Film-Thickness Measurement: Interferometer การวัดความหนาฟิล์ม: interferometer

Last updated แก้ไขล่าสุด

How the shift between two fringe sets at a film edge gives the film thickness on the nanometer scale, and why white light or a gradual edge is needed for an unambiguous reading การเลื่อนของ fringe สองชุดที่ขอบฟิล์มบอกความหนาฟิล์มระดับ nm ได้อย่างไร และทำไมต้องใช้ white light หรือขอบลาดจึงจะอ่านค่าได้ไม่กำกวม

1Introductionบทนำ

Watch out: when you measure film thickness with an interferometer, the fringes can shift by exactly the same amount whether the film is 150, 425, or 700 nm thick.

ระวัง การวัดความหนาฟิล์มด้วย interferometer อาจเห็น fringe เลื่อนไปเท่ากันทุกประการ แต่ฟิล์มอาจหนา 150, 425 หรือ 700 nm ก็ได้

A thin film coated on a substrate is only a few hundred nanometers thick, far too thin to measure with a ruler or to see directly under a microscope. With interference, however, a thickness this small shifts the fringes by a few hundred micrometers, which can be measured under the microscope [1]. The microscope shows two sets of fringes side by side, one formed above the substrate and the other above the film, offset from each other at the film edge.

ฟิล์มบางที่เคลือบบนผิววัสดุ (substrate) หนาเพียงหลักร้อย nm ซึ่งเล็กเกินกว่าจะวัดด้วยไม้บรรทัดหรือมองด้วยกล้องจุลทรรศน์ (microscope) ได้โดยตรง แต่ถ้าใช้ interference ความหนาระดับนี้ทำให้ fringe เลื่อนไปเป็นระยะหลักร้อย µm ซึ่งวัดผ่านกล้องจุลทรรศน์ได้ [1] ในกล้องจะเห็น fringe สองชุดอยู่ข้างกัน ชุดหนึ่งเกิดเหนือ substrate อีกชุดหนึ่งเกิดเหนือฟิล์ม และสองชุดนี้เหลื่อมกันที่ขอบฟิล์ม

The trouble is that all fringes look alike. With a sharp film edge and monochromatic light, you cannot tell which fringe above the substrate continues into which fringe above the film, so only the fractional part of the shift can be read. The interactive visualization on this page shows the measurement setup on the left and the microscope view on the right. Measure the distances yourself, then see how white light or a sloped film edge tells you how many fringes the pattern has shifted.

ปัญหาคือ fringe ทุกเส้นหน้าตาเหมือนกัน ถ้าขอบฟิล์มคมและใช้แสง monochromatic เราจะไม่รู้ว่า fringe เส้นหนึ่งเหนือ substrate ต่อกับเส้นไหนเหนือฟิล์ม จึงอ่านได้แค่ส่วนเศษของการเลื่อน interactive visualization ในหน้านี้แสดงชุดวัดทางซ้าย และภาพในกล้องจุลทรรศน์ทางขวา ให้ลองวัดระยะเอง แล้วดูว่า white light หรือขอบฟิล์มที่ลาดช่วยให้รู้ว่าเลื่อนไปกี่เส้นได้อย่างไร

2Key equationsสมการที่ใช้ในหน้านี้

Setup and virtual mirrorชุดวัดและ virtual mirror

Monochromatic light from the light source LS travels through the light pipe LP to the beam splitter BS, which splits it into two beams. One beam goes to the mirror M, and the other goes down to the surface of the film F coated on the substrate S. Both reflected beams return through BS, travel up to the microscope MS, and interfere [1] (Figure 1, left).

แสง monochromatic จากแหล่งแสง LS ผ่าน light pipe LP ไปยัง beam splitter BS ซึ่งแยกแสงเป็นสองลำ ลำหนึ่งไปยังกระจก M อีกลำหนึ่งลงไปที่ผิวฟิล์ม F ที่เคลือบบน substrate S แสงที่สะท้อนกลับมาทั้งสองลำผ่าน BS ขึ้นไปที่กล้องจุลทรรศน์ MS แล้วเกิด interference กัน [1] (รูปที่ 1 ซ้าย)

Seen from the microscope, light from mirror M appears to come from the image of M in the reflecting plane of BS. This image, called the virtual mirror M′, lies above the film, so the interference looks as if it comes from a thin air film between M′ and the lower surface [1]. Moving mirror M in or out shifts M′ up or down, and tilting M by an angle \(\alpha\) tilts M′ relative to the film surface. The air film then becomes a wedge (tilted perpendicular to the plane of the setup drawing), and straight, parallel Fizeau fringes appear, as on the Fringes of equal thickness page.

