((0,\ a/2)\)
S′ อยู่ที่ \((0,\ -a/2)\) และ
P อยู่ที่ \((L,\ y)\) เขียนสมการหาระยะ \(s_1\) และ \(s_2\) ได้เป็น

\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{(L - 0)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s_1 &= \sqrt{(L - 0)^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s_2 &= \sqrt{(L - 0)^2 + \left(y - \left(-\tfrac{a}{2}\right)\right)^2} \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} s_2 &= \sqrt{(L - 0)^2 + \left(y - \left(-\tfrac{a}{2}\right)\right)^2} \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \]

Substituting \(s_1\) and \(s_2\) into Eq. (1) gives

แทน \(s_1\) และ \(s_2\) ในสมการ (1) จะได้

\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{L^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{3} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &= \sqrt{L^2 + \left(y + \tfrac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{L^2 + \left(y - \tfrac{a}{2}\right)^2} \end{aligned} \tag{3} \]

Path difference when the screen is far away (\(y \ll L\))ผลต่างระยะทางเมื่อฉากอยู่ไกล (\(y \ll L\))

The mirror plane extended through O to the screen is the optical axis (OX), and \(\theta\) is the angle between OX and the line OP. When \(L\) is much larger than \(a\), the lines SP and S′P are almost parallel, so the extra length of S′P compared with SP can be approximated as \(a\sin\theta\), as on the page Young’s Double-Slit Experiment [1]. When P is close to the mirror plane (\(y \ll L\)), the small-angle approximation \(\sin\theta \cong \tan\theta = y/L\) gives

ระนาบกระจกที่ลากผ่าน O ต่อไปถึงฉากเป็น optical axis (OX) และ \(\theta\) คือมุมระหว่าง OX กับเส้น OP เมื่อ \(L\) มากกว่า \(a\) มาก เส้น SP กับ S′P เกือบขนานกัน ส่วนที่ S′P ยาวกว่า SP จึงประมาณได้เป็น \(a\sin\theta\) เหมือนในหน้า Young’s Double-Slit Experiment [1] และเมื่อ P อยู่ใกล้ระนาบกระจก (\(y \ll L\)) ใช้การประมาณมุมเล็ก \(\sin\theta \cong \tan\theta = y/L\) จะได้

\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &\cong a\sin\theta \\ &\cong a\tan\theta \\ &= \frac{ay}{L} \end{aligned} \tag{4} \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= s_2 - s_1 \\ &\cong a\sin\theta \\ &\cong a\tan\theta \\ &= \frac{ay}{L} \end{aligned} \tag{4} \]

Irradiance at P when S′ has an extra phase of πIrradiance ที่ P เมื่อ S′ มี phase เพิ่ม \(\pi\)

If S and S′ sent out light in phase, the light from the two would combine like the light from Young’s two holes, giving the irradiance at P [1]

ถ้า S และ S′ ส่งแสงที่มี phase ตรงกัน แสงจากทั้งสองจะรวมกันเหมือนแสงจากสองรูของ Young ซึ่งมี irradiance ที่ P เป็น [1]

\[ I = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \tag{5} \]
\[ I = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda}\right) \tag{5} \]

Here \(I_0\) is the irradiance at P when light arrives along only one path. However, light travelling in air that reflects from the glass surface of the mirror gains an extra phase of \(\pi\) [1]. The reflected light therefore appears to come from a virtual source S′ whose phase differs from that of S by \(\pi\). This difference shifts the wave by half a cycle, which has the same effect as making the light from S′ travel an extra half wavelength. So \(\Delta\) in Eq. (5) is replaced by \(\Delta + \lambda/2\):