ถ้ามองจากกล้องจุลทรรศน์ แสงจากกระจก M เหมือนสะท้อนมาจากภาพของ M ในระนาบสะท้อนของ BS เรียกภาพนี้ว่า virtual mirror M′ ซึ่งอยู่เหนือฟิล์ม interference ที่เห็นจึงเหมือนเกิดจากช่องอากาศ (air film) บางๆ ระหว่าง M′ กับผิวด้านล่าง [1] เมื่อเลื่อนกระจก M เข้าหรือออก M′ จะขยับขึ้นลง และเมื่อเอียง M เป็นมุม \(\alpha\) M′ จะเอียงเทียบกับผิวฟิล์ม ช่องอากาศจึงเป็นรูปลิ่ม (ลิ่มเอียงในทิศตั้งฉากกับระนาบของรูปชุดวัด) และเห็น Fizeau fringes เป็นเส้นตรงขนานกันแบบหน้า Fringes of equal thickness

Condition for a bright fringeเงื่อนไขของ fringe สว่าง

At normal incidence, a bright fringe appears where [1]

เมื่อแสงตกกระทบตั้งฉาก fringe สว่างเกิดที่ตำแหน่งที่ [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= 2nt + \Delta_r \\ &= m\lambda \tag{1} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta_p + \Delta_r} &= 2nt + \Delta_r \\ &= m\lambda \tag{1} \end{align*} \]

Here \(t\) is the thickness of the air film at that point, \(n = 1\) for air, and \(m\) is the order. The meanings of \(\Delta_p\) and \(\Delta_r\) are explained on the Interference in dielectric films page. On this page both beams are assumed to reflect from the same kind of surface (mirror M, and the film and substrate under a silver overcoat), so \(\Delta_r = 0\) and a bright fringe appears where \(2t = m\lambda\). The point where \(t = 0\) is therefore the bright fringe with \(m = 0\).

เมื่อ \(t\) คือความหนาของช่องอากาศที่จุดนั้น \(n = 1\) สำหรับอากาศ และ \(m\) คือ order ความหมายของ \(\Delta_p\) และ \(\Delta_r\) อธิบายไว้ในหน้า Interference in dielectric films ในหน้านี้ถือว่าแสงสองลำสะท้อนจากผิวชนิดเดียวกัน (กระจก M และฟิล์มกับ substrate ที่เคลือบเงินทับ) จึงได้ \(\Delta_r = 0\) และ fringe สว่างเกิดเมื่อ \(2t = m\lambda\) ตรงที่ \(t = 0\) จึงเป็น fringe สว่างที่ \(m = 0\)

Fringe spacingระยะห่าง fringe

In an air wedge tilted by an angle \(\alpha\) (in rad, very small), the thickness \(t\) increases by \(\alpha\) per unit distance along the tilt. From Eq. (1), the next bright fringe appears when \(t\) has increased by \(\lambda/2\), so the fringe spacing \(x\) is

ในลิ่มอากาศที่เอียงเป็นมุม \(\alpha\) (หน่วย rad, มุมเล็กมาก) ความหนา \(t\) เพิ่มขึ้น \(\alpha\) ต่อระยะทาง 1 หน่วยในทิศที่ลิ่มเอียง จากสมการ (1) fringe สว่างถัดไปเกิดเมื่อ \(t\) เพิ่มขึ้น \(\lambda/2\) ระยะห่าง fringe \(x\) จึงเป็น

\[ \begin{align*} \mathllap{\alpha x} &= \frac{\lambda}{2} \\ \mathllap{x} &= \frac{\lambda}{2\alpha} \tag{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\alpha x} &= \frac{\lambda}{2} \\ \mathllap{x} &= \frac{\lambda}{2\alpha} \tag{2} \end{align*} \]

Fringe shift at the film edgeการเลื่อนของ fringe ที่ขอบฟิล์ม

From Eq. (1) with \(\Delta_r = 0\), order \(m\) gives

จากสมการ (1) กรณีที่ \(\Delta_r = 0\) ที่ order \(m\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{2t_m} &= m\lambda \tag{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2t_m} &= m\lambda \tag{3} \end{align*} \]

As the bright fringe shifts, \(t\) increases in steps of \(\lambda/2\) [1], taking the fringe to order \(m+n\):

เมื่อ fringe สว่างเลื่อนไป \(t\) เพิ่มขึ้นทีละ \(\lambda/2\) [1] ก็จะเลื่อนไปที่ order \(m+n\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{2t_{m+n}} &= (m+n)\lambda \tag{4} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2t_{m+n}} &= (m+n)\lambda \tag{4} \end{align*} \]

Subtracting Eq. (3) from Eq. (4) gives

สมการ (4) − สมการ (3) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{2t_{m+n} - 2t_m} &= (m+n)\lambda - m\lambda \\ \mathllap{2(t_{m+n} - t_m)} &= \lambda(m+n-m) \\ \mathllap{2(t_{m+n} - t_m)} &= n\lambda \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2t_{m+n} - 2t_m} &= (m+n)\lambda - m\lambda \\ \mathllap{2(t_{m+n} - t_m)} &= \lambda(m+n-m) \\ \mathllap{2(t_{m+n} - t_m)} &= n\lambda \end{align*} \]

Substituting \(\Delta t = t_{m+n} - t_m\) and \(\Delta m = n\) gives

แทน \(\Delta t = t_{m+n} - t_m\) และ \(\Delta m = n\) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{2\Delta t} &= (\Delta m)\lambda \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2\Delta t} &= (\Delta m)\lambda \end{align*} \]

Here \(t_m\) is the thickness of the air film between M′ and the substrate surface (S), and \(t_{m+n}\) is the thickness of the air film between M′ and the film surface (F). The difference \(\Delta t\) is therefore equal to the film thickness \(d\), which gives

ในที่นี้ \(t_m\) คือความหนาช่องอากาศระหว่าง M′ กับผิว substrate (S) และ \(t_{m+n}\) คือความหนาช่องอากาศระหว่าง M′ กับผิวฟิล์ม (F) ดังนั้นผลต่าง \(\Delta t\) จึงเท่ากับความหนาฟิล์ม \(d\) ทำให้ได้

\[ \begin{align*} \mathllap{2d} &= (\Delta m)\lambda \tag{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2d} &= (\Delta m)\lambda \tag{5} \end{align*} \]

A fringe shift of \(x\) corresponds to a change of 1 in order, a shift of \(2x\) to a change of 2, and a shift of \(nx\) to a change of \(n\), as the table shows.

ถ้า fringe เลื่อนไปเป็นระยะ \(x\) เท่ากับ order เปลี่ยนไป 1 หรือ fringe เลื่อนไปเป็นระยะ \(2x\) เท่ากับ order เปลี่ยนไป 2 หรือระยะ \(nx\) เท่ากับ order เปลี่ยนไป \(n\) ดังตาราง

\(\Delta x\)\(\Delta m\)
\(x\)1
\(2x\)2
\(nx\)\(n\)

With \(\Delta m = n\), this can be written as

เมื่อ \(\Delta m = n\) จะเขียนสมการได้เป็น

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= (\Delta m)x \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta x} &= (\Delta m)x \end{align*} \]

Rearranging gives [1]

จัดรูปสมการใหม่ได้ [1]

\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= \frac{\Delta x}{x} \tag{6} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\Delta m} &= \frac{\Delta x}{x} \tag{6} \end{align*} \]

Substituting \(\Delta m = \Delta x/x\) into Eq. (5) gives the film thickness from two distances measured in the microscope [1], Eq. (40)

แทน \(\Delta m = \Delta x/x\) ในสมการ (5) ได้ความหนาฟิล์มจากระยะสองค่าที่วัดในกล้องจุลทรรศน์ [1], Eq. (40)

\[ \begin{align*} \mathllap{2d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\lambda \\ \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \tag{7} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{2d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\lambda \\ \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \tag{7} \end{align*} \]

Substituting \(x = \lambda/2\alpha\) (Eq. (2)) into Eq. (7) gives

เมื่อแทน \(x = \lambda/2\alpha\) (สมการ (2)) ลงในสมการ (7) จะได้

\[ \begin{align*} \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{\lambda/2\alpha}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \\ &= (\Delta x)\left(\frac{\cancel{\lambda}}{\cancel{2}}\right)\left(\frac{\cancel{2}\alpha}{\cancel{\lambda}}\right) \\ &= \Delta x\,\alpha \\ \mathllap{\Delta x} &= \frac{d}{\alpha} \tag{8} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{\lambda/2\alpha}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \\ &= (\Delta x)\left(\frac{\cancel{\lambda}}{\cancel{2}}\right)\left(\frac{\cancel{2}\alpha}{\cancel{\lambda}}\right) \\ &= \Delta x\,\alpha \\ \mathllap{\Delta x} &= \frac{d}{\alpha} \tag{8} \end{align*} \]

Eq. (8) shows that the film thickness does not depend on the wavelength. A large \(\alpha\) makes \(\Delta x\) smaller, while a small \(\alpha\) makes \(\Delta x\) larger.

จากสมการ (8) จะเห็นว่าความหนาฟิล์มไม่ขึ้นกับความยาวคลื่น และถ้า \(\alpha\) มาก \(\Delta x\) จะเล็กลง แต่ถ้า \(\alpha\) น้อย \(\Delta x\) จะมากขึ้นได้

Example: with light of \(\lambda\) = 550 nm, the measured fringe spacing is \(x\) = 0.275 mm and the fringe shift at the film edge is \(\Delta x\) = 0.700 mm. How thick is the film?