เมื่อ \(I_0\) คือ irradiance ที่ P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียว ส่วนแสงที่เดินทางในอากาศแล้วสะท้อนที่ผิวแก้วของกระจกมี phase เพิ่มขึ้น \(\pi\) [1] แสงสะท้อนจึงเหมือนออกมาจาก virtual source S′ ที่มี phase ต่างจาก S อยู่ \(\pi\) ซึ่งความต่างนี้คือคลื่นเคลื่อนต่างกันไปครึ่งรอบ ให้ผลเหมือนแสงจาก S′ เดินทางไกลขึ้นอีกครึ่งความยาวคลื่น จึงแทน \(\Delta\) ในสมการ (5) ด้วย \(\Delta + \lambda/2\)

\[ \begin{aligned} I &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi(\Delta + \lambda/2)}{\lambda}\right) \\ &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2}\right) \end{aligned} \tag{6} \]
\[ \begin{aligned} I &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi(\Delta + \lambda/2)}{\lambda}\right) \\ &= 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2}\right) \end{aligned} \tag{6} \]

Positions of the dark and bright fringesตำแหน่งของ fringe มืดและ fringe สว่าง

A dark fringe occurs where \(\cos^2\) equals 0, that is, where the angle in the brackets of Eq. (6) is a whole number plus one half times \(\pi\). Substituting \(\Delta\) from Eq. (4) and solving for \(y\) step by step gives

fringe มืดเกิดเมื่อ \(\cos^2\) เท่ากับ 0 คือมุมในวงเล็บของสมการ (6) เป็นจำนวนเต็มบวกครึ่งเท่าของ \(\pi\) แทน \(\Delta\) จากสมการ (4) แล้วจัดรูปหา \(y\) ทีละขั้นได้ดังนี้

\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\pi \\ \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{L} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda L}{a} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\pi \\ \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{L} &= m\lambda \\ y &= \frac{m\lambda L}{a} \end{aligned} \]

The positions of the dark fringes are therefore

ตำแหน่งของ fringe มืดจึงเขียนเป็น

\[ y_m = \frac{m\lambda L}{a}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{7} \]
\[ y_m = \frac{m\lambda L}{a}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{7} \]

\(y_m\) is the position of the dark fringe of order m, measured from the mirror plane. In Lloyd’s mirror there is light only above the mirror, so \(m\) takes only the values 0, 1, 2, …. At M′ (\(y_0 = 0\)) the two paths have the same length (\(\Delta = 0\)), yet the fringe is dark, because the phase of S′ differs from that of S by \(\pi\) [1]. A bright fringe occurs where \(\cos^2\) equals 1, that is, where the angle in the brackets is a whole-number multiple of \(\pi\). Writing this multiple as \((m+1)\pi\), so that \(m = 0\) is the first bright fringe, and solving step by step:

\(y_m\) คือตำแหน่งของ fringe มืด order m วัดจากระนาบกระจก ใน Lloyd’s mirror มีแสงเฉพาะด้านบนของกระจก \(m\) จึงเป็น 0, 1, 2, … เท่านั้น ที่ M′ (\(y_0 = 0\)) แสงสองทางเดินทางไกลเท่ากัน (\(\Delta = 0\)) แต่เป็น fringe มืด เพราะ S′ มี phase ต่างจาก S อยู่ \(\pi\) [1] ส่วน fringe สว่างเกิดเมื่อ \(\cos^2\) เท่ากับ 1 คือมุมในวงเล็บเป็นจำนวนเต็มเท่าของ \(\pi\) เขียนเป็น \((m+1)\pi\) เพื่อให้ \(m = 0\) เป็น fringe สว่างแถบแรก แล้วจัดรูปทีละขั้น

\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2} &= (m+1)\pi \\ \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\pi \\ \Delta &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \frac{ay}{L} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} + \frac{\pi}{2} &= (m+1)\pi \\ \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\pi \\ \Delta &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \\ \frac{ay}{L} &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \end{aligned} \]

The positions of the bright fringes are therefore

ตำแหน่งของ fringe สว่างจึงเขียนเป็น

\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{8} \]
\[ y = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a}, \qquad m = 0, 1, 2, \ldots \tag{8} \]