ตัวอย่าง: แสง \(\lambda\) = 550 nm วัดระยะห่าง fringe ได้ \(x\) = 0.275 mm และการเลื่อนของ fringe ที่ขอบฟิล์ม \(\Delta x\) = 0.700 mm ฟิล์มหนาเท่าไร

\[ \begin{align*} \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \\ &= \left(\frac{7.00\times10^{-4}\ \text{m}}{2.75\times10^{-4}\ \text{m}}\right)\left(\frac{5.5\times10^{-7}\ \text{m}}{2}\right) \\ &= (2.5455)(2.75\times10^{-7}\ \text{m}) \\ &= 7.000\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 700\ \text{nm} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{d} &= \left(\frac{\Delta x}{x}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right) \\ &= \left(\frac{7.00\times10^{-4}\ \text{m}}{2.75\times10^{-4}\ \text{m}}\right)\left(\frac{5.5\times10^{-7}\ \text{m}}{2}\right) \\ &= (2.5455)(2.75\times10^{-7}\ \text{m}) \\ &= 7.000\times10^{-7}\ \text{m} \\ &= 700\ \text{nm} \end{align*} \]

This example shows that a film a few hundred nanometers thick can shift the fringes by a few hundred micrometers.

จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่าฟิล์มหนาหลักร้อย nm ทำให้ fringe เลื่อนเป็นหลักร้อย µm ได้

Ambiguity at a sharp film edgeความกำกวมเมื่อขอบฟิล์มคม

In the example above, \(\Delta m\) = 2.5455: the fringes have shifted by 2 whole spacings plus another 0.5455 of a spacing. With a sharp film edge and monochromatic light, however, you cannot see which fringe above the film continues from which fringe above the substrate, so only the fractional part, 0.5455 of a spacing (\(\Delta x\) = 0.150 mm), can be read. From Eq. (7), the film thickness could then be any of several values, such as 150, 425, 700, or 975 nm.

ในตัวอย่างข้างบน \(\Delta m\) = 2.5455 คือ fringe เลื่อนไป 2 ช่องเต็มกับอีก 0.5455 ช่อง แต่ถ้าขอบฟิล์มคมและใช้แสง monochromatic เราจะไม่เห็นว่า fringe เส้นใดเหนือฟิล์มต่อกับ fringe เส้นใดเหนือ substrate จึงอ่านได้แค่ส่วนเศษ 0.5455 ช่อง (\(\Delta x\) = 0.150 mm) จากสมการ (7) ความหนาที่เป็นไปได้จึงมีหลายค่า เช่น 150, 425, 700, 975 nm เป็นต้น

The book [1] gives two ways to resolve this:

หนังสือ [1] ให้วิธีแก้ไว้สองวิธี

  • Method 1, white light: white light contains many wavelengths, and each has a different fringe spacing according to Eq. (2). Only where \(t = 0\) are all wavelengths bright at once, so the \(m = 0\) fringe appears as a single white band with colored bands beside it. Farther out, the colors overlap until no fringes can be seen, because white light has a very short coherence length (see the Two-beam interference page). The \(m = 0\) bands above the substrate and above the film can therefore be matched, and the distance between these two bands is \(\Delta x\).
  • Method 2, gradual edge: if the film thickness rises gradually from 0 to \(d\) at the edge, the fringes shift gradually too and appear as continuous curves across the edge, so you can follow each fringe and see how far it has shifted.
  • วิธีที่ 1 ใช้ white light: white light มีหลายความยาวคลื่น แต่ละความยาวคลื่นมีระยะห่าง fringe ไม่เท่ากันตามสมการ (2) มีเพียง \(t = 0\) ที่ทุกความยาวคลื่นสว่างพร้อมกัน จึงเห็น fringe ที่ \(m = 0\) เป็นแถบสีขาวเพียงแถบเดียว ถัดออกไปเป็นแถบสี และไกลออกไปสีต่างๆ ซ้อนกันจนไม่เห็น fringe เพราะ white light มี coherence length สั้นมาก (ดูหน้า Two-beam interference) แถบ \(m = 0\) เหนือ substrate และเหนือฟิล์มจึงใช้จับคู่กันได้ ระยะระหว่างสองแถบนี้คือ \(\Delta x\)
  • วิธีที่ 2 ใช้ ขอบลาด: ถ้าขอบฟิล์มมีความหนาค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง \(d\) fringe จะค่อยๆ เลื่อนตาม เห็นเป็นเส้นโค้งต่อเนื่องข้ามขอบ ทำให้ไล่ตามเส้น fringe ไปได้ว่าเลื่อนไปเท่าใด

Metal films and dielectric filmsmetal film และ dielectric film

Eq. (7) holds only when light reflects from the top surface of the film alone, as with an opaque metal film or a film with a silver overcoat. With a transparent dielectric film such as oil, part of the light enters the film and also reflects from its bottom surface, so there are three beams above the film: from M′ (\(E_0\)), from the top surface (\(E_1\)), and from the bottom surface (\(E_2\)). At normal incidence, the strength of the light reflected at the boundary between two media can be estimated from the reflection coefficient