The bright fringes therefore lie halfway between \(y_m\) and \(y_{m+1}\), and the spacing between neighbouring fringes is \(\lambda L/a\), as on the page Young’s Double-Slit Experiment. Equations (4), (7) and (8) hold only when \(y \ll L\), and fringes form only where both the direct and the reflected light reach the screen.

fringe สว่างจึงอยู่กึ่งกลางระหว่าง \(y_m\) กับ \(y_{m+1}\) และระยะห่างระหว่าง fringe ที่อยู่ติดกันเท่ากับ \(\lambda L/a\) เหมือนในหน้า Young’s Double-Slit Experiment สมการ (4), (7) และ (8) ใช้ได้เมื่อ \(y \ll L\) และ fringe เกิดเฉพาะบริเวณบนฉากที่ทั้งแสงตรงและแสงสะท้อนไปถึง

Comparison with the equation in the referenceเทียบกับสมการในเอกสารอ้างอิง

The book [1] gives the positions of the bright fringes with the same equation as Young’s double slit, \(y_m = m\lambda L/a\) (Eq. (22) in [1]). This equation follows from Eq. (5), which does not include the phase of S′, by setting \(\cos^2\) equal to 1 (bright fringe) and rearranging:

หนังสือ [1] แสดงสมการคำนวณตำแหน่งของ fringe สว่าง ด้วยสมการเดียวกับ double slit ของ Young คือ \(y_m = m\lambda L/a\) (Eq. (22) ใน [1]) ซึ่งคำนวณได้จากสมการ (5) ที่ไม่คิด phase ของ S′ โดยให้ \(\cos^2\) เท่ากับ 1 (fringe สว่าง) แล้วจัดรูปสมการได้เป็น

\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{L} &= m\lambda \\ y_m &= \frac{m\lambda L}{a} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{\pi\Delta}{\lambda} &= m\pi \\ \Delta &= m\lambda \\ \frac{ay}{L} &= m\lambda \\ y_m &= \frac{m\lambda L}{a} \end{aligned} \]

When the light from S′ travels an extra \(\lambda/2\) (Eq. (6)), a point is bright only if its \(\Delta\) is larger by another \(\lambda/2\). From \(\Delta = ay/L\) in Eq. (4), \(y\) must increase by \(\tfrac{\lambda}{2}\cdot\tfrac{L}{a} = \tfrac{\lambda L}{2a}\). Rearranging from Eq. (22) gives

เมื่อแสงจาก S′ เดินทางไกลขึ้นอีก \(\lambda/2\) (สมการ (6)) ตำแหน่งที่สว่างจึงต้องมี \(\Delta\) มากขึ้นอีก \(\lambda/2\) จาก \(\Delta = ay/L\) ในสมการ (4) ระยะ \(y\) ต้องเพิ่มขึ้นอีก \(\tfrac{\lambda}{2}\cdot\tfrac{L}{a} = \tfrac{\lambda L}{2a}\) จัดรูปจากสมการ (22) ได้เป็น

\[ \begin{aligned} y &= y_m + \frac{\lambda L}{2a} \\ &= \frac{m\lambda L}{a} + \frac{\lambda L}{2a} \\ &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y &= y_m + \frac{\lambda L}{2a} \\ &= \frac{m\lambda L}{a} + \frac{\lambda L}{2a} \\ &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a} \end{aligned} \]

This matches Eq. (8). The positions \(y_m\) of Eq. (22) become the positions of the dark fringes in Eq. (7), and the fringe spacing is still \(\lambda L/a\).

ซึ่งตรงกับสมการ (8) ส่วนตำแหน่ง \(y_m\) ของสมการ (22) กลายเป็นตำแหน่งของ fringe มืดในสมการ (7) และระยะห่างระหว่าง fringe ยังเท่ากับ \(\lambda L/a\) เหมือนเดิม