สมการ (7) ใช้ได้เมื่อแสงสะท้อนจากผิวบนของฟิล์มเท่านั้น เช่น metal film ที่ทึบแสง หรือฟิล์มที่เคลือบเงินทับ ถ้าเป็น dielectric film ที่ใส เช่น น้ำมัน แสงส่วนหนึ่งเข้าไปในฟิล์มแล้วสะท้อนที่ผิวล่างด้วย ทำให้เหนือฟิล์มมีแสงสามลำ คือจาก M′ (\(E_0\)), จากผิวบน (\(E_1\)) และจากผิวล่าง (\(E_2\)) ความแรงของแสงสะท้อนที่ผิวระหว่างตัวกลางสองชนิดเมื่อแสงตกกระทบตั้งฉาก ประมาณได้จากสัมประสิทธิ์การสะท้อน

\[ \begin{align*} \mathllap{r} &= \frac{n_2 - n_1}{n_2 + n_1} \tag{9} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{r} &= \frac{n_2 - n_1}{n_2 + n_1} \tag{9} \end{align*} \]

For light traveling from a medium of refractive index \(n_1\) into one of \(n_2\), \(r\) gives the amplitude of the reflected light as a fraction of the incident light. \(r\) is positive for external reflection (which adds a phase of \(\pi\), as at mirror M) and negative for internal reflection. The air–oil surface (\(n_f\) = 1.45) gives \(E_1\) = 0.1837, and the oil–glass surface (\(n_s\) = 1.52) gives \(r\) = 0.0236. Accounting for the light passing down through the top surface and back up again (a factor of \(1 - E_1^2\)) gives \(E_2\) = 0.0228. Taking \(E_0 = 1\) for the light from mirror M, the intensity at a point above the film is

เมื่อแสงเดินจากตัวกลางดัชนีหักเห \(n_1\) ไปยัง \(n_2\) ค่า \(r\) บอกว่าแอมพลิจูดของแสงสะท้อนเป็นกี่เท่าของแสงตกกระทบ \(r\) เป็นบวกเมื่อเป็น external reflection (เพิ่ม phase \(\pi\) เหมือนกระจก M) และเป็นลบเมื่อเป็น internal reflection ผิวอากาศกับน้ำมัน (\(n_f\) = 1.45) ได้ \(E_1\) = 0.1837 ส่วนผิวน้ำมันกับแก้ว (\(n_s\) = 1.52) ได้ \(r\) = 0.0236 และเมื่อคิดแสงที่ผ่านผิวบนลงไปและขึ้นมาอีกครั้ง (คูณด้วย \(1 - E_1^2\)) ได้ \(E_2\) = 0.0228 แสงจากกระจก M ถือว่า \(E_0 = 1\) ความเข้มที่จุดหนึ่งเหนือฟิล์มคือ

\[ \begin{align*} \mathllap{I} &= E_0^2 + E_1^2 + E_2^2 + 2E_0E_1\cos\phi_1 + 2E_0E_2\cos\phi_2 + 2E_1E_2\cos(\phi_2 - \phi_1) \tag{10} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{I} &= E_0^2 + E_1^2 + E_2^2 + 2E_0E_1\cos\phi_1 + 2E_0E_2\cos\phi_2 + 2E_1E_2\cos(\phi_2 - \phi_1) \tag{10} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\phi_1} &= \frac{4\pi t}{\lambda} \\ \mathllap{\phi_2} &= \frac{4\pi (t + n_f d)}{\lambda} \tag{11} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \mathllap{\phi_1} &= \frac{4\pi t}{\lambda} \\ \mathllap{\phi_2} &= \frac{4\pi (t + n_f d)}{\lambda} \tag{11} \end{align*} \]

The cosine terms are the interference of each pair of beams (like the interference term on the Two-beam interference page). Above the substrate there are only two beams, so Eq. (10) is used with \(E_2 = 0\) and with \(E_1\) equal to \(r\) for the air–substrate surface. The equation ignores light that bounces back and forth inside the film, because \(r\) is small. Three cases arise, depending on the coherence length of the light:

พจน์ cos คือ interference ของแสงทีละคู่ (แบบ interference term ในหน้า Two-beam interference) เหนือ substrate มีแสงเพียงสองลำ ใช้สมการ (10) โดย \(E_2 = 0\) และ \(E_1\) คือ \(r\) ของผิวอากาศกับ substrate สมการนี้ไม่คิดแสงที่สะท้อนไปมาในฟิล์มหลายรอบ เพราะ \(r\) มีค่าน้อย สิ่งที่เกิดขึ้นมีสามกรณีตาม coherence length ของแสง

  • Air film so thick that \(2t\) exceeds the coherence length: light from M′ does not interfere with light from the film, and no fringes appear. If the film is thin enough, however, light from its top and bottom surfaces still interferes, giving film colors like the oil slick on the Fringes of equal thickness page.
  • Air film thin enough, but the film so thick that \(2n_f d\) exceeds the coherence length: light from the bottom surface only raises the background brightness. The fringes sit where they would for a metal film, but are fainter.
  • Every pair shorter than the coherence length (e.g. monochromatic light): the full Eq. (10) is needed. Light from the bottom surface makes the fringes above the film shift by something other than \(2d/\lambda\), so \(d\) from Eq. (7) differs from the true thickness.
  • ช่องอากาศหนาจน \(2t\) ยาวกว่า coherence length: แสงจาก M′ ไม่เกิด interference กับแสงจากฟิล์ม ไม่เห็น fringe แต่ถ้าฟิล์มบางพอ แสงจากผิวบนกับผิวล่างยังเกิด interference กันเอง เห็นเป็นสีของฟิล์มแบบคราบน้ำมันในหน้า Fringes of equal thickness
  • ช่องอากาศบางพอ แต่ฟิล์มหนาจน \(2n_f d\) ยาวกว่า coherence length: แสงจากผิวล่างเพียงเพิ่มความสว่างพื้น ตำแหน่ง fringe เหมือน metal film แต่ fringe จางลง
  • ทุกคู่สั้นกว่า coherence length (เช่น แสง monochromatic): ต้องใช้สมการ (10) ทั้งหมด แสงจากผิวล่างทำให้ fringe เหนือฟิล์มเลื่อนไม่ตรง \(2d/\lambda\) ค่า \(d\) จากสมการ (7) จึงคลาดจากความหนาจริง

Variablesตัวแปรที่ใช้

Variableตัวแปร Equationสมการ Meaningความหมาย Unitหน่วย
\(\Delta_p\)(1)optical path difference due to the pathoptical path difference จากเส้นทางm
\(\Delta_r\)(1)path difference equivalent to the phase added on reflection (0 on this page)ผลต่างระยะทางที่เทียบเท่ากับ phase ที่เพิ่มจากการสะท้อน (หน้านี้ใช้ 0)m
\(n\)(1)refractive index of the air film (= 1)ดัชนีหักเหของช่องอากาศ (= 1)–
\(n\)(4)number of orders the bright fringe shifts by (an integer)จำนวน order ที่ fringe สว่างเลื่อนไป (จำนวนเต็ม)–
\(t\)(1), (11)thickness of the air film between M′ and the lower surface at that pointความหนาของช่องอากาศระหว่าง M′ กับผิวด้านล่างที่จุดนั้นm
\(m\)(1), (3), (4)order: 0, 1, 2, …order: 0, 1, 2, …–
\(t_m, t_{m+n}\)(3), (4)thickness of the air film at order \(m\) (between M′ and the substrate surface) and at order \(m+n\) (between M′ and the film surface)ความหนาช่องอากาศที่ order \(m\) (ระหว่าง M′ กับผิว substrate) และที่ order \(m+n\) (ระหว่าง M′ กับผิวฟิล์ม)m
\(\lambda\)(1)–(5), (7), (11)wavelength in vacuumความยาวคลื่นในสุญญากาศm
\(\alpha\)(2), (8)angle between M′ and the film surface (angle of the air wedge)มุมระหว่าง M′ กับผิวฟิล์ม (มุมของลิ่มอากาศ)rad
\(x\)(2), (6), (7)fringe spacing (from one bright fringe to the next)ระยะห่าง fringe (สว่างถึงสว่างถัดไป)m
\(\Delta t\)–change in the thickness of the air filmความหนาของช่องอากาศที่เปลี่ยนไปm
\(d\)(5), (7), (8), (11)film thicknessความหนาฟิล์มm
\(\Delta m\)(5), (6)change in order (not necessarily an integer)จำนวน order ที่เปลี่ยน (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม)–
\(\Delta x\)(6)–(8)fringe shift at the film edgeการเลื่อนของ fringe ที่ขอบฟิล์มm
\(r\)(9)reflection coefficient (normal incidence)สัมประสิทธิ์การสะท้อน (แสงตกกระทบตั้งฉาก)–
\(n_1, n_2\)(9)refractive indices of the medium the light comes from and of the medium it entersดัชนีหักเหของตัวกลางที่แสงมา และที่แสงจะเข้าไป–
\(I\)(10)intensity of the light at that point (relative units)ความเข้มของแสงที่จุดนั้น (หน่วยสัมพัทธ์)a.u.
\(E_0, E_1, E_2\)(10)amplitudes of the light from M′, from the top surface, and from the bottom surface of the film (relative to the incident light)แอมพลิจูดของแสงจาก M′, จากผิวบน และจากผิวล่างของฟิล์ม (เทียบกับแสงที่ตกกระทบ)–
\(\phi_1, \phi_2\)(10), (11)phases of the light from the top and bottom surfaces relative to the light from M′phase ของแสงจากผิวบนและผิวล่าง เทียบกับแสงจาก M′rad
\(n_f, n_s\)(11)refractive indices of the film and of the substrateดัชนีหักเหของฟิล์ม และของ substrate–

The visualization gives the angle \(\alpha\) in mrad (1 mrad = 10−3 rad).