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(s_1\)(1), (3)Distance from S straight to point Pระยะทางจาก S ตรงไปยังจุด Pm
\(s_2\)(1)–(3)Path length from S to point P via reflection at R on the mirror (= S′P)ระยะทางจาก S ถึงจุด P โดยสะท้อนที่จุด R บนกระจก (= S′P)m
\(\Delta\)(1), (3)–(8)Path differenceผลต่างระยะทาง (path difference)m
\(a\)(3), (4), (7), (8)Distance between S and S′ (twice the height of S above the mirror)ระยะห่างระหว่าง S กับ S′ (สองเท่าของความสูงของ S เหนือกระจก)m
\(\theta\)(4)Angle between the optical axis OX and the line OPมุมระหว่าง optical axis OX กับเส้น OPrad
\(L\)(3), (4), (7), (8)Distance from O to the screenระยะจาก O ถึงฉากm
\(y\)(3), (4), (8)Height of point P above the mirror planeความสูงของจุด P วัดจากระนาบกระจกm
\(I\)(5), (6)Irradiance at point Pirradiance ที่จุด PW/m²
\(I_0\)(5), (6)Irradiance at point P when only one beam arrivesirradiance ที่จุด P เมื่อมีแสงไปถึงทางเดียวW/m²
\(\lambda\)(5)–(8)Wavelengthความยาวคลื่นm
\(m\)(7), (8)Order (m) of the fringe: 0, 1, 2, …order (m) ของ fringe: 0, 1, 2, …–
\(y_m\)(7)Position of the dark fringe of order m above the mirror planeตำแหน่งของ fringe มืด order m วัดจากระนาบกระจกm

Worked example — fringe positionsตัวอย่างการคำนวณ — ตำแหน่งของ fringe

A point source is 0.50 mm above the mirror surface and sends light of wavelength \(\lambda = 600\) nm to a screen \(L = 2.00\) m away. Find the position of the first bright fringe and of the dark fringe \(y_1\) (the second dark fringe counted from M′).

กำหนดให้ point source อยู่สูงจากผิวกระจก 0.50 mm ให้แสงความยาวคลื่น \(\lambda = 600\) nm ไปยังฉากที่อยู่ห่าง \(L = 2.00\) m หาตำแหน่งของ fringe สว่างแถบแรก และ fringe มืด \(y_1\) (fringe มืดแถบที่สองนับจาก M′)

\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda &= 600\ \text{nm} \\ &= 6.00\times10^{-7}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &= 2(0.50\ \text{mm}) \\ &= 1.00\ \text{mm} \\ &= 1.00\times10^{-3}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} a &= 2(0.50\ \text{mm}) \\ &= 1.00\ \text{mm} \\ &= 1.00\times10^{-3}\ \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a} \\ &= \left(0 + \tfrac{1}{2}\right)\frac{(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(2.00\ \text{m})}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{6.00\times10^{-7}\ \text{m}^2}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 6.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.600\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y &= \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\frac{\lambda L}{a} \\ &= \left(0 + \tfrac{1}{2}\right)\frac{(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(2.00\ \text{m})}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{6.00\times10^{-7}\ \text{m}^2}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 6.00\times10^{-4}\ \text{m} \\ &= 0.600\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= \frac{m\lambda L}{a} \\ &= \frac{(1)(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(2.00\ \text{m})}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{1.20\times10^{-6}\ \text{m}^2}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 1.20\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 1.20\ \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} y_1 &= \frac{m\lambda L}{a} \\ &= \frac{(1)(6.00\times10^{-7}\ \text{m})(2.00\ \text{m})}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= \frac{1.20\times10^{-6}\ \text{m}^2}{1.00\times10^{-3}\ \text{m}} \\ &= 1.20\times10^{-3}\ \text{m} \\ &= 1.20\ \text{mm} \end{aligned} \]

The first bright fringe is 0.600 mm above the mirror plane, and the dark fringe \(y_1\) is 1.20 mm above it, exactly one fringe spacing (\(\lambda L/a\) = 1.20 mm) away from M′ (the dark fringe \(y_0\)). Both positions, the first bright fringe and \(y_1\) (0.600 mm and 1.20 mm), are very small compared with \(L\) (2.00 m), so the condition \(y \ll L\) holds and Eqs. (7) and (8) can be used.