ใน visualization ใช้มุม \(\alpha\) หน่วย mrad (1 mrad = 10−3 rad)

3How to use the visualizationวิธีใช้ visualization

Measuring film thickness with an interferometerการวัดความหนาฟิล์มด้วย interferometer

  • Constants: normal incidence, a 2 mm wide field of view in the microscope, mirror M reflects all the light
  • Options: monochromatic or white light source (monochromatic), metal film or dielectric film (metal film)
  • Adjustable values:
    \(\lambda\) = 400 to 700 nm (550 nm), used with monochromatic light,
    \(n_f\) = 1.30 to 2.00 (1.45) and \(n_s\) = 1.33 to 2.50 (1.52), used with a dielectric film,
    film thickness \(d\) = 0 to 2000 nm (533 nm),
    width of the gradual edge = 0 to 800 µm (310 µm), 0 = sharp edge,
    tilt of mirror M \(\alpha\) = 0.3 to 5 mrad (0.85 mrad),
    translation of mirror M, set as the thickness of the air film over the substrate at the centre of the view = −3000 to 3000 nm (1000 nm); a negative value means M′ lies below the surface, which is possible because M′ is a virtual image
  • The animation button shows the light path in 4 steps
  • Microscope view:
    reticle lines a and b (blue) sit on two adjacent bright fringes on the substrate side and give the distance \(x\)
    reticle line c (orange) sits on a fringe on the film side and gives the distance \(\Delta x\) from a
    click or drag in the view to move point P
    scroll the mouse wheel to zoom, and drag with the right button (or hold Shift and drag) to pan; the Zoom 1× button restores the original view
  • Measure automatically button: places reticle lines a, b, and c again to suit the current light source and edge
  • ค่าคงที่: แสงตกกระทบตั้งฉาก, กล้องจุลทรรศน์มองเห็นบริเวณกว้าง 2 mm, กระจก M สะท้อนแสงทั้งหมด
  • ตัวเลือก: แหล่งแสง monochromatic หรือ white light (monochromatic), ชนิดฟิล์ม metal film หรือ dielectric film (metal film)
  • ค่าที่ปรับได้:
    \(\lambda\) = 400 ถึง 700 nm (550 nm) ใช้กับแสง monochromatic,
    \(n_f\) = 1.30 ถึง 2.00 (1.45) และ \(n_s\) = 1.33 ถึง 2.50 (1.52) ใช้กับ dielectric film,
    ความหนาฟิล์ม \(d\) = 0 ถึง 2000 nm (533 nm),
    ความกว้างขอบลาด = 0 ถึง 800 µm (310 µm) 0 = ขอบคม,
    มุมเอียงของกระจก \(\alpha\) = 0.3 ถึง 5 mrad (0.85 mrad),
    การเลื่อนกระจก M: ความหนาช่องอากาศเหนือ substrate ที่กลางภาพ = −3000 ถึง 3000 nm (1000 nm) ค่าลบหมายถึง M′ อยู่ใต้ผิว ซึ่งเกิดได้เพราะ M′ เป็นภาพเสมือน
  • ปุ่ม animation แสดงทางเดินแสงทีละขั้น 4 ขั้น
  • ภาพในกล้องจุลทรรศน์:
    เส้นวัด a, b (สีฟ้า) วางบน fringe สว่างสองเส้นที่อยู่ติดกันฝั่ง substrate ให้ระยะ \(x\)
    เส้นวัด c (สีส้ม) วางบน fringe ฝั่งฟิล์ม ให้ระยะ \(\Delta x\) จาก a
    คลิกหรือลากในภาพเพื่อย้ายจุด P
    หมุนล้อเมาส์เพื่อซูม ลากด้วยปุ่มขวา (หรือกด Shift ค้างแล้วลาก) เพื่อเลื่อนภาพ ปุ่มซูม 1 เท่าคืนภาพเดิม
  • ปุ่มวัดอัตโนมัติ: วางเส้นวัด a, b, c ใหม่ตามแหล่งแสงและขอบที่ปรากฏ

Try visualization A in this order:

ลองใช้งาน visualization A ตามลำดับดังนี้

  1. Press the animation button and follow the light path step by step. Where do the light from M and the light from the film meet, and where is M′?
  2. Press the Sharp edge + monochromatic button. Reticle line c sits on the film-side fringe nearest to a. What is \(d\) from Eq. (7)? Does it match the set thickness of 533 nm? Drag c up one fringe at a time. Which values look equally plausible?
  1. กดปุ่ม animation แล้วดูทางเดินแสงทีละขั้น แสงจาก M กับแสงจากฟิล์มมาพบกันที่ไหน และ M′ อยู่ตรงไหน
  2. กดปุ่มขอบคม + monochromatic เส้นวัด c วางอยู่บน fringe ฝั่งฟิล์มที่ใกล้ a ที่สุด \(d\) จากสมการ (7) เท่าไร ตรงกับความหนาที่ตั้งไว้ 533 nm ไหม ลองลาก c ขึ้นทีละเส้น ค่าไหนบ้างที่ดูถูกต้องพอๆ กัน