fringe สว่างแถบแรกอยู่สูงจากระนาบกระจก 0.600 mm และ fringe มืด \(y_1\) อยู่สูง 1.20 mm ซึ่งห่างจาก M′ (fringe มืด \(y_0\)) เท่ากับระยะห่างระหว่าง fringe (\(\lambda L/a\) = 1.20 mm) พอดี ตำแหน่ง fringe สว่างแถบแรกและ \(y_1\) (0.600 mm และ 1.20 mm) เล็กมากเมื่อเทียบกับ \(L\) (2.00 m) จึงเข้าเงื่อนไข \(y \ll L\) และใช้สมการ (7) และ (8) ได้

3How to use this visualizationวิธีใช้ visualization

Visualization A — Lloyd’s mirror in 2-Dvisualization A — Lloyd’s mirror แบบ 2 มิติ

  • Every distance in Figure 1 (\(a\), \(L\), M, M′, \(y\)) is drawn to scale in µm, except the waves drawn along the light paths, whose wavelength is 3 times the \(\lambda\) set so that they can be seen. The values in Results, the graph and the fringe strip on the screen use the \(\lambda\) set.
  • Screen below the mirror plane: if the mirror touches the screen (M′ = \(L\)), this region is in the shadow of the mirror and receives no light (\(I = 0\)). If M′ is short of the screen, direct light from S that passes beyond M′ reaches part of it (\(I = I_0\)).
  • Graph to the right of the screen: \(I/(4I_0)\) against the height \(y\) on the screen. The left dashed line is \(I = 0\) and the right dashed line is \(I = 4I_0\). Where only direct light arrives, \(I = I_0\) (0.25 of \(4I_0\)). The dot on the graph is the value at P.
  • Moving point P: click point P or the screen and drag up or down along the screen.
  • Results: \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (from Eq. (3) or (4), as selected), \(\theta\) (from \(\tan\theta = y/L\)), \(I/(4I_0)\) from Eq. (6), the light reaching P and a status label: constructive interference when within \(0.05\lambda\) of the brightest condition, destructive interference when within \(0.05\lambda\) of the darkest condition, between bright and dark otherwise, and no interference when the reflected light does not reach P.
  • ทุกระยะในรูปที่ 1 (\(a\), \(L\), M, M′, \(y\)) วาดตามสเกลในหน่วย µm ยกเว้นเส้นคลื่นที่วาดบนทางเดินแสงซึ่งยาวเป็น 3 เท่าของ \(\lambda\) ที่ตั้งเพื่อให้มองเห็นได้ ค่าใน Results กราฟ และแถบ fringe บนฉากใช้ \(\lambda\) ที่ตั้งจริง
  • ฉากด้านใต้ระนาบกระจก: ถ้ากระจกชนฉาก (M′ = \(L\)) บริเวณนี้อยู่ในเงาของกระจก ไม่มีแสง (\(I = 0\)) ถ้า M′ อยู่ก่อนฉาก แสงตรงจาก S ที่ผ่านเลย M′ ไปถึงบางส่วนได้ (\(I = I_0\))
  • กราฟทางขวาของฉาก: \(I/(4I_0)\) ตามความสูง \(y\) บนฉาก เส้นประซ้ายคือ \(I = 0\) เส้นประขวาคือ \(I = 4I_0\) บริเวณที่มีแสงตรงอย่างเดียว \(I = I_0\) (0.25 ของ \(4I_0\)) จุดบนกราฟคือค่าที่ P
  • การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลงตามฉาก
  • Results: \(s_1\), \(s_2\), \(\Delta\) (จากสมการ (3) หรือ (4) ตามที่เลือก), \(\theta\) (จาก \(\tan\theta = y/L\)), \(I/(4I_0)\) จากสมการ (6), แสงที่ไปถึง P และป้ายสถานะ: interference แบบเสริมเมื่ออยู่ห่างจากสว่างที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), แบบหักล้างเมื่ออยู่ห่างจากมืดที่สุดไม่เกิน \(0.05\lambda\), นอกนั้นอยู่ระหว่างสว่างกับมืด และไม่เกิด interference เมื่อแสงสะท้อนไปไม่ถึง P

Try the visualization in the following order.

ลองใช้งาน visualization ตามลำดับดังนี้

  1. At the start, P is at \(y\) = 2.01 µm, between the lines \(y_1\) and \(y_2\). What does the status label say?
  2. Set M′ = 10 µm (the mirror touches the screen) and drag P down to M′ (\(y\) = 0). What is \(\Delta\)? Why is P dark even though the two paths have the same length?
  3. Set M = 5 µm. How does the part of the screen with fringes change? Why are there no fringes at the top of the screen? Then change M′ back to 6.2 µm. What happens near the mirror plane and below it?
  4. Reset, then reduce \(a\) from 4 to 2 µm. How does the spacing between the \(y_m\) lines change? Do the dark fringes on the graph match every \(y_m\) line? Why do the higher lines not match? Then switch “\(\Delta\) used in the calculation” to Eq. (4). How do the dark fringes change?
  1. ตอนเริ่มต้น P อยู่ที่ \(y\) = 2.01 µm ระหว่างเส้น \(y_1\) กับ \(y_2\) ป้ายสถานะเป็นอย่างไร
  2. ตั้ง M′ = 10 µm (กระจกชนฉาก) แล้วลาก P ลงไปที่ M′ (\(y\) = 0) \(\Delta\) มีค่าเท่าไร ทำไม P จึงมืดทั้งที่แสงสองทางเดินทางไกลเท่ากัน
  3. ตั้ง M = 5 µm บริเวณบนฉากที่มี fringe เปลี่ยนไปอย่างไร ทำไมด้านบนของฉากจึงไม่มี fringe แล้วลองเปลี่ยน M′ กลับเป็น 6.2 µm ด้านล่างใกล้ระนาบกระจกและใต้ระนาบกระจกเป็นอย่างไร
  4. รีเซ็ตแล้วลด \(a\) จาก 4 เป็น 2 µm ระยะห่างระหว่างเส้น \(y_m\) เปลี่ยนอย่างไร fringe มืดบนกราฟตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้นหรือไม่ ทำไมเส้นที่อยู่สูงจึงไม่ตรง แล้วลองเปลี่ยน “\(\Delta\) ที่ใช้คำนวณ” เป็นสมการ (4) fringe มืดเปลี่ยนไปอย่างไร