  1. Press the Gradual edge button and follow a fringe from reticle line a across the edge to the film side. Does reticle line c sit on the fringe it connects to? What are \(\Delta x\) and \(d\)? Then set the width of the gradual edge to 0 (sharp edge) and measure \(\Delta x\) again. What film thickness do you get, and does it match the set value?
  1. กดปุ่มขอบลาด ไล่ fringe จากเส้นวัด a ข้ามขอบไปฝั่งฟิล์ม เส้นวัด c วางอยู่บนเส้นที่ต่อกันหรือไม่ \(\Delta x\) และ \(d\) เป็นเท่าไร หลังจากนั้นลองกำหนดความกว้างขอบลาดเป็น 0 (ขอบคม) แล้วลองวัด \(\Delta x\) ดูว่าได้ความหนาฟิล์มเท่าไร ตรงกับค่าที่ตั้งไว้ไหม

  1. Press the White light button below this item. Do reticle lines a and c sit on the two white bands? Then switch to monochromatic light, drag b onto the bright fringe next to a, and check whether the resulting \(d\) matches the set value.
  1. กดปุ่ม white light ใต้ข้อความนี้ เส้นวัด a และ c วางอยู่บนแถบสีขาวสองแถบหรือไม่ แล้วเปลี่ยนเป็นแสง monochromatic และลาก b ไปวางบน fringe สว่างถัดจาก a แล้วสังเกต \(d\) ที่ได้ตรงกับที่ตั้งไว้ไหม

  1. Increase the angle \(\alpha\) and translate mirror M. How do the fringes change? Does the measured \(d\) change?
  2. Press the Uncoated oil button. Are the fringes as clear as before?
  1. เพิ่มมุม \(\alpha\) และเลื่อนกระจก M fringe เปลี่ยนอย่างไร \(d\) ที่วัดได้เปลี่ยนไหม
  2. กดปุ่มน้ำมันไม่เคลือบ fringe ชัดเท่าเดิมไหม

Common mistakes & limitationsข้อควรระวังและข้อจำกัดของโมเดล

  • Scope: normal incidence, air film with \(n = 1\), no repeated reflections inside the film, refractive indices independent of wavelength
  • The angle \(\alpha\) and the thicknesses in the setup drawing and the cross-section are drawn larger so they can be seen, not to scale; the results are always calculated from the actual set values
  • With a sharp edge and monochromatic light, only the fractional part of the shift can be read, so \(d\) may be off by a whole multiple of \(\lambda/2\)
  • Dielectric film: the fringes are fainter, and \(d\) from Eq. (7) differs from the true thickness
  • ขอบเขต: แสงตกกระทบตั้งฉาก, ช่องอากาศ \(n = 1\), ไม่คิดแสงที่สะท้อนไปมาในฟิล์มหลายรอบ, ดัชนีหักเหไม่ขึ้นกับความยาวคลื่น
  • มุม \(\alpha\) และความหนาในรูปชุดวัดและภาพตัดขวางวาดใหญ่ขึ้นเพื่อให้เห็น ไม่ได้ใช้สเกลจริง ค่าในผลลัพธ์คำนวณจากค่าที่ตั้งจริงเสมอ
  • ขอบคมกับแสง monochromatic อ่านได้เพียงส่วนเศษของการเลื่อน ค่า \(d\) ที่ได้จึงอาจผิดไปเป็นจำนวนเต็มเท่าของ \(\lambda/2\)
  • dielectric film: fringe จางลง และ \(d\) จากสมการ (7) คลาดจากความหนาจริง
Film-Thickness Measurement: Interferometer — interactive visualization การวัดความหนาฟิล์ม: interferometer — interactive visualization
A Measuring film thickness with an interferometerการวัดความหนาฟิล์มด้วย interferometer

Light sourceแหล่งแสง

Filmชนิดฟิล์ม

Light-path animationanimation ทางเดินแสง

Figure 1 — Film-thickness measurement setup with an interferometer, and the microscope view (adapted from [1], Figs. 19, 20b) รูปที่ 1 — ชุดวัดความหนาฟิล์มด้วย interferometer และภาพในกล้องจุลทรรศน์ (ดัดแปลงจาก [1], Figs. 19, 20b)

Resultsผลลัพธ์

x, Eq. (2) (mm)x สมการ (2) (mm) 0.3235
Δm = 2d/λ, Eq. (5)Δm = 2d/λ สมการ (5) 1.9382
Actual fringe shift Δx (mm)การเลื่อนจริงของ fringe Δx (mm) 0.6271
x from the reticle (a to b) (mm)x จากเส้นวัด (a ถึง b) (mm) 0.3235
Δx from the reticle (a to c) (mm)Δx จากเส้นวัด (a ถึง c) (mm) 0.6271
d from the reticle, Eq. (7) (nm)d จากเส้นวัด สมการ (7) (nm) 533.0
Bright fringes on the substrate, y (mm)ตำแหน่ง fringe สว่างฝั่ง substrate, y (mm) −0.529, −0.206, 0.118, 0.441

References เอกสารอ้างอิง

  1. F. L. Pedrotti, L. M. Pedrotti, and L. S. Pedrotti, Introduction to Optics, 3rd ed. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 2019, ch. 7, pp. 182–184.