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: the direct and reflected light have the same irradiance at P (\(I_0\)), the mirror reflects all the light, the size of S is not taken into account, the brightness on the screen does not fall off with distance, and diffraction of light is not included.
  • In the visualization \(L\) is only a few µm, so \(y \ll L\) does not hold. With Eq. (3) the brightness on the screen is calculated with the exact \(\Delta\), so the \(y_m\) lines from Eq. (7) match the dark fringes only near the mirror plane. With Eq. (4) the dark fringes match every \(y_m\) line, but the \(\Delta\) used is an approximation whose error becomes large when \(y\) is not much smaller than \(L\).
  • When the mirror does not touch the screen (M′ is short of the screen, as with the starting values \(a\) = 4 µm, \(L\) = 10 µm, M′ = 6.2 µm), the screen around the mirror plane has three regions; M′ in the formulas is the distance from O to the mirror end M′.
    1. Above the mirror plane, from \(y\) = 0 to \(y = \tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\) (1.23 µm with the starting values): \(I = I_0\) (0.25 of \(4I_0\)), because the light reflected from the end M′ does not reach this region; only direct light from S arrives, so no fringes form.
    2. Below the mirror plane, down to \(y = -\tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\) (−1.23 µm with the starting values): \(I = I_0\), because direct light from S that passes beyond the end M′ still reaches this region, but reflected light does not reach below the mirror plane.
    3. Below \(y = -\tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\): \(I = 0\)
  • ขอบเขต: แสงตรงและแสงสะท้อนมี irradiance ที่ P เท่ากัน (\(I_0\)) กระจกสะท้อนแสงทั้งหมด ไม่ได้คิดขนาดของ S และความสว่างบนฉากไม่ลดลงตามระยะทาง และไม่ได้คิดเรื่องการเลี้ยวเบนของแสง
  • ใน visualization \(L\) มีค่าเพียงไม่กี่ µm จึงไม่เป็นไปตาม \(y \ll L\) เมื่อเลือกสมการ (3) ความสว่างบนฉากคำนวณด้วย \(\Delta\) จริง เส้น \(y_m\) จากสมการ (7) จึงตรงกับ fringe มืดเฉพาะบริเวณที่ใกล้ระนาบกระจก ถ้าเลือกสมการ (4) fringe มืดจะตรงกับเส้น \(y_m\) ทุกเส้น แต่ \(\Delta\) ที่ใช้เป็นค่าประมาณที่คลาดเคลื่อนมากเมื่อ \(y\) ไม่เล็กกว่า \(L\) มาก
  • กรณีกระจกไม่ชนฉาก (M′ อยู่ก่อนฉาก เช่นค่าเริ่มต้น \(a\) = 4 µm, \(L\) = 10 µm, M′ = 6.2 µm) ฉากรอบระนาบกระจกแบ่งเป็น 3 ช่วง โดย M′ ในสูตรคือระยะจาก O ถึงปลายกระจก M′
    1. เหนือระนาบกระจก ตั้งแต่ \(y\) = 0 ถึง \(y = \tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\) (ค่าเริ่มต้น 1.23 µm): \(I = I_0\) (0.25 ของ \(4I_0\)) เพราะแสงสะท้อนจากปลาย M′ ขึ้นไปไม่ถึงช่วงนี้ มีแต่แสงตรงจาก S จึงไม่เกิด fringe
    2. ใต้ระนาบกระจก ลงไปถึง \(y = -\tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\) (ค่าเริ่มต้น −1.23 µm): \(I = I_0\) เพราะแสงตรงจาก S ที่ผ่านเลยปลาย M′ ยังลงมาถึงช่วงนี้ได้ แต่แสงสะท้อนไม่มาถึงด้านใต้ระนาบกระจก
    3. ต่ำกว่า \(y = -\tfrac{a}{2}\left(\tfrac{L}{\text{M}'} - 1\right)\): \(I = 0\)
Lloyd’s Mirror — interactive visualization Lloyd’s mirror — interactive visualization
A Lloyd’s mirror in 2-DLloyd’s mirror แบบ 2 มิติ

Δ used in the calculationΔ ที่ใช้คำนวณ

Figure 1 — Direct and reflected light from S to point P (adapted from [1], Fig. 7) รูปที่ 1 — แสงตรงและแสงสะท้อนจาก S ถึงจุด P (ดัดแปลงจาก [1], Fig. 7)

Moving point P: click point P or the screen and drag up or down.การควบคุมจุด P: คลิกที่จุด P หรือที่ฉาก แล้วลากขึ้นลง

Scale: a, L, M, M′, y, s₁, s₂ and Δ in µm
wavelength of the drawn waves : λ set = 3 : 1 (Results use λ set)สเกล: a, L, M, M′, y, s₁, s₂ และ Δ หน่วย µm
ความยาวคลื่นของเส้นคลื่นในรูป : λ ที่ตั้ง = 3 : 1 (ผลลัพธ์ใช้ λ ที่ตั้ง)

Resultsผลลัพธ์

s1 = SP (µm) 10.000
s2 = S′P (µm) 10.774
Δ, Eq. (3) (µm)Δ สมการ (3) (µm) 0.774
θ (°) 11.37
I/(4I0), Eq. (6)I/(4I0) สมการ (6) 0.977
Light reaching Pแสงที่ไปถึง P Direct + reflectedแสงตรง + แสงสะท้อน
Constructive (bright)interference แบบเสริม (สว่าง)

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 173–174